还剩11页未读，
继续阅读
福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题 Word版含答案
展开
这是一份福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题 Word版含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷
命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：
考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A=x∈Zx2-5x-6≤0， B=x2<2x<128，则A∩B=（ ）
A．x1
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果f3=-1，则不等式fx-1+1≥0的解集为（ ）
A． -∞，2 B．2，+∞ C．-2，4 D．1，4
4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）
A．直线与直线平行 B．直线与直线相交
C．直线与直线异面且垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°
5．记为正项等比数列的前项和，若S2=1，S4=5，则S7=（ ）．
A．S7=10 B．S7=23 C．S7=623 D．S7=1273
6．已知m>0，n>0，m+4n=2，则4m+1n的最小值为（ ）
A．36 B．16 C．8 D．4
7．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x=π4对称 D．关于直线x=-π4对称
8．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．
C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限
10．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A． AB⊥AC； B．四边形为平行四边形；
C．AC与BD夹角的余弦值为； D． AB+AC=85
11．在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c， 若 ，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．∆ABC的面积为6
12．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B．无论点在上怎么运动，都有
C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则________．
14．已知数列的前项和Sn=n2-3n-1，则__________．
15．在三棱锥中，平面PAB垂直平面，PA=PB=AB=AC=23，，则三棱锥外接球的表面积为_________ .
16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
已知是数列的前项和，且2Sn+3=3an
（1）求的通项公式；
（2）设bn=1log3an∙log3an+1，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
在①3cosCacosB+bcosA=csinC ，②asinA+B2=csinA，
③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知∆ABC的角，，对边分别为，，而且______．
（1）求；
（2）求∆ABC周长的范围．
19．（本小题满分12分）
已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角P-BD-A的余弦值.
20．（本小题满分12分）
如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由和组成．
（1）若θ=π6，求观光通道l的长度；
（2）用θ表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；
21．（本小题满分12分）
已知函数fx=x∙eax的极值为-1e.
（1）求a的值并求函数在x=1处的切线方程；
（2）已知函数gx=emx-lnxm m>0，存在x∈0，+∞，使得gx≤0成立，求m得最大值。
22．（本小题满分12分）
已知函数fx=lnax+1-x-2x+2 a>0，x≥0.
（1）当a=12时，讨论函数y=fx的单调性；
（2）若不等式fx≥1在时恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明： 13+15+17+⋯+12n+1<12lnn+1 n∈N*.
2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷
参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5: B A C DD 6-8: C A B
二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9.BD 10.BD 11.ABD 12.ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. -45 14. an=-3 ， n=12n-4 ，n≥2 15. 52π 16. 4，e22e-2
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解：（1）因为，
所以.
相减得， 2分
所以，
所以.
又，解得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
即的通项公式为. 5分
（2）由（1）可得. 8分
所以. 10分
18．（本小题满分12分）
解：(1)选①:
由正弦定理得3cosCsinAcosB+sinBcosA=sinCsinC
即：3cosCsinA+B=sinCsinC 2分
因为sinC≠0，∴tanC=3， 3分
因为C∈0，π，∴C=π3 4分
选②:
由正弦定理得sinAsinπ-C2=sinCsinA，
因为sinA≠0，∴cosc2=sinC=2sinC2cosC2 2分
因为cosC2≠0，所以sinC2=12， 3分
因为C∈0，π，∴C=π3 4分
选③:
因为,
所以,即, 2分
所以, 3分
因为,所以; 4分
(2)由(1)可知:,
在∆ABC中,由余弦定理得,即, 6分
所以,
所以,当且仅当时等号成立, 10分
所以,即∆ABC周长的最大值为.
又因为a+b>c=3，所以∆ABC周长的取值范围为23，33 12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）在图①中，连接，如图所示：
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，. 2分
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为，所以，. 4分
又BE∩AE=E，，平面.
所以平面. 5分
又平面，所以平面平面. 6分
（2）由（1）知，，.
因为，，平面.
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，. 8分
设平面的一个法向量为，
由PB∙m=0PD∙m=0得.
令，得m=-1，-3，3.
设平面BDA的一个法向量为n=x1，y1，z1.
因为BA=-3，0，1，AD=0，1，-1
由BA∙n=0AD∙n=0 得-3x1+z1=0y1-z1=0
令x1=1 得n=1，3，3 10分
设二面角P-BD-A的大小为，由题意知该二面角为锐角.
则cosθ=m∙nm∙n=17.
所以二面角P-BD-A的余弦值为17. 12分
若有其他解法，可酌情给分！
20．（本小题满分12分）
（1）因为θ=π6 所以∠OCD=∠ODC=π6 1分
在∆OCD中，利用余弦定理可得
CD2=1+1-2*1*1*cos2π3=3所以CD=3 2分
同理BC=AD=2-3=6-22 3分
所以观光通道长l=2+3+6-2 km 4分
（2）作，垂足为E，在直角三角形中，，
则有， 6分
同理作，垂足为F，，
即：， 8分
从而有： 10分
因为θ∈0，π2，所以当时，l取最大值5，即观光通道长l的最大值为． 12分
若有其他解法，可酌情给分！
21．（本小题满分12分）
解：（1）fx定义域为R
因为f'x=eaxax+1 1分
若a=0则fx在R上单调递增，无极值，不合题意，舍去 2分
若a≠0则令f'x=0得x=-1a
所以f'-1a=-1e解得a=1 3分
经检验，a=1符合题意。
因为切线斜率f'1=e11+1=2e
又因为f1=e所以切点为1，e
所以切线方程为：y=2ex-1+e
即切线方程为：y=2ex-e 5分
（2）因为存在x∈0，+∞，使得gx≤0成立
则emx≤lnxm
即memx≤lnx
即mxemx≤xlnx=lnx∙elnx
即mxemx≤lnx∙elnx
即fmx≤flnx （*） 6分
由（1）得f'x=exx+1
所以fx在区间-∞，-1上单调递减，在区间-1，+∞上单调递增 7分
因为m>0，x>0，memx≤lnx所以lnx>0，所以x>1
即mx>0且lnx>0
所以存在x∈1，+∞使得 fmx≤flnx
所以存在x∈1，+∞使得 mx≤lnx
即m≤lnxx x∈1，+∞
令sx=lnxx 所以m≤sxmax 9分
因为s'x=1-lnxx2=0得x=e
所以sx在区间1，e上单调递增，在区间e，+∞单调递减
所以sx的最大值为se=1e
所以m≤1e又因为m>0，所以0
若有其他解法，可酌情给分！
22．（本小题满分12分）
解：（1）因为a=12 所以fx=112x+1*12-4x+22=x-2x+22
所以y=fx在区间0，2上单调递减；在区间2，+∞上单调递增 3分
（2）求导数可得，
当a≥1时，fx≥0，函数y=fx在上单调递增；
当时，由fx>0可得，
函数在上单调递增，在上单调递减； 5分
①当a≥1时，函数y=fx在上单调递增，
∴fx≥f0=1，即不等式fx≥1，在时恒成立，
②当时，函数在上单调递减，
存在使得fx0
（3）由（2）得当a=1时，不等式fx>1在时恒成立，
即，，． 9分
即，
，，，，
将上述式子相加可得13+15+17+⋯+12n+1<12lnn+1-ln1=12lnn+1
原不等式得证． 12分
若有其他解法，可酌情给分！
2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷
命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：
考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A=x∈Zx2-5x-6≤0， B=x2<2x<128，则A∩B=（ ）
A．x1
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果f3=-1，则不等式fx-1+1≥0的解集为（ ）
A． -∞，2 B．2，+∞ C．-2，4 D．1，4
4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）
A．直线与直线平行 B．直线与直线相交
C．直线与直线异面且垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°
5．记为正项等比数列的前项和，若S2=1，S4=5，则S7=（ ）．
A．S7=10 B．S7=23 C．S7=623 D．S7=1273
6．已知m>0，n>0，m+4n=2，则4m+1n的最小值为（ ）
A．36 B．16 C．8 D．4
7．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x=π4对称 D．关于直线x=-π4对称
8．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．
C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限
10．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A． AB⊥AC； B．四边形为平行四边形；
C．AC与BD夹角的余弦值为； D． AB+AC=85
11．在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c， 若 ，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．∆ABC的面积为6
12．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B．无论点在上怎么运动，都有
C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则________．
14．已知数列的前项和Sn=n2-3n-1，则__________．
15．在三棱锥中，平面PAB垂直平面，PA=PB=AB=AC=23，，则三棱锥外接球的表面积为_________ .
16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
已知是数列的前项和，且2Sn+3=3an
（1）求的通项公式；
（2）设bn=1log3an∙log3an+1，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
在①3cosCacosB+bcosA=csinC ，②asinA+B2=csinA，
③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知∆ABC的角，，对边分别为，，而且______．
（1）求；
（2）求∆ABC周长的范围．
19．（本小题满分12分）
已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角P-BD-A的余弦值.
20．（本小题满分12分）
如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由和组成．
（1）若θ=π6，求观光通道l的长度；
（2）用θ表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；
21．（本小题满分12分）
已知函数fx=x∙eax的极值为-1e.
（1）求a的值并求函数在x=1处的切线方程；
（2）已知函数gx=emx-lnxm m>0，存在x∈0，+∞，使得gx≤0成立，求m得最大值。
22．（本小题满分12分）
已知函数fx=lnax+1-x-2x+2 a>0，x≥0.
（1）当a=12时，讨论函数y=fx的单调性；
（2）若不等式fx≥1在时恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明： 13+15+17+⋯+12n+1<12lnn+1 n∈N*.
2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷
参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5: B A C DD 6-8: C A B
二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9.BD 10.BD 11.ABD 12.ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. -45 14. an=-3 ， n=12n-4 ，n≥2 15. 52π 16. 4，e22e-2
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解：（1）因为，
所以.
相减得， 2分
所以，
所以.
又，解得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
即的通项公式为. 5分
（2）由（1）可得. 8分
所以. 10分
18．（本小题满分12分）
解：(1)选①:
由正弦定理得3cosCsinAcosB+sinBcosA=sinCsinC
即：3cosCsinA+B=sinCsinC 2分
因为sinC≠0，∴tanC=3， 3分
因为C∈0，π，∴C=π3 4分
选②:
由正弦定理得sinAsinπ-C2=sinCsinA，
因为sinA≠0，∴cosc2=sinC=2sinC2cosC2 2分
因为cosC2≠0，所以sinC2=12， 3分
因为C∈0，π，∴C=π3 4分
选③:
因为,
所以,即, 2分
所以, 3分
因为,所以; 4分
(2)由(1)可知:,
在∆ABC中,由余弦定理得,即, 6分
所以,
所以,当且仅当时等号成立, 10分
所以,即∆ABC周长的最大值为.
又因为a+b>c=3，所以∆ABC周长的取值范围为23，33 12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）在图①中，连接，如图所示：
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，. 2分
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为，所以，. 4分
又BE∩AE=E，，平面.
所以平面. 5分
又平面，所以平面平面. 6分
（2）由（1）知，，.
因为，，平面.
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，. 8分
设平面的一个法向量为，
由PB∙m=0PD∙m=0得.
令，得m=-1，-3，3.
设平面BDA的一个法向量为n=x1，y1，z1.
因为BA=-3，0，1，AD=0，1，-1
由BA∙n=0AD∙n=0 得-3x1+z1=0y1-z1=0
令x1=1 得n=1，3，3 10分
设二面角P-BD-A的大小为，由题意知该二面角为锐角.
则cosθ=m∙nm∙n=17.
所以二面角P-BD-A的余弦值为17. 12分
若有其他解法，可酌情给分！
20．（本小题满分12分）
（1）因为θ=π6 所以∠OCD=∠ODC=π6 1分
在∆OCD中，利用余弦定理可得
CD2=1+1-2*1*1*cos2π3=3所以CD=3 2分
同理BC=AD=2-3=6-22 3分
所以观光通道长l=2+3+6-2 km 4分
（2）作，垂足为E，在直角三角形中，，
则有， 6分
同理作，垂足为F，，
即：， 8分
从而有： 10分
因为θ∈0，π2，所以当时，l取最大值5，即观光通道长l的最大值为． 12分
若有其他解法，可酌情给分！
21．（本小题满分12分）
解：（1）fx定义域为R
因为f'x=eaxax+1 1分
若a=0则fx在R上单调递增，无极值，不合题意，舍去 2分
若a≠0则令f'x=0得x=-1a
所以f'-1a=-1e解得a=1 3分
经检验，a=1符合题意。
因为切线斜率f'1=e11+1=2e
又因为f1=e所以切点为1，e
所以切线方程为：y=2ex-1+e
即切线方程为：y=2ex-e 5分
（2）因为存在x∈0，+∞，使得gx≤0成立
则emx≤lnxm
即memx≤lnx
即mxemx≤xlnx=lnx∙elnx
即mxemx≤lnx∙elnx
即fmx≤flnx （*） 6分
由（1）得f'x=exx+1
所以fx在区间-∞，-1上单调递减，在区间-1，+∞上单调递增 7分
因为m>0，x>0，memx≤lnx所以lnx>0，所以x>1
即mx>0且lnx>0
所以存在x∈1，+∞使得 fmx≤flnx
所以存在x∈1，+∞使得 mx≤lnx
即m≤lnxx x∈1，+∞
令sx=lnxx 所以m≤sxmax 9分
因为s'x=1-lnxx2=0得x=e
所以sx在区间1，e上单调递增，在区间e，+∞单调递减
所以sx的最大值为se=1e
所以m≤1e又因为m>0，所以0
若有其他解法，可酌情给分！
22．（本小题满分12分）
解：（1）因为a=12 所以fx=112x+1*12-4x+22=x-2x+22
所以y=fx在区间0，2上单调递减；在区间2，+∞上单调递增 3分
（2）求导数可得，
当a≥1时，fx≥0，函数y=fx在上单调递增；
当时，由fx>0可得，
函数在上单调递增，在上单调递减； 5分
①当a≥1时，函数y=fx在上单调递增，
∴fx≥f0=1，即不等式fx≥1，在时恒成立，
②当时，函数在上单调递减，
存在使得fx0
（3）由（2）得当a=1时，不等式fx>1在时恒成立，
即，，． 9分
即，
，，，，
将上述式子相加可得13+15+17+⋯+12n+1<12lnn+1-ln1=12lnn+1
原不等式得证． 12分
若有其他解法，可酌情给分！
相关试卷
福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题： 这是一份福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题： 这是一份福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题，共11页。
福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含答案： 这是一份福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含答案，文件包含2020-2021学年八县一中期中联考高二数学试卷pdf、2020-2021学年八县一中期中联考高二数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
