鲁科版 (2019)必修 第二册第3章 圆周运动本章综合与测试导学案

这是一份鲁科版 (2019)必修 第二册第3章 圆周运动本章综合与测试导学案，共14页。




核心要点 水平面内的圆周运动


[要点归纳]


1.向心力的来源


向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。


2.典型运动模型





3.分析思路


(1)选择研究对象，找出匀速圆周运动的圆心和半径。


(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力。


(3)由F＝meq \f(v2,r)或F＝mrω2或F＝mreq \f(4π2,T2)列方程求解。


[经典示例]


[例1] (多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )





A.b一定比a先开始滑动


B.a、b所受的摩擦力始终相等


C.ω＝ eq \r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度


D.当ω＝ eq \r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg


解析 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，B项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A项正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωeq \\al(2,b)·2l，可得ωb＝ eq \r(\f(kg,2l))，C项正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωeq \\al(2,a)l，可得ωa＝eq \r(\f(kg,l))，而转盘的角速度ω＝eq \r(\f(2kg,3l))

答案 AC


[针对训练1] (多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度大小为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )





A.该弯道的半径r＝eq \f(v2,gtan θ)


B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变


C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压


D.当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压


解析 火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(v2,gtan θ)，故A正确；根据牛顿第二定律得mgtan θ＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(grtan θ)，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。


答案 ABD


核心要点 竖直面内的圆周运动


[要点归纳]


两类模型比较


[经典示例]


[例2] (多选)如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左、右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左、右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动。为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力，重力加速度为g)，则瞬时速度v必须满足( )





A.最小值为eq \r(4gr) B.最大值为eq \r(6gr)


C.最小值为eq \r(5gr) D.最大值为eq \r(7gr)


解析 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝meq \f(veq \\al(2,0),r)，由最低点到最高点由机械能守恒得eq \f(1,2)mveq \\al(2,min)＝mg·2r＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为eq \r(5gr)，A错误，C正确；为了使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为2mg，满足3mg＝meq \f(veq \\al(2,1),r)，从最低点到最高点由机械能守恒得eq \f(1,2)mveq \\al(2,max)＝mg·2r＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为eq \r(7gr)，B错误，D正确。


答案 CD


[针对训练2] 如图所示，长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B(可视为质点)，球A距轴O的距离为L。现给系统一定动能，使杆和球在竖直平面内转动。当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力。已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是( )





A.球B的速度为0 B.杆对球B的弹力为0


C.球B的速度为eq \r(2gL) D.球A的速度等于eq \r(2gL)


解析 对B球：T＋mg＝meq \f(veq \\al(2,B),2L)，对A球：T ′－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),L)，同时vB＝2vA，要使轴O对杆作用力为0，即满足T＝T ′，解得vA＝eq \r(2gL)，vB＝2eq \r(2gL)，故只有D项正确。


答案 D





1.(水平面内的圆周运动)(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )





A.路面外侧高、内侧低


B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动


C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动


D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小


解析 当汽车行驶的速率为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确；当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确；同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误；vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误。


答案 AC


2.(水平面内的圆周运动)如图所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，则关于摆球的受力情况，(不计空气阻力)下列说法中正确的是( )





A.摆球受重力、拉力和向心力的作用


B.摆球受拉力和向心力的作用


C.摆球受重力和拉力的作用


D.摆球受重力和向心力的作用


解析 我们在进行受力分析时，“物体受到哪几个力的作用”中的力是指按照性质命名的力，显然，物体只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2，显然，FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。所以，本题正确选项为C。





答案 C


3.(竖直面内的圆周运动)如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点。则小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是( )


A.小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力


B.在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合力为零


C.小球在最低点C所受的合力，即为向心力


D.小球在摆动过程中绳子的拉力使其速率发生变化


解析 小球摆动过程中，合力沿绳子方向的分力提供向心力，不是靠外力的合力提供向心力，故A错误；在最高点A和B，小球的速度为零，向心力为零，但是小球所受的合力不为零，故B错误；小球在最低点受重力和拉力，两个力的合力竖直向上，合力等于向心力，故C正确；小球在摆动的过程中，由于绳子的拉力与速度方向垂直，则拉力不做功，拉力不会使小球速率发生变化，故D错误。





答案 C


4.(竖直面内的圆周运动)如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。则在该同学转动塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，重力加速度大小为g，下述分析正确的是( )





A.螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡


B.螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心


C.此时手转动塑料管的角速度ω＝eq \r(\f(mg,μr))


D.若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动


解析 由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大静摩擦力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，选项A正确，选项B错误；由μFN＝mg和FN＝mrω2得ω＝eq \r(\f(g,μr))，选项C错误；无论杆的转动速度增大多少，竖直方向受力始终平衡，故选项D错误。


答案 A





1.如图所示，小物体P放在水平圆盘上随圆盘一起转动，下列关于小物体所受摩擦力f的叙述正确的是( )





A.f的方向总是指向圆心


B.圆盘匀速转动时f＝0


C.在物体与轴O的距离一定的条件下，f跟圆盘转动的角速度成正比


D.在转速一定的条件下，f跟物体到轴O的距离成正比


解析 物体随圆盘转动过程中，如果圆盘匀速转动，则摩擦力指向圆心，如果变速转动，则摩擦力的一个分力充当向心力，另一个分力产生切向加速度，摩擦力不指向圆心，A、B错误；根据公式F＝f＝mω2r可得在物体与轴O的距离一定的条件下，f跟圆盘转动的角速度的平方成正比，C错误；因为ω＝2πn，所以f＝m(2πn)2r，即转速一定的条件下，f跟物体到轴O的距离成正比，D正确。


答案 D


2.如图所示，质量为m的物体，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )





A.受到的向心力为mg＋meq \f(v2,R)


B.受到的摩擦力为μmeq \f(v2,R)


C.受到的摩擦力为μ(mg＋meq \f(v2,R))


D.受到的合力方向斜向左上方


解析 物体做圆周运动经过最低点时，则有N－mg＝meq \f(v2,R)，解得N＝mg＋meq \f(v2,R)，故物体受到的滑动摩擦力f＝μN＝μ(mg＋meq \f(v2,R))，A、B错误，C正确；物体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左上方，D正确。


答案 CD


3.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，重力加速度大小为g，不计空气阻力。如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )





A.mω2R B.meq \r(g2－ω4R2)


C.meq \r(g2＋ω4R2) D.不能确定


解析 对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力产生向心力。由平行四边形定则可得F＝meq \r(g2＋ω4R2)，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为F＝meq \r(g2＋ω4R2)。故选项C正确。


答案 C


4.(多选)铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，重力加速度大小为g。下面分析正确的是( )





A.轨道半径R＝eq \f(v2,g)


B.v＝eq \r(gRtan θ)


C.若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内


D.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外


解析 火车转弯时受力如图所示，火车转弯的向心力由重力和支持力的合力提供，则mgtan θ＝meq \f(v2,R)，故转弯半径R＝eq \f(v2,gtan θ)；转弯时的速度v＝eq \r(gRtan θ)；若火车速度小于v时，需要的向心力小于mgtan θ，此时内轨对车轮产生一个向外的作用力，即车轮挤压内轨；若火车速度大于v时，需要的向心力大于mgtan θ，外轨对车轮产生一个向里的作用力，即车轮挤压外轨。





答案 BD


5.轻杆一端固定有质量为m＝1 kg的小球，另一端安装在水平转轴上，转轴到小球的距离为50 cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示。若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2 N，重力加速度g取10 m/s2。则( )





A.小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12 N


B.小球运动到最高点时，线速度v＝1 m/s


C.小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8 N


D.把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点


解析 小球运动到最高点时，杆受到小球的压力为2 N，由牛顿第三定律可知杆对小球的支持力FN＝2 N，在最高点，小球需要的向心力由重力和杆的支持力的合力提供，为F＝mg－FN＝8 N，故A错误；在最高点，由F＝meq \f(v2,r)得，v＝eq \r(\f(Fr,m))＝eq \r(\f(8×0.5,1)) m/s＝2 m/s，故B错误；小球运动到图示水平位置时，设杆对小球的拉力为FT，则有FT＝meq \f(v2,r)＝F＝8 N，则小球对杆的拉力FT′＝FT＝8 N，据题意知支架处于静止状态，由平衡条件可知地面对支架的摩擦力Ff＝FT′＝8 N，故C正确；把杆换成轻绳，设小球通过最高点的最小速度为v0，由mg＝meq \f(veq \\al(2,0),r)得，v0＝eq \r(gr)＝eq \r(10×0.5) m/s＝eq \r(5) m/s＞v，所以在同样转速的情况下，小球不能通过图示的最高点，故D错误。


答案 C


6.(多选)甲、乙两名溜冰运动员，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为9.2 N，下列判断正确的是( )





A.两人的线速度相同，约为40 m/s


B.两人的角速度相同，为eq \r(\f(23,60)) rad/s


C.两人的运动半径相同，都是0.45 m


D.两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m


解析 甲、乙两人绕共同的圆心做匀速圆周运动，他们间的拉力互为向心力，他们的角速度相同，半径之和为两人的距离。设甲、乙两人所需向心力为F向，角速度为ω，半径分别为r甲、r乙，则F向＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙＝9.2 N，r甲＋r乙＝0.9 m，代入数据解得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m，ω＝eq \r(\f(23,60)) rad/s，v＝eq \r(\f(69,2 000)) m/s，故选项B、D正确。


答案 BD


7.有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。





解析 设转盘转动的角速度为ω，钢绳与竖直方向的夹角为θ，


座椅到中心的距离为R＝r＋Lsin θ，


对座椅分析有F＝mgtan θ＝mRω2，


联立两式得ω＝eq \r(\f(gtan θ,r＋Lsin θ))。


答案 ω＝eq \r(\f(gtan θ,r＋Lsin θ))


8.如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球。现将小球拉到A点(保持轻绳绷直)由静止释放，当它经过B点时轻绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点，地面上的D点与OB在同一竖直线上。已知轻绳长L＝1.0 m，B点离地高度 H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，求：





(1)地面上D、C两点间的距离s；


(2)轻绳所受的最大拉力大小。


解析 (1)小球从A点到B点机械能守恒，则


mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)


小球从B点到C点做平抛运动，则水平方向s＝vBt


竖直方向H＝eq \f(1,2)gt2


解得s≈1.41 m。


(2)小球下摆到B点，轻绳的拉力和小球重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有F－mg＝meq \f(veq \\al(2,B),L)


解得F＝20 N


由牛顿第三定律得F′＝F＝20 N


即轻绳所受的最大拉力大小为20 N。


答案 (1)1.41 m (2)20 N





运动模型
向心力的来源图示
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平
路面转弯
水平转台
(光滑)
球—绳模型
球—杆模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
如球与轻杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点无支撑



最高点有支撑



最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征
mg＋FN＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界特征
FN＝0，vmin＝eq \r(gr)
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥eq \r(gr)
v≥0
速度和弹力关系讨论分析
①恰好过最高点时，v＝eq \r(gr)，mg＝meq \f(v2,r)，FN＝0，绳、轨道对球无弹力


②能过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN


③不能过最高点时，v①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心


②当0

③当v＝eq \r(gr)时，FN＝0


④当v>eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大