第4章三角函数专练2—三角函数2大题-2021届高三数学一轮复习

第4章三角函数专练2—三角函数2大题1．已知函数．（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性．解：（1）∵f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣＝4sinx（cosx+sinx）﹣＝2sinxcosx+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）设BC的中点为D，且AD＝，求a+2c的取值范围．解：（1）由题意得，化简得．∵sinA≠0，∴．∴，∴．（2）设∠BAD＝θ，则△ABD中，由可知，由正弦定理及，可得，所以∴．由，可知，，∴，∴3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：（1）asin＝bsinA，即为asin＝acos＝bsinA，可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，∵sinA＞0，∴cos＝2sincos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得＜a＜2，可得△ABC面积S＝a•sin＝a∈（，）．4．已知函数为奇函数，且，其中（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值．解：（Ⅰ）∵是奇函数，∴，整理得，cosxcosθ＝0，即cosθ＝0．又θ∈（0，π），得．∴，由，得﹣（a+1）＝0，即a＝﹣1．则f（x）的解析式为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．⇒．∵，∴又，∴或．①由．∴；②由，，得．∴．综上，或．5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC＝；（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC＝，∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sinBsinC＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．6．如图，在平面直角坐标系xOY中，点A（x1，y1）在单位圆O上．∠xOA＝α且α∈（，）．（1）若cos（α+）＝﹣，求y1的值；（2）如图表示，B（x2，y2）也是单位圆O上的点，且∠AOB＝，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为C，D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）＝S1+S2，求函数f（α）的最大值．解：（1）由三角函数的定义有y1＝sinα，…2分∵cos（α+）＝﹣，且α∈（，）．∴sin（α+）＝，…4分∴y1＝sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝＝…6分（2）由y1＝sinα，得S1＝＝cosαsinα＝sin2α，…7分由定义得x2＝cos（α+），y2＝sin（α+），又由α∈（，），得α+∈（，），于是，S2＝﹣x2y2＝﹣cos（α+）sin（α+）＝﹣sin（2α+）…9分∴f（α）＝S1+S2＝sin2α﹣sin（2α+）＝sin2α﹣（sin2αcos+cos2αsin）＝sin2α﹣cos2α＝（sin2α）＝，…11分由α∈（，），可得2∈（，），于是当2＝，即时，f（α）max＝…13分7．在△ABC中，三内角A，B，C满足．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若点D在线段AC上，且CD＝2DA，，求tanA的值．解：（Ⅰ）∵，∴sinAsinB＝1﹣sin2＝cos2，∴2sinAsinB＝1+cosC，∵C＝π﹣（A+B），∴2sinAsinB＝1+cos[π﹣（A+B）]＝1﹣cos（A+B），∴2sinAsinB＝1﹣cosAcosB+sinAsinB，即cosAcosB+sinAsinB＝1，即cos（A﹣B）＝1，∵A﹣B∈（﹣π，π），∴A﹣B＝0，可得A＝B，可得△ABC的形状为等腰三角形；（Ⅱ）设DA＝x，CD＝2x，∠ABD＝θ，在△ADB中，由正弦定理可得，即，在△CDB中，由正弦定理可得，即，即，∴，∴sin（A﹣θ）＝4cosAsinθ，∴sinAcosθ﹣cosAsinθ＝4cosAsinθ，∴sinAcosθ＝5cosAsinθ，∴tanA＝5tanθ，∵tanθ＝，∴tanA＝2．8．已知△ABC的面积为，且•＝﹣1．（1）角A的大小及BC长的最小值；（2）设M为BC的中点，且AM＝，∠BAC的平分线交BC于点N，求线段MN的长．解：（1）在△ABC中，由•＝﹣1，得cbcosA＝﹣1，由S△ABc＝，得bcsinA＝，所以（bc）2（cos2A+sin2A）＝4，所以bc＝2，cosA＝﹣，因为在△ABC中，0＜A＜π，所以A＝，因为a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2+2≥2bc+2（当且仅当b＝c时取等），所以BC长的最小值为；（2）在三角形ABC中，因为AM为中线，所以＝+，＝+，所以2＝+，因为AM＝，所以（2）2＝（+）2＝b2+c2﹣2＝3，所以b2+c2＝5，由（1）知bc＝2，所以b＝1，c＝2或b＝2，c＝1，所以a2＝b2+c2﹣2bccosA＝，因为AN为角平分线，S△ABN＝AB•ANsin，S△ACN＝AC•ANsin，∴＝＝＝或2，所以BM＝，BN＝或，所以MN＝．9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A+cosAcos（C﹣B）＝sinBsinC．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的内切圆面积为π，当•的值最小时，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）因为在△ABC中有cos2A+cosAcos（C﹣B）＝sinBsinC，则cosA[cosA+cos（C﹣B）]＝sinBsinC，所以cosA[﹣cos（C+B）+cos（C﹣B）]＝sinBsinC，即2cosAsinBsinC＝sinBsinC，即cosA＝，又A∈（0，π），故A＝；（Ⅱ）由△ABC的内切圆面积为π，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，由题意可知△ABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D，E为切点，可得AI＝2，AD＝AE＝，则b+c﹣a＝2，于是（b+c﹣2）2＝b2+c2﹣bc，化简得4+bc＝4（b+c）≥8，所以bc≥12或bc≤，又b＞，c＞，所以bc≥12，即•＝bc∈[6，+∞），当且仅当b＝c时，•的最小值为6，此时三角形ABC的面积：bcsinA＝×12×sin＝3．10.如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM＝，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理可得，OM2＝OP2+MP2﹣2×OP•MPcos45°，解得PM的长为1或3；（Ⅱ）设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，OM＝，同理，ON＝＝，故＝＝＝＝＝＝因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，所以当α＝30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，此时，△OMN的面积最小，面积的最小值．