甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学 （文）试题（含答案）

这是一份甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学 （文）试题（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人： 审题人：
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.下面几种推理过程是演绎推理的是
A.某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人
B.根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质
C.平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分
D.在数列中，，计算由此归纳出的通项公式
2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是
A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度
3.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是
A.甲B.乙C.丙D.丁
4.曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
5.已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为,类比三角形的面积可得四面体的体积为
A. B.
C. D.
6.若正实数满足，则
A. 有最大值 B. 有最小值
开始
是
否
输出
结束
C. 有最大值 D. 有最小值
7.如果执行右面的程序框图，那么输出的
A. 2450 B. 2500 C. 2550 D. 2652
8.已知三次函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2
在定义域R上无极值点，则m的取值范围是
A．m＜2或m＞4 B．
C． D．2＜m＜4
9.定义运算：，例如，则的最大值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2,对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为
A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)
-2
1
y
x
11.若函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A. 函数有极大值，无极小值
B. 函数有极小值，无极大值
C. 函数有极大值和极小值
D. 函数有极大值和极小值
12．若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，f(2-x)=f(x)，
且当x[0，1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)
则函数h(x)=|xex|-f(x)在区间[-3，1]上的零点个数为
A．5B．4
C．3 D．2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.按边对三角形进行分类的结构图为：
则①处应填入________．
14.已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是 .
15.已知,则的最小值是 .
16.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有
个点，每个图形总的点数记为，则；
.
．
． ． ．
． ． ． ． ．
． ． ． ． ． ． ． ． ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在中，三个内角的对边分别为且成等差数列，成等比数列，
求证：为等边三角形．
18.(本小题满分12分)
已知函数，若函数的图象关于直线x＝－eq \f(1,2)对称，且.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间[－3，2]上的最小值．
19.(本小题满分12分)
（1）已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：eq \f(1＋x,y)，eq \f(1＋y,x)中至少有一个小于2.
（2）设a，b，c>0且不全相等，若abc=1，证明：a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)>6．
20.(本小题满分12分)
某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0< x ≤ 120).已知甲、乙两地相距100千米.
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
21.(本小题满分12分)
设函数.
（1）求过点的切线方程；
（2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；
（3）已知当时，恒成立，求实数的取值范围．
22.(本小题满分12分)
已知函数．
（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
兰州一中2020-2021-2学期期中考试参考答案
高二数学（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.等边三角形 14. 15.4 16. ；
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 解：由成等差数列，有 (1)
因为为的内角，所以 （2）
由(1)(2)得 (3)
由成等比数列，有 (4)
由余弦定理及(3)，可得
再由(4)，得
即
因此
从而 (5)
由(2)(3)(5)得
所以为等边三角形。
18. 解：(1)f′(x)＝6x2＋2ax＋b，函数y＝f′(x)的图象的对称轴为x＝－eq \f(a,6).
∵－eq \f(a,6)＝－eq \f(1,2)，∴a＝3. ∵f′(1)＝0，∴6＋2a＋b＝0，得b＝－12.
故a＝3，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∵f(－3)＝10， f(1)＝－6, ∵10 >－6，.
∴所以f(x)在[－3，2]上的最小值为－6.
19.（1）证明：(反证法)设eq \f(1＋x,y)≥2，eq \f(1＋y,x)≥2，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋x≥2y， ①,1＋y≥2x. ②))
由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．
所以eq \f(1＋x,y)，eq \f(1＋y,x)中至少有一个小于2.
（2）证明：，，， ，
同理，，
又a，b，且不全相等， 故上述三式至少有1个不取“”，
故
．
20. 解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升）。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得

令得
当时，是减函数；
当时，是增函数。
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
21. 解：（1）设切点为，，
切线过，，.
.
（2）对函数求导，得，令，即，解得，或，，即，解得，
的单调递增区间是及，单调递减区间是.
当,有极大值；当，有极小值
当时，直线与的图象有3个不同交点，
此时方程有3个不同实根.实数的取值范围为 .
（3）时，恒成立，即恒成立，
令，则
的最小值为，.
22.解：（1）由题意，函数，
则，因为是函数的极值点，所以，故，即，令，解得或.令，解得,所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，当时，，则在上单调递增，
又，所以恒成立；当时，易知在上单调递增，故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，则，这与 恒成立矛盾.综上，.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
A
B
C
C
C
D
B
A
B
x
(－∞，－2)
－2
(－2，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗