2020-2021学年甘肃省兰州市高一（下）期中考试数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省兰州市高一（下）期中考试数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知α=3.14rad，那么α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角C.x非正半轴角D.y非负半轴角

2. 圆x+22+y−12=5的圆心坐标与半径分别是（ ）
A.2,−1 ，r=5B.−2,1， r=5C.2,−1， r=5D.−2,1， r=5

3. 已知角α的终边经过点P−105,−155，则sinα=（ ）
A.−105B.105C.−155D.155

4. 若半径为3的扇形，其圆心角为4，则扇形的面积为（ ）
A.π10B.12C.18D.36

5. 如图，ABCDEF为正六边形，则BC→+OF→=（ ）

A.BF→B.AF→C.EO→D.FB→

6. 已知集合A=π7,6π7,8π7,13π7,15π7中是五个角的弧度数，则A中正弦值相等的角共有（ ）
A.1对B.2对C.3对D.4对

7. 以下方程为圆的方程的是（ ）
A.x2+y2+4x−3y+6=0B.x2+y2−2x−4y+5=0
C.x2−y2−2x−y+1=0D.2x2+y2+2x−3y+3=0

8. 下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A.所有的单位向量都相等
B.若a→,b→是非零向量，则|a→+b→|>|a→|
C.若|a→+b→|=|a→|，则b→是零向量
D.若a→+b→=c→，则a→=c→−b→

9. 若直线xa+yb=1与圆O：x2+y2=1无公共点，则点P−1b,1a与圆O的位置关系是（ ）
A.在圆O内B.在圆O外
C.在圆O上D.以上情况都有可能

10. 若函数fx=sin12x−π2，则以下判断正确的是（ ）
A.函数fx是周期为π的奇函数
B.函数fx是周期为2π的偶函数
C.函数fx是周期为4π的偶函数
D.函数fx是周期为4π的奇函数

11. 已知圆O:x2+y2=1，点A4,0，若圆O上存在两点P，Q，使得PO⊥PA，QO⊥QA，则|PQ|=（ ）
A.152B.154C.3D.32

12. 1+2sinπ−2csπ+2=（ ）
A.sinπ−2−csπ+2B.sinπ−2+csπ−2
C.sin−2+cs−2D.sinπ+2+csπ+2
二、填空题

300∘化为弧度是________.

已知向量a→，b→，|a→|=1， |b→|=2，若|a→+b→|
若sinα−csαsinα+2csα=3，则tanα=________．

若在直线3x+4y−52=0上找一点向圆O: x2+y2=1做两条切线，并使两条切线相互垂直，则这样的点在直线上的个数是________ .
三、解答题

写出与角α终边相同的角的集合，并求在区间−2π,2π内与角α终边相同的角．
(1)α=−11π4；

(2)α=19π6.

已知函数fx=Asinωx+π4(A>0，ω>0)的最小正周期为π，且最大值与最小值的差为4．
(1)求A和ω；

(2)求函数y=fx的单调区间．

已知圆C经过点O0,0和点A4,0，并且圆心在直线y=x上．
(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线x+y+k=0被圆C所截的弦长为26，求实数k的值．

已知函数y=csx的图象向左平移π3个单位后，得到函数y=fx的图象，函数y=fx图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变原来的12，得到函数y=gx的图象．
(1)分别写出函数y=fx和y=gx的解析式；

(2)若对于任意实数x都有fx≤gx0，求实数x0的集合．

已知点A1,0，B−2,0，动点Px,y满足|PA|=2|PB|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若∠PAB=π6，求点P的坐标．

已知函数fx=lg12a−sinx的图象经过点Pπ6,1.
(1)求实数a的值，并求函数fx的定义域；

(2)若fx≥1，求x的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省兰州市高一（下）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
根据π2<3.14<π，即可得到角所在的象限.
【解答】
解：∵ π2<3.14<π，
∴ α是第二象限角.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
圆的标准方程
【解析】
根据x−a2+y−b2=r2的圆心坐标为(a,b)，半径为r求解即可.
【解答】
解：圆x+22+y−12=5的圆心坐标为 −2,1，
半径为r=5.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意可得 x=−105，y=−155，求出r，利用任意角的三角函数的定义，直接求出答案．
【解答】
解：角α的终边经过点P(−105, −155)，
即x=−105，y=−155，
则r = −1052 + ( −155)2 = 1．
所以sinα = yr = −1551 = −155.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
扇形面积公式
【解析】
根据扇形面积公式S=12αr2求解即可.
【解答】
解：半径为r=3的扇形，其圆心角为α=4，
则扇形的面积为S=12αr2=12×4×32=18.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据向量加法的三角形法则，可得结果．
【解答】
解：ABCDEF为正六边形，
则BC→+OF→=BC→+CO→=BO→=AF→.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
诱导公式
【解析】
利用诱导公式化简求解即可.
【解答】
解：∵ sinπ7=sinπ−π7=sin6π7
sinπ7=sin2π+π7=sin15π7，
∴ sin6π7=sin15π7=sinπ7，
∵ sin13π7=sin2π−π7=−sinπ7，
sin8π7=sinπ+π7=−sinπ7，
∴ sin8π7=sin13π7，
故正弦值相等的共四组.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
圆的一般方程
【解析】
对于二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当D2+E2−4F>0才表示圆.
【解答】
解：A，∵D2+E2−4F=42+−32−4×6=1>0，
∴ 该方程为圆的方程；
B，∵D2+E2−4F=−22+−42−4×5=0，
∴ 该方程不为圆的方程；
C，y2的系数为负值，该方程不是圆的方程；
D，x2，y2的系数不相等，该方程不是圆的方程.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
向量的模
单位向量
零向量
【解析】
利用向量的定义判断，利用特殊向量运算，利用向量的加减法运算法则得出结论
【解答】
解：选项A，向量既有大小又有方向，向量相等是指大小相等、方向相同的向量，单位向量方向不一定相同，故选项A错误；
选项B，若a→和b→是大小相等方向不同的向量，则|a→+b→|=0，而非零向量|a→|>0，故选项B错误；
选项C，若|a→+b→|=|a→|，a→和b→都可能是零向量，故选项C错误；
选项D，由向量的运算法则可知此选项正确.
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆无公共点，得到d大于r，列出不等式，整理后即可得到正确的选项．
【解答】
解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为0,0，半径r=1，
∵ 直线xa+yb=1与圆x2+y2=1无公共点，
∴ 圆心到已知直线的距离d=11a2+1b2>r=1，
整理得： 1a2+1b2<1，
∴ 点P−1b,1a与圆O的位置关系是在圆内 .
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性及其求法
诱导公式
函数奇偶性的判断
【解析】
利用诱导公式化简函数解析式，再利用三角函数的性质求解即可.
【解答】
解：函数fx=sin12x−π2=−sinπ2−12x=−cs12x，
所以函数为偶函数，且最小正周期为2π12=4π.
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】
由点A(4,0)在x轴上,圆O关于x轴对称，
可得PQ⊥x轴，从而利于对称性求得PQ.
【解答】
解：由题意，因为A(4,0)在x轴上，圆O关于x轴对称，
所以PQ⊥x轴，设垂足为H，如图：
Rt△OPA中，OP=1，AO=4,
所以PA=42−12=15,
由12OP⋅PA=12OA⋅PH,
解得PH=154,
所以PQ=2PH=152.
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
利用诱导公式化为关于α=2的三角式，再利用同角三角函数关系式化简．
【解答】
解：1+2sinπ−2csπ+2
=1−2sin2cs2=|sin2−cs2|，
由于α=2是第二象限角，
∴ sin2>0，cs2<0
∴ sin2−cs2>0，
∴ 原式=sin2−cs2，
∵ sinπ−2+csπ−2=sin2−cs2，
∴ 1+2sinπ−2csπ+2=sinπ−2+csπ−2.
故选B.
二、填空题
【答案】
5π3
【考点】
弧度与角度的互化
【解析】
本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以π180即可．
【解答】
解：∵ 1∘=π180，
∴ 300∘=π180×300=5π3．
故答案为：5π3.
【答案】
(3,+∞)
【考点】
向量的模
不等式恒成立问题
【解析】
利用向量的模的运算，结合三角函数性质，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值.
【解答】
解：a→+b→=a→2+b→2+2a→⋅b→
=12+22+2×1×2cs
≤12+22+2×1×2×1=3，
当且仅当cs=1时，a→+b→max=3，
∴ m>3.
故答案为：(3,+∞).
【答案】
−72
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
将已知等式去分母，化简整理得sinα=−72csα，再由同角三角函数的基本关系，可算出tana的值．
【解答】
解：∵sinα−csαsinα+2csα=3，
∴去分母，得
sinα−csα=3sinα+2csα，
即−2sinα=7csα，
∴ sinα=−72csα，
可得tanα=sinαcsα=−72．
故答案为：−72.
【答案】
1个
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
解析：利用几何关系可知，满足向圆O:x2+y2=1做两条切线，并使两条切线相互垂直的点在圆O:x2+y2=2上，由于x2+y2=2的圆心到直线3x+4y−52=0的距离为2=r，直线与圆相切，故这样的点只有一个．
【解答】
解：利用几何关系可知，满足向圆O:x2+y2=1做两条切线，
并使两条切线相互垂直的点在圆O:x2+y2=2上，
由于x2+y2=2的圆心到直线3x+4y−52=0的距离为2=r，直线与圆相切，
故这样的点只有一个．
故答案为：1个.
三、解答题
【答案】
解：1与α=−11π4的终边相同的角的集合为β|β=−11π4+2kπ,k∈Z，
当k=1时，β=−3π4；
当k=2时，β=5π4；
∴ 落在−2π,2π内与α终边相同的角为−3π4和5π4.
2与α=19π6的终边相同的角的集合为β|β=196π+2kπ,k∈Z，
当k=−1时，β=7π6；
当k=−2时，β=−5π6,
∴ 落在−2π,2π内与α终边相同的角为7π6和−5π6.
【考点】
终边相同的角
【解析】
(1)写出与角α终边相同的角的集合，在令k=1和k=2求出对应的角度即可；
(2)写出与角α终边相同的角的集合，在令k=−1和k=−2求出对应的角度即可.
【解答】
解：1与α=−11π4的终边相同的角的集合为β|β=−11π4+2kπ,k∈Z，
当k=1时，β=−3π4；
当k=2时，β=5π4；
∴ 落在−2π,2π内与α终边相同的角为−3π4和5π4.
2与α=19π6的终边相同的角的集合为β|β=196π+2kπ,k∈Z，
当k=−1时，β=7π6；
当k=−2时，β=−5π6,
∴ 落在−2π,2π内与α终边相同的角为7π6和−5π6.
【答案】
解：(1)由T=π=2πω，ω=2，
∴fx=Asin2x+π4，
∵−1≤sin2x+π4≤1，
∴−A≤Asin2x+π4≤A，
∵ 函数fx=Asin2x+π4最大值与最小值的差为4，
∴ 2A=4，
∴A=2．
(2)由(1)知A=2，ω=2，
则函数fx=2sin2x+π4，
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，
∴ 函数fx的单调增区间是−3π8+kπ,π8+kπ，k∈Z，
同理， π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z，
∴ 函数fx 的单调减区间是π8+kπ,5π8+kπ，k∈Z．
【考点】
正弦函数的图象
三角函数的最值
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
【解析】
(1)由周期公式可先求ω，得解析式fx=Asin2x+π4，由−1≤sin2x+π4≤1，函数fx=Asin2x+π4最大值与最小值的差为4，即可求A的值．
(2)根据正弦函数的图象和性质可求出f(x)的单调增和减区间．
【解答】
解：(1)由T=π=2πω，ω=2，
∴fx=Asin2x+π4，
∵−1≤sin2x+π4≤1，
∴−A≤Asin2x+π4≤A，
∵ 函数fx=Asin2x+π4最大值与最小值的差为4，
∴ 2A=4，
∴A=2．
(2)由(1)知A=2，ω=2，
则函数fx=2sin2x+π4，
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，
∴ 函数fx的单调增区间是−3π8+kπ,π8+kπ，k∈Z，
同理， π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z，
∴ 函数fx 的单调减区间是π8+kπ,5π8+kπ，k∈Z．
【答案】
解：(1)由题意可设圆心C坐标为a,a，则圆的标准方程为：x−a2+y−a2=r2，
∴a2+a2=r2,4−a2+a2=r2,
解得a=2,r2=8,
故圆C的标准方程为：x−22+y−22=8．
(2)∵圆C半径为22，弦长为26，
∴ 圆心到直线x+y+k=0的距离d=(22)2−(6)2=2，
即|2+2+k|2=2，
解得：k=−2或k=−6.
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
(1)设圆C的标准方程后代入A，B的坐标可得；
(2)由圆的半径，弦长，利用垂径定理及勾股定理求出弦心距d的值，再由圆心C坐标和直线x+y+k=0，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解答】
解：(1)由题意可设圆心C坐标为a,a，则圆的标准方程为：x−a2+y−a2=r2，
∴a2+a2=r2,4−a2+a2=r2,
解得a=2,r2=8,
故圆C的标准方程为：x−22+y−22=8．
(2)∵圆C半径为22，弦长为26，
∴ 圆心到直线x+y+k=0的距离d=(22)2−(6)2=2，
即|2+2+k|2=2，
解得：k=−2或k=−6.
【答案】
解：1函数y=csx图象向左平移π3个单位后，
得到函数fx=csx+π3的图象，
再将函数y=fx图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变原来的12，
得到函数gx=cs2x+π3的图象．
故fx=csx+π3，gx=cs2x+π3.
2∵ fx=csx+π3∈−1,1，
若对于任意实数x都有fx≤gx0，
则gx0=cs2x0+π3=1，
即2x0+π3=2kπk∈Z，
∴ x0=−π6+kπk∈Z
∴ 实数x0的集合为x0|x0=−π6+kπ,k∈Z．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
函数恒成立问题
【解析】
(1)利用三角函数的变换规律求解即可；
2由题意得到gx0=cs2x0+π3=1，求解即可.
【解答】
解：1函数y=csx图象向左平移π3个单位后，
得到函数fx=csx+π3的图象，
再将函数y=fx图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变原来的12，
得到函数gx=cs2x+π3的图象．
故fx=csx+π3，gx=cs2x+π3.
2∵ fx=csx+π3∈−1,1，
若对于任意实数x都有fx≤gx0，
则gx0=cs2x0+π3=1，
即2x0+π3=2kπk∈Z，
∴ x0=−π6+kπk∈Z
∴ 实数x0的集合为x0|x0=−π6+kπ,k∈Z．
【答案】
解：1点A1,0,B−2,0，动点Px,y满足|PA|=2|PB|，
∴ x−12+y2=2x+22+y2，
化简可得：x2+y2+6x+5=0.
(2)由 x+32+y2=4,y=−33x−1, 得 x=−2,y=3,
由 x+32+y2=4,y=33x−1, 得 x=−2,y=−3,
所以点P的坐标为−2,3或−2,−3.
【考点】
两点间的距离公式
轨迹方程
圆的一般方程
直线与圆的位置关系
【解析】
1根据|PA|=2|PB|，得到x−12+y2=2x+22+y2，化简即可得到轨迹方程；
(2)由题意得到直线PA方程为y=−33x−1，联立x2+y2+6x+5=0,y=−33x−1,求解即可.
【解答】
解：1点A1,0,B−2,0，动点Px,y满足|PA|=2|PB|，
∴ x−12+y2=2x+22+y2，
化简可得：x2+y2+6x+5=0.
(2)由 x+32+y2=4,y=−33x−1, 得 x=−2,y=3,
由 x+32+y2=4,y=33x−1, 得 x=−2,y=−3,
所以点P的坐标为−2,3或−2,−3.
【答案】
解：1函数fx=lg12a−sinx的图象经过点Pπ6,1，
∴ fπ6=lg12a−sinπ6=1，
解得a=1，
∴ fx=lg121−sinx，
由1−sinx>0，
可得sinx<1，
∴ x≠π2+2kπk∈Z，
∴ 函数fx的定义域为x|x≠π2+2kπ,k∈Z.
2若fx≥1，
则lg121−sinx≥1=lg1212，
∴ 0<1−sinx<12，
∴ 12∴ π6+2kπ∴ 不等式的解集为{x|π6+2kπ< x<5π6+2kπ且x≠π2+2kπ,k∈Z}.
【考点】
正弦函数的单调性
对数函数的定义域
函数的定义域及其求法
对数函数的图象与性质
【解析】
1根据fπ6=lg12a−sinπ6=1，求出a=1，利用1−sinx>0，求出函数的定义域；
(2)由题意得到0<1−sinx<12，解不等式即可.
【解答】
解：1函数fx=lg12a−sinx的图象经过点Pπ6,1，
∴ fπ6=lg12a−sinπ6=1，
解得a=1，
∴ fx=lg121−sinx，
由1−sinx>0，
可得sinx<1，
∴ x≠π2+2kπk∈Z，
∴ 函数fx的定义域为x|x≠π2+2kπ,k∈Z.
2若fx≥1，
则lg121−sinx≥1=lg1212，
∴ 0<1−sinx<12，
∴ 12∴ π6+2kπ∴ 不等式的解集为{x|π6+2kπ< x<5π6+2kπ且x≠π2+2kπ,k∈Z}.