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高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第1节 天地力的综合:万有引力定律学案
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第1节 天地力的综合:万有引力定律学案，共17页。
第1节 天地力的综合：万有引力定律
知识点一 行星运行的规律
[观图助学]
上图为行星绕太阳转动的示意图，观察行星的运动轨迹，它们是规则的圆形吗？它们绕太阳一周的时间分别为，水星约88天、金星225天、地球约365天、火星约687天、木星约11.9年、土星约29.7年、天王星约84.3年、海王星约165.2年，据此猜测行星绕太阳转动的周期与它们到太阳的距离有什么样的定性关系？
开普勒行星运动的三个定律
[思考判断]
(1)为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动。(√)
(2)太阳系中所有行星的运动速率是不变的。(×)
(3)太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长。(√)
由左侧数据可以得出，离太阳越远的行星绕太阳一周的时间越长。
德国天文学家开普勒通过研究20多年的观测数据，总结出了行星运动的三大定律。
假设地球与太阳的连线在第一个时间T内扫过的面积为S，则在下一个时间T内扫过的面积也为S，但是其它行星在相同的时间T内扫过的面积却不是S。
比例系数k由中心天体决定，中心天体不同，比例系数不同。
知识点二 万有引力定律
1.万有引力定律
2.“月－地”检验
证明了地球与物体间的引力和天体间的引力具有相同性质，遵循同样的规律。
[思考判断]
(1) 一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略。(×)
(2)任何两物体间都存在万有引力。(√)
(3)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球引力是两种不同性质的力。(×)
苹果受到地球的万有引力而落向地面。
不能根据公式F＝eq \f(Gm1m2,r2)得出：当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大，因为此时物体不能被看做质点，公式不再适用。
知识点三 引力常量的测定
1.测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较精确地测出了引力常量。
2.意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。
3.知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
[思考判断]
(1)引力常量是牛顿首先测出的。(×)
(2)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。(√)
(3)卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值。(√),
引力常量的精确测量，使对万有引力由定性的认识走向定量的计算。
核心要点 开普勒定律的理解及应用
[问题探究]
如图所示为地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。
(1)太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？
(2)一年之内秋、冬两季比春、夏两季为什么要少几天？
答案 (1) 太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至地球到太阳的距离不同，夏至时地球到太阳的距离比冬至时远。
(2) 根据开普勒第二定律，地球在秋、冬两季比在春、夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天。
[探究归纳]
1.从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。
2.对速度大小的认识
(1)如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律知面积SA＝SB，因此开普勒第二定律又叫面积定律。可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3.对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。
(3)研究行星时，常数k与行星无关，只与太阳有关。研究其他天体时，常数k只与其中心天体有关。
[经典示例]
[例1] 关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B.行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C.行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大
D.离太阳越近的行星运动周期越短
解析 不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道不同，但有一个共同的焦点，即太阳位置，A、B均错误；由开普勒第二定律知行星离太阳距离小时速度大，距离大时速度小，C错误；运动的周期T与半长轴a满足eq \f(a3,T2)＝k，D正确。
答案 D
[针对训练1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析 火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，选项B错误；由开普勒第三定律可知eq \f(aeq \\al(3,火),Teq \\al(2,火))＝eq \f(aeq \\al(3,木),Teq \\al(2,木))＝k ，即eq \f(Teq \\al(2,火),Teq \\al(2,木))＝eq \f(aeq \\al(3,火),aeq \\al(3,木))，选项C正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积不相等，选项D错误。
答案 C
核心要点 万有引力定律的理解
[要点归纳]
1.万有引力表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)的适用条件
(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r是两个球体球心的距离。
(2)—个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用。
2.万有引力的“四性”
[经典示例]
[例2] (多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A.公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B.当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C.m1和m2所受引力大小总是相等的
D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
解析 引力常量G是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误；公式F＝Geq \f(m1m1,r2)适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，所以选项B错误。
答案 AC
[针对训练2] 要使两物体间的万有引力减小到原来的eq \f(1,4)，下列办法不可采用的是( )
A.使物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的eq \f(1,4)，距离不变
C.使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D.使两物体间的距离和质量都减为原来的eq \f(1,4)
解析 根据F＝Geq \f(m1m2,r2)可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的eq \f(1,4)，当距离和质量都减为原来的eq \f(1,4)时，万有引力不变，选项D错误。
答案 D
1.(物理学史的考查)下列物理学史正确的是( )
A.开普勒提出行星运动规律，并发现了万有引力定律
B.牛顿发现了万有引力定律并通过精确的计算得出万有引力常量
C.万有引力常量是卡文迪许通过实验测量并计算得出的
D.伽利略发现万有引力定律并得出万有引力常量
解析 由物理学史可知，开普勒提出行星运动规律，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测量并计算得出万有引力常量，故选项C正确，A、B、D错误。
答案 C
2.(对开普勒三定律的理解)关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C.所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D.所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
解析 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。
答案 A
3.(开普勒第三定律的应用)行星绕恒星运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方与周期T的平方的比值为常量，设eq \f(R3,T2)＝k，则k的大小( )
A.只与恒星的质量有关
B.与恒星的质量及行星的质量有关
C.只与行星的质量有关
D.与恒星的质量及行星的速度有关
解析 根据开普勒定律，所有行星绕同一恒星运动均满足eq \f(R3,T2)＝k，故k值只和恒星的质量有关，A正确。
答案 A
4.(对万有引力定律的应用)某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A.Geq \f(Mm,R2) B.Geq \f(Mm,（R＋h）2)
C.Geq \f(Mm,h2) D.Geq \f(Mm,R2＋h2)
解析 万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h。
答案 B
5.(重力与高度的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为eq \f(1,2)g，则该处距地球表面的高度为( )
A.(eq \r(2)－1)R B.R
C.eq \r(2)R D.2R
解析 设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝Geq \f(Mm,R2)，在高度为h处的重力eq \f(1,2)mg＝Geq \f(Mm,（R＋h）2)。解以上两式得h＝(eq \r(2)－1)R，A正确。
答案 A
6.(万有引力的计算)如图所示，两球的半径小于R，两球质量均匀分布，质量分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为( )
A.Geq \f(m1m2,Req \\al(2,1)) B.Geq \f(m1m2,Req \\al(2,2))
C.Geq \f(m1m2,（R1＋R2）2) D.Geq \f(m1m2,（R1＋R2＋R）2)
解析 由万有引力定律公式中“r”的含义知r应为两球重心之间的距离得，其距离为(R1＋R2＋R)，故两球之间的万有引力为Geq \f(m1m2,（R1＋R2＋R）2)，D正确。
答案 D
基础过关
1.关于太阳与行星间引力的公式F＝Geq \f(Mm,r2)，下列说法正确的是( )
A.公式中的G是引力常量，是人为规定的
B.太阳与行星间的引力是一对平衡力
C.公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D.公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关
解析 公式F＝Geq \f(Mm,r2) 中的G是一个比例系数，它与开普勒第三定律中k＝eq \f(R3,T2)的常数k不同，G与太阳质量、行星质量都没有关系，而k与太阳质量有关，故C选项正确。
答案 C
2.如图所示是行星m绕恒星M运行的示意图，下列说法正确的是( )
A.速率最大点是B点
B.速率最小点是C点
C.m从A点运动到B点做减速运动
D.m从A点运动到B点做加速运动
解析 由开普勒第二定律可知A点速率最大，B点速率最小，故从A到B做减速运动，所以选项A、B、D错误，C正确。
答案 C
3.关于开普勒行星运动的公式eq \f(r3,T2)＝k，以下理解正确的是( )
A.k是一个与行星有关的量
B.行星轨道的半长轴越长，自转周期越长
C.行星轨道的半长轴越长，公转周期越长
D.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则eq \f(Req \\al(3,地),Teq \\al(2,地))＝eq \f(Req \\al(3,月),Teq \\al(2,月))
解析 eq \f(r3,T2)＝k中k是一个与行星无关的量，它是由太阳质量所决定的一个恒量，A错误；T是公转周期，B错误，C正确；eq \f(r3,T2)＝k是指围绕太阳的行星的周期与轨道半径的关系，D错误。
答案 C
4.牛顿得出万有引力定律之前进行的月—地检验是检验下列哪两个力属于同一性质力( )
A.太阳对地球的引力和太阳对其他行星的引力
B.地球对太阳的引力和地球对月球的引力
C.地球对其表面物体的引力和月球对其表面物体的引力
D.地球对月球的引力和地球对其表面物体的引力
解析 月—地检验是判断地球对月球的引力与地球对其表面物体的引力是否为同一性质力，故选D。
答案 D
5.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是( )
解析 由开普勒第三定律知eq \f(R3,T2)＝k，所以R3＝kT2，D正确。
答案 D
6.如图所示，两个半径分别为r1＝0.60 m，r2＝0.40 m，质量分布均匀的实心球质量分别为m1＝4.0 kg，m2＝1.0 kg，两球间距离为r＝2.0 m，则两球间万有引力的大小为( )
×10－11 N B.大于6.67×10－11 N
C.小于6.67×10－11 N D.不能确定
解析 运用万有引力定律公式F＝Geq \f(m1m2,r2)进行计算时，首先要明确公式中各物理量的含义，对于质量分布均匀的球体，r指的是两个球心间的距离，显然题目所给的距离是不符合要求的，两球心间的距离应为r＋r1＋r2＝3.0 m，两球间的引力大小为F＝eq \f(Gm1m2,r2)，代入数据可得2.96×10－11 N。
答案 C
7.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到eq \f(F,4)，应把此物体置于距地面的高度为(R指地球半径)( )
A.R B.2R
C.4R D.8R
解析 万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中r表示该物体到地球球心之间的距离，为使此物体受到的引力减小到eq \f(F,4)，应把此物体置于距地面的高度为R处，使物体到地球球心的距离变成原来的2倍，故选A。
答案 A
8.火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的eq \f(1,9)，那么地球表面质量为m的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的多少倍？
解析 设火星半径为R，质量为M，则地球半径为2R，质量为9M。
在地球表面人受到的引力F＝Geq \f(9Mm,（2R）2)，
在火星表面人受到的引力F′＝Geq \f(Mm,R2)；
所以eq \f(F,F′)＝eq \f(9,4)，即同质量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的eq \f(9,4)倍。
答案 eq \f(9,4)倍
能力提升
9.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq \f(1,602)
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq \f(1,602)
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的eq \f(1,6)
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的eq \f(1,60)
解析 设月球的质量为M月，地球的质量为M，苹果的质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝eq \f(GMM月,（60r）2)，苹果受到的万有引力为F＝eq \f(GMm,r2)，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律eq \f(GMM月,（60r）2)＝M月a月，eq \f(GMm,r2)＝ma，整理可得a月＝eq \f(1,602)a，故B正确；在月球表面处eq \f(GM月m′,req \\al(2,月))＝m′g月，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到的引力为F′，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系，故D错误。
答案 B
10.某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半，那么一个物体在此行星表面上的重力是地球表面上重力的( )
A.eq \f(1,4)倍 B.eq \f(1,2)倍
C.4倍 D.2倍
解析 物体在某星球表面的重力等于万有引力
G星＝Geq \f(M星m,req \\al(2,星))＝Geq \f(\f(1,2)M地m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)r地))\s\up12(2))＝2Geq \f(M地m,req \\al(2,地))＝2G地，故D正确。
答案 D
11.行星A、B的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半长轴分别为r1和r2，则A、B的公转周期之比为( )
A.eq \r(\f(r1,r2)) B.eq \f(req \\al(3,1),req \\al(3,2))
C.eq \r(\f(req \\al(3,1),req \\al(3,2))) D.无法确定
解析 由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k得，eq \f(req \\al(3,1),Teq \\al(2,1))＝eq \f(req \\al(3,2),Teq \\al(2,2))，所以eq \f(Teq \\al(2,1),Teq \\al(2,2))＝eq \f(req \\al(3,1),req \\al(3,2))，eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(req \\al(3,1),req \\al(3,2)))，C正确。
答案 C
12.两个大小相同的实心均质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心均质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A.2F B.4F
C.8F D.16F
解析 设小铁球的半径为R，则两小球间：F＝Geq \f(mm,（2R）2)＝Geq \f(（ρ·\f(4,3)πR3）2,4R2)＝eq \f(4,9)Gπ2ρ2R4，同理，两大铁球之间：
F′＝Geq \f(m′m′,（4R）2)＝eq \f(4,9)Gπ2ρ2(2R)4＝16F。
答案 D
13.地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为( )
A.1∶27 B.1∶9
C.1∶3 D.9∶1
解析 根据F＝Geq \f(m1m2,r2)，由于引力相等即Geq \f(M地·m,req \\al(2,地))＝Geq \f(M月·m,req \\al(2,月))，所以eq \f(r月,r地)＝eq \r(\f(M月,M地))＝eq \r(\f(1,81))＝eq \f(1,9)，故选项B正确。
答案 B
14.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为eq \f(R,2)的球体，如图所示。求剩下部分对m 的万有引力F为多大？
解析 设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′。
由题意，知M′＝eq \f(M,8)，r′＝eq \f(3,2)R
由万有引力定律，得完整球对m的引力
F1＝Geq \f(Mm,（2R）2)＝eq \f(GMm,4R2)
被挖球对m的引力F2＝Geq \f(M′m,r′2)＝Geq \f(\f(M,8)m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)R))\s\up12(2))＝eq \f(GMm,18R2)
所以剩下部分对m的万有引力为
F＝F1－F2＝eq \f(7GMm,36R2)。
答案 eq \f(7GMm,36R2)
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
1.了解开普勒三定律的内容。
2.掌握万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题。
3.了解引力常量G，知道其测定方法及意义。
经历牛顿的月—地检验过程，知道地球对物体的引力与地球对月球的引力遵循同样的规律。
卡文迪许对引力常量的测定。
定律名称
内容
对应图示
第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
第二定律(面积定律)
太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等
第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比。数学表达式：eq \f(r3,T2)＝k
内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比
公式
F＝eq \f(Gm1m2,r2)，G＝6.67×10－11__m3/(kg·s2)，r指两个质点间的距离，对于匀质球体，就是两球心间的距离
条件
适用于两质点间的相互作用
特点
内容
普遍性
万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性
两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性
通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性
两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
第1节 天地力的综合：万有引力定律
知识点一 行星运行的规律
[观图助学]
上图为行星绕太阳转动的示意图，观察行星的运动轨迹，它们是规则的圆形吗？它们绕太阳一周的时间分别为，水星约88天、金星225天、地球约365天、火星约687天、木星约11.9年、土星约29.7年、天王星约84.3年、海王星约165.2年，据此猜测行星绕太阳转动的周期与它们到太阳的距离有什么样的定性关系？
开普勒行星运动的三个定律
[思考判断]
(1)为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动。(√)
(2)太阳系中所有行星的运动速率是不变的。(×)
(3)太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长。(√)
由左侧数据可以得出，离太阳越远的行星绕太阳一周的时间越长。
德国天文学家开普勒通过研究20多年的观测数据，总结出了行星运动的三大定律。
假设地球与太阳的连线在第一个时间T内扫过的面积为S，则在下一个时间T内扫过的面积也为S，但是其它行星在相同的时间T内扫过的面积却不是S。
比例系数k由中心天体决定，中心天体不同，比例系数不同。
知识点二 万有引力定律
1.万有引力定律
2.“月－地”检验
证明了地球与物体间的引力和天体间的引力具有相同性质，遵循同样的规律。
[思考判断]
(1) 一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略。(×)
(2)任何两物体间都存在万有引力。(√)
(3)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球引力是两种不同性质的力。(×)
苹果受到地球的万有引力而落向地面。
不能根据公式F＝eq \f(Gm1m2,r2)得出：当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大，因为此时物体不能被看做质点，公式不再适用。
知识点三 引力常量的测定
1.测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较精确地测出了引力常量。
2.意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。
3.知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
[思考判断]
(1)引力常量是牛顿首先测出的。(×)
(2)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。(√)
(3)卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值。(√),
引力常量的精确测量，使对万有引力由定性的认识走向定量的计算。
核心要点 开普勒定律的理解及应用
[问题探究]
如图所示为地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。
(1)太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？
(2)一年之内秋、冬两季比春、夏两季为什么要少几天？
答案 (1) 太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至地球到太阳的距离不同，夏至时地球到太阳的距离比冬至时远。
(2) 根据开普勒第二定律，地球在秋、冬两季比在春、夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天。
[探究归纳]
1.从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。
2.对速度大小的认识
(1)如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律知面积SA＝SB，因此开普勒第二定律又叫面积定律。可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3.对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。
(3)研究行星时，常数k与行星无关，只与太阳有关。研究其他天体时，常数k只与其中心天体有关。
[经典示例]
[例1] 关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B.行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C.行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大
D.离太阳越近的行星运动周期越短
解析 不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道不同，但有一个共同的焦点，即太阳位置，A、B均错误；由开普勒第二定律知行星离太阳距离小时速度大，距离大时速度小，C错误；运动的周期T与半长轴a满足eq \f(a3,T2)＝k，D正确。
答案 D
[针对训练1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析 火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，选项B错误；由开普勒第三定律可知eq \f(aeq \\al(3,火),Teq \\al(2,火))＝eq \f(aeq \\al(3,木),Teq \\al(2,木))＝k ，即eq \f(Teq \\al(2,火),Teq \\al(2,木))＝eq \f(aeq \\al(3,火),aeq \\al(3,木))，选项C正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积不相等，选项D错误。
答案 C
核心要点 万有引力定律的理解
[要点归纳]
1.万有引力表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)的适用条件
(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r是两个球体球心的距离。
(2)—个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用。
2.万有引力的“四性”
[经典示例]
[例2] (多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A.公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B.当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C.m1和m2所受引力大小总是相等的
D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
解析 引力常量G是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误；公式F＝Geq \f(m1m1,r2)适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，所以选项B错误。
答案 AC
[针对训练2] 要使两物体间的万有引力减小到原来的eq \f(1,4)，下列办法不可采用的是( )
A.使物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的eq \f(1,4)，距离不变
C.使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D.使两物体间的距离和质量都减为原来的eq \f(1,4)
解析 根据F＝Geq \f(m1m2,r2)可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的eq \f(1,4)，当距离和质量都减为原来的eq \f(1,4)时，万有引力不变，选项D错误。
答案 D
1.(物理学史的考查)下列物理学史正确的是( )
A.开普勒提出行星运动规律，并发现了万有引力定律
B.牛顿发现了万有引力定律并通过精确的计算得出万有引力常量
C.万有引力常量是卡文迪许通过实验测量并计算得出的
D.伽利略发现万有引力定律并得出万有引力常量
解析 由物理学史可知，开普勒提出行星运动规律，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测量并计算得出万有引力常量，故选项C正确，A、B、D错误。
答案 C
2.(对开普勒三定律的理解)关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C.所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D.所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
解析 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。
答案 A
3.(开普勒第三定律的应用)行星绕恒星运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方与周期T的平方的比值为常量，设eq \f(R3,T2)＝k，则k的大小( )
A.只与恒星的质量有关
B.与恒星的质量及行星的质量有关
C.只与行星的质量有关
D.与恒星的质量及行星的速度有关
解析 根据开普勒定律，所有行星绕同一恒星运动均满足eq \f(R3,T2)＝k，故k值只和恒星的质量有关，A正确。
答案 A
4.(对万有引力定律的应用)某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A.Geq \f(Mm,R2) B.Geq \f(Mm,（R＋h）2)
C.Geq \f(Mm,h2) D.Geq \f(Mm,R2＋h2)
解析 万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h。
答案 B
5.(重力与高度的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为eq \f(1,2)g，则该处距地球表面的高度为( )
A.(eq \r(2)－1)R B.R
C.eq \r(2)R D.2R
解析 设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝Geq \f(Mm,R2)，在高度为h处的重力eq \f(1,2)mg＝Geq \f(Mm,（R＋h）2)。解以上两式得h＝(eq \r(2)－1)R，A正确。
答案 A
6.(万有引力的计算)如图所示，两球的半径小于R，两球质量均匀分布，质量分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为( )
A.Geq \f(m1m2,Req \\al(2,1)) B.Geq \f(m1m2,Req \\al(2,2))
C.Geq \f(m1m2,（R1＋R2）2) D.Geq \f(m1m2,（R1＋R2＋R）2)
解析 由万有引力定律公式中“r”的含义知r应为两球重心之间的距离得，其距离为(R1＋R2＋R)，故两球之间的万有引力为Geq \f(m1m2,（R1＋R2＋R）2)，D正确。
答案 D
基础过关
1.关于太阳与行星间引力的公式F＝Geq \f(Mm,r2)，下列说法正确的是( )
A.公式中的G是引力常量，是人为规定的
B.太阳与行星间的引力是一对平衡力
C.公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D.公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关
解析 公式F＝Geq \f(Mm,r2) 中的G是一个比例系数，它与开普勒第三定律中k＝eq \f(R3,T2)的常数k不同，G与太阳质量、行星质量都没有关系，而k与太阳质量有关，故C选项正确。
答案 C
2.如图所示是行星m绕恒星M运行的示意图，下列说法正确的是( )
A.速率最大点是B点
B.速率最小点是C点
C.m从A点运动到B点做减速运动
D.m从A点运动到B点做加速运动
解析 由开普勒第二定律可知A点速率最大，B点速率最小，故从A到B做减速运动，所以选项A、B、D错误，C正确。
答案 C
3.关于开普勒行星运动的公式eq \f(r3,T2)＝k，以下理解正确的是( )
A.k是一个与行星有关的量
B.行星轨道的半长轴越长，自转周期越长
C.行星轨道的半长轴越长，公转周期越长
D.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则eq \f(Req \\al(3,地),Teq \\al(2,地))＝eq \f(Req \\al(3,月),Teq \\al(2,月))
解析 eq \f(r3,T2)＝k中k是一个与行星无关的量，它是由太阳质量所决定的一个恒量，A错误；T是公转周期，B错误，C正确；eq \f(r3,T2)＝k是指围绕太阳的行星的周期与轨道半径的关系，D错误。
答案 C
4.牛顿得出万有引力定律之前进行的月—地检验是检验下列哪两个力属于同一性质力( )
A.太阳对地球的引力和太阳对其他行星的引力
B.地球对太阳的引力和地球对月球的引力
C.地球对其表面物体的引力和月球对其表面物体的引力
D.地球对月球的引力和地球对其表面物体的引力
解析 月—地检验是判断地球对月球的引力与地球对其表面物体的引力是否为同一性质力，故选D。
答案 D
5.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是( )
解析 由开普勒第三定律知eq \f(R3,T2)＝k，所以R3＝kT2，D正确。
答案 D
6.如图所示，两个半径分别为r1＝0.60 m，r2＝0.40 m，质量分布均匀的实心球质量分别为m1＝4.0 kg，m2＝1.0 kg，两球间距离为r＝2.0 m，则两球间万有引力的大小为( )
×10－11 N B.大于6.67×10－11 N
C.小于6.67×10－11 N D.不能确定
解析 运用万有引力定律公式F＝Geq \f(m1m2,r2)进行计算时，首先要明确公式中各物理量的含义，对于质量分布均匀的球体，r指的是两个球心间的距离，显然题目所给的距离是不符合要求的，两球心间的距离应为r＋r1＋r2＝3.0 m，两球间的引力大小为F＝eq \f(Gm1m2,r2)，代入数据可得2.96×10－11 N。
答案 C
7.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到eq \f(F,4)，应把此物体置于距地面的高度为(R指地球半径)( )
A.R B.2R
C.4R D.8R
解析 万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中r表示该物体到地球球心之间的距离，为使此物体受到的引力减小到eq \f(F,4)，应把此物体置于距地面的高度为R处，使物体到地球球心的距离变成原来的2倍，故选A。
答案 A
8.火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的eq \f(1,9)，那么地球表面质量为m的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的多少倍？
解析 设火星半径为R，质量为M，则地球半径为2R，质量为9M。
在地球表面人受到的引力F＝Geq \f(9Mm,（2R）2)，
在火星表面人受到的引力F′＝Geq \f(Mm,R2)；
所以eq \f(F,F′)＝eq \f(9,4)，即同质量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的eq \f(9,4)倍。
答案 eq \f(9,4)倍
能力提升
9.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq \f(1,602)
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq \f(1,602)
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的eq \f(1,6)
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的eq \f(1,60)
解析 设月球的质量为M月，地球的质量为M，苹果的质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝eq \f(GMM月,（60r）2)，苹果受到的万有引力为F＝eq \f(GMm,r2)，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律eq \f(GMM月,（60r）2)＝M月a月，eq \f(GMm,r2)＝ma，整理可得a月＝eq \f(1,602)a，故B正确；在月球表面处eq \f(GM月m′,req \\al(2,月))＝m′g月，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到的引力为F′，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系，故D错误。
答案 B
10.某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半，那么一个物体在此行星表面上的重力是地球表面上重力的( )
A.eq \f(1,4)倍 B.eq \f(1,2)倍
C.4倍 D.2倍
解析 物体在某星球表面的重力等于万有引力
G星＝Geq \f(M星m,req \\al(2,星))＝Geq \f(\f(1,2)M地m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)r地))\s\up12(2))＝2Geq \f(M地m,req \\al(2,地))＝2G地，故D正确。
答案 D
11.行星A、B的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半长轴分别为r1和r2，则A、B的公转周期之比为( )
A.eq \r(\f(r1,r2)) B.eq \f(req \\al(3,1),req \\al(3,2))
C.eq \r(\f(req \\al(3,1),req \\al(3,2))) D.无法确定
解析 由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k得，eq \f(req \\al(3,1),Teq \\al(2,1))＝eq \f(req \\al(3,2),Teq \\al(2,2))，所以eq \f(Teq \\al(2,1),Teq \\al(2,2))＝eq \f(req \\al(3,1),req \\al(3,2))，eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(req \\al(3,1),req \\al(3,2)))，C正确。
答案 C
12.两个大小相同的实心均质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心均质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A.2F B.4F
C.8F D.16F
解析 设小铁球的半径为R，则两小球间：F＝Geq \f(mm,（2R）2)＝Geq \f(（ρ·\f(4,3)πR3）2,4R2)＝eq \f(4,9)Gπ2ρ2R4，同理，两大铁球之间：
F′＝Geq \f(m′m′,（4R）2)＝eq \f(4,9)Gπ2ρ2(2R)4＝16F。
答案 D
13.地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为( )
A.1∶27 B.1∶9
C.1∶3 D.9∶1
解析 根据F＝Geq \f(m1m2,r2)，由于引力相等即Geq \f(M地·m,req \\al(2,地))＝Geq \f(M月·m,req \\al(2,月))，所以eq \f(r月,r地)＝eq \r(\f(M月,M地))＝eq \r(\f(1,81))＝eq \f(1,9)，故选项B正确。
答案 B
14.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为eq \f(R,2)的球体，如图所示。求剩下部分对m 的万有引力F为多大？
解析 设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′。
由题意，知M′＝eq \f(M,8)，r′＝eq \f(3,2)R
由万有引力定律，得完整球对m的引力
F1＝Geq \f(Mm,（2R）2)＝eq \f(GMm,4R2)
被挖球对m的引力F2＝Geq \f(M′m,r′2)＝Geq \f(\f(M,8)m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)R))\s\up12(2))＝eq \f(GMm,18R2)
所以剩下部分对m的万有引力为
F＝F1－F2＝eq \f(7GMm,36R2)。
答案 eq \f(7GMm,36R2)
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
1.了解开普勒三定律的内容。
2.掌握万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题。
3.了解引力常量G，知道其测定方法及意义。
经历牛顿的月—地检验过程，知道地球对物体的引力与地球对月球的引力遵循同样的规律。
卡文迪许对引力常量的测定。
定律名称
内容
对应图示
第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
第二定律(面积定律)
太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等
第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比。数学表达式：eq \f(r3,T2)＝k
内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比
公式
F＝eq \f(Gm1m2,r2)，G＝6.67×10－11__m3/(kg·s2)，r指两个质点间的距离，对于匀质球体，就是两球心间的距离
条件
适用于两质点间的相互作用
特点
内容
普遍性
万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性
两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性
通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性
两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
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