第4章三角函数专练9—三角函数、解三角形综合练习3大题-2021届高三数学一轮复习

第4章三角函数专练9三角函数、解三角形综合练习31．的内角、、的对边分别为、、．已知，，求．解：由，得到为钝角且，利用正弦定理，可变为：，即有，又，，是的内角，故或（舍去），所以，解得．2．设的内角，，的对边分别为，，，．（1）求证：；（2）若，求的值．解：（1）证明：，，，，．；（2）解：．3．在中，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）由条件在中，，，，利用正弦定理可得，即．解得．（Ⅱ）由余弦定理可得，即，即．解方程求得，或．当时，此时，根据，可得，，是等腰直角三角形，但此时不满足，故舍去．当时，求得，，，，满足条件．综上，．4．在中，角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的最小值．解：（Ⅰ）证明：由得：；两边同乘以得，；；即（1）；根据正弦定理，；，带入（1）得：；；（Ⅱ）；；，且，当且仅当时取等号；又，；；由余弦定理，；的最小值为．5．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若的面积，求角的大小．解：（Ⅰ）证明：，，，是三角形中的角，，；（Ⅱ）解：的面积，，，，，，或，或．6．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．（1）求的值；（2）若的面积为3，求的值．解：（1），由余弦定理可得：，，又．．．可得，，即．．，．．或由，．可得：，，，，，，，．．（2），解得．．7．设的内角、、的对边分别为、、，，且为钝角．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的取值范围．解：（Ⅰ）由和正弦定理可得，，即又为钝角，，，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，由二次函数可知的取值范围为，8．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且满足，．（1）求角、、；（2）若，求三角形的边长的值及三角形的面积．解：（1）的三个内角为，，，且．可得：，由正弦定理化简得：，，，．．即，，，由为锐角，可得，．（2），，，由正弦定理可得：，三角形的面积．9．已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且．（Ⅰ）求角；若，，当有且只有一解时，求实数的范围及的最大值．解：（Ⅰ）由已知．所以：，由余弦定理得，所以，即，，，所以：，即：．（Ⅱ）由已知，当有且只有一解时，或，所以；当，．由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立．三角形面积为．10．如图，、、、为平面四边形的四个内角．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，，，，求的值．证明：（Ⅰ）．等式成立．（Ⅱ）由，得，，由（Ⅰ）可知：，连结，在中，有，，，，，在中，有，所以，则：．于是，连结，同理可得：，于是．所以．11．已知斜内角，，的对边分别是，，．证明：；（Ⅱ）若且，，求的面积．解：证明：由，得，即．即．解：因为，所以，，，所以，因为，所以由得．所以，代入正弦定理可得，，所以．