福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高一上学期期中联考试题——数学
展开2020--2021学年度第一学期期中联考
高中一年数学科试卷
考试日期: 2020年11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．设，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B． C. D．
2．存在量词命题“”的否定是( )
A. B．
C. D．
3．已知函数，则（ ）
A. B． C. D．
4．下列函数中，与表示同一函数的一组是（ ）
A. 与 B．与
C.与 D．与
- 某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了千米，休息了一段时间，又沿原路返回千米，
再前进千米，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）
A. B． C. D．
- 已知函数在区间上为减函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B． C. D．
7. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A. B． C. D．
8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( )
A. 6 B．9 C. 12 D．18
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
- 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则 B．若,则
C. 若，则 D．若，
- 设全集，则下列判断正确的是（ ）
A. B．
C. D．
11. 若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值 B．有最小值
C. 都有 D．使得
12. 某同学在研究函数 时，分别给出几个结论，其中错误的是（ ）
A.都有 B．的值域为
C. 若，则 D．在区间上单调递减
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）
- 已知函数是上的奇函数，当时，，则________
14. 已知正数满足，则的最小值为____________
15.已知函数满足,当时，总有， 若，则实数的取值范围是___________
16.设偶函数的定义域为，且满足，对于任意 ，都有 成立，则的解集为______________
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
已知集合 ，集合
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围。
- （本题满分12分）
设函数的定义域为集合，函数
（1）求函数在时的值域；
（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围。
- （本题满分12分）
对于函数，若满足（为常数）成立的取值范围所构成的集合称为函数的
“倍集合”，已知二次函数
（1）当时，求函数的 “倍集合”；
（2）若 ，求关于的不等式的解集。
- （本题满分12分）
已知幂函数为偶函数，
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若，试判断在上的单调性，并给出证明。
- （本题满分12分）
2020年是我国全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年。某地区有400户农民从事茶叶种植，据了解，平均每户的年收入为8万元。为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农户改行从事生猪养殖。据统计，若动员户农民从事生猪养殖，则剩下的继续从事茶叶种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事生猪养殖的农民平均每户的年收入为万元。
（1）在动员户农民从事生猪养殖后，要使剩下的户从事茶叶种植的所有农民总年收入不低于原先400户从事茶叶种植的所有农民年总收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使从事生猪养殖的这户农民年总收入始终不高于户从事茶叶种植的所有农民总年收入，求的最大值。（参考数据：，，）
- （本题满分12分）
已知是二次函数，且满足，。
（1）求函数的解析式；
（2）对，都，使得成立，求实数的取值范围。
2020--2021学年度第一学期期中联考
高一年级（数学）参考答案
一、单项选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | D | C | A | D | C | B | B | C |
二、多项选择题
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | AC | BCD | BC | BD |
三、填空题
13. 14. 9 15. 16.
四、解答题
17.（本题满分10分）
（1）当时，………………………………………………………1分
由得：…………………………………………3分
所以…………………………………………………………………4分
……………………………………………………………………5分
（2）若时，则 解得；…………………………………7分
若，则由，得解得………………………9分
综上：的取值范围为……………………………………………………10分
- （本题满分12分）
（1）由得 ………………………………………………………1分
所以………………………………………………………………2分
因为,……………………………………3分
所以……………………………………………………………4分
……………………………………………………………………5分
所以函数在时的值域为…………………………………………6分
（2）由任意都有成立得
对恒成立………………………………………7分
所以…………………………………………………………10分
解得
所以实数的取值范围为………………………………………………12分
- （本题满分12分）
（1）当时，…………………………………………………1分
则…………………………………………………………………2分
所以
解得…………………………………………………………………………4分
所以函数的 “倍集合”………………………………5分
（2）由得……………………………………………6分
所以
所以…………………………………………………………………7分
因为
所以当时，，原不等式解集为，………………………9分
当时，，原不等式解集为R，………………………………………………10分
当时，，原不等式解集为………………………11分
综上所述：当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为R．
当时，原不等式解集为．……………………………12分
（评分补充说明：第（2）问中，没有综上所述，分类清晰可不扣分）
- （本题满分12分）
（1）由为幂函数知，……………………………………………1分
解得或……………………………………………………………………2分
当时，，为偶函数，符合题意；
当时，，不是偶函数，不符合题意，舍去。
所以………………………………………………………………………………4分
（2）当时，，
因为
所以函数为偶函数；…………………………………………………………………5分
当时，，
，
所以
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数。…………………………………………7分
（3）当时，在上的单调递增。………………………8分
理由如下：任取，且，则
………………………………………………………………………………………………10分
因为且，所以，
所以
所以在上的单调递增……………………………………………12分
（评分补充说明：第（1）问中，求出或后，没有判断过程，但取舍正确，可不扣分）
- （本题满分12分）
（1）依题意得…………………………………………2分
整理得，解得，………………………………………………4分
又，
所以的取值范围为……………………………………………5分
（2）从事生猪养殖的户农民年总收入为万元， 户从事茶叶种植的农民总年收入为万元
依题意得 恒成立……7分
即恒成立
即恒成立………………………………………………………………8分
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，最小，又，所以或者116，…………………10分
当时，
当时，
所以，所以的最大值为9.93……………………………………………12分
- （本题满分12分）
（1）设
因为，所以，…………………………………………………………1分
又因为
所以
所以………………………………………………………………2分
所以 解得………………………………………………………3分
所以…………………………………………………………………4分
（2）解法一：
因为，所以
所以，……………………………………………………………5分
令，则，
原条件等价于对，常数，使得成立，
设，，则，……………………………6分
当，即时，，………………………………7分
当，即时，…………………………………………8分
所以……………………………………………9分
于是原条件等价于常数，使得，
所以，…………………………………………………………………10分
因为在上单调递减，…………………………11分
所以
所以，所以………………………………………………………12分
解法二：因为，所以
所以，……………………………………………………………5分
令，则，
原条件等价于对，常数，使得成立，
设，则……………………………7分
因为，所以在上单调递减；
所以，…………………………………………………………9分
所以对恒成立；
令，则………………………………………11分
所以，所以………………………………………………………12分
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