人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用学案及答案

这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用学案及答案，共12页。学案主要包含了锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形，解直角三角形的应用举例等内容，欢迎下载使用。




学习目标


1.复习本章的重点内容,整理本章知识,形成知识体系;


2.熟练掌握直角三角形的解法,并用相关知识解决一些简单的实际问题,进一步加深对锐角三角函数的认识.


学习过程


第一层学习:知识回顾


一、锐角三角函数定义


1.当锐角大小确定后,它所在的直角三角形每两边所构成的比都是 确定的值.





2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如图所示.


我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A= ;


我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cs A,即cs A= ;


我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A= .


3.锐角A的 都叫做∠A的锐角三角函数.三角函数的实质是一些比,这些比只与角的大小有关,当角的大小确定时,它的三角函数值就确定了,也就是说三角函数值随 的变化而变化.


二、特殊角的三角函数值





三、解直角三角形


1.一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中的 ,求出 的过程,叫做解直角三角形.


2.直角三角形中的边角关系:


(1)三边之间关系: ;


(2)两锐角之间关系: ;


(3)边角之间关系: .


3.解直角三角形的类型及步骤:





四、解直角三角形的应用举例


解决步骤:


1.将实际问题抽象成数学问题(画出 ,将其转化为解直角三角形的问题);


2.根据问题中的条件,适当选用 解直角三角形;


3.得到 问题的答案;


4.得到实际问题的 .


第二层学习:典例剖析


1.锐角三角函数的概念





【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.


【思路点拨】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4,在Rt△ABC中求得AB=4,再根据三角函数的定义求解可得.


解:





2.锐角三角函数的性质


【例2】当A为锐角,且

A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<60°


C.60°<∠A<90°D.30°<∠A<45°


【思路点拨】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答.


解析:


【例3】在△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B= .


【思路点拨】先根据互余两角三角函数关系得到cs B,再根据同角三角函数之间的关系得到sin B,最后根据tan B=求出结果.


解析:


3.特殊角的三角函数值


【例4】计算:-2tan 45°+4sin 60°-.


【思路点拨】根据特殊角的三角函数值和负整数指数的意义求出每项的值,再进行加减运算得到结果.


解:


4.解直角三角形





【例5】如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,AC=BD,已知sin C=,BC=12,求AD的长.


【思路点拨】根据直角三角形中的边角关系,确定线段AD、AC之间的数量关系;根据勾股定理列出关于线段AC、AD、DC的方程,即可解决问题.


解:





5.解直角三角形的实际应用





【例6】如图,点A、B为地球仪的南、北极点,直线AB与放置地球仪的平面交于点D,所成的角度约为67°,半径OC所在的直线与放置平面垂直,垂足为点E.DE=15 cm,AD=14 cm.求半径OA的长.(精确到0.1 cm)(参考数据:sin 67°≈0.92,cs 67°≈0.39,tan 67°≈2.36)


【思路点拨】在Rt△ODE中,DE=15,∠ODE=67°,根据∠ODE的余弦值,即可求得OD长,减去AD即为OA.


解:


【例7】如图,长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452 m,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340 m,为了测量高楼BC上发射塔AB的高度,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,sin α=,在顶端E点测得A的仰角为45°,求发射塔AB的高度.





【思路点拨】作EH⊥AC于H,设AC=24x,根据正弦的定义求出AD,根据勾股定理求出CD,根据题意列出方程求出x,结合图形计算即可.


解:


评价作业(满分100分)





1.(6分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cs A的值是( )


A.


B.


C.


D.





2.(6分)如图所示,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是( )


A.2


B.8


C.2


D.4





3.(6分)如图所示,网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为( )


A.


B.


C.


D.





4.(6分)如图所示的是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知cs∠ACD=,BC=4,则AC的长为( )


A.1


B.


C.3


D.





5.(6分)如图所示,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30°,从C点向塔底B走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为( )


A.50米


B.100米


C.米


D.米





6.(8分)如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为 .


7.(8分)在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A-1|+=0,那么∠C= .





8.(8分)如图所示,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tan α=,则t的值是 .


A.1


B.1.5


C.2


D.3





9.(8分)如图所示,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里.





10.(10分)计算.


(1)-(2 015-π)0-4cs 45°+(-3)2;








(2)(-1)2 015+sin 30°+(2-)(2+).











11.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)














12.(8分)如图所示,某河堤的横断面是梯形ABCD,BC∥AD,迎水坡AB长13米,且tan∠BAE=,求河堤的高BE是多少.

















13.(12分)如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连接PD.


(1)求证:PD是☉O的切线.














(2)求证:PD2=PB·PA.

















(3)若PD=4,tan∠CDB=,求直径AB的长.




















参考答案


学习过程


第一层学习:知识回顾


一、1.唯一


2.


3.正弦、余弦、正切 角度


二、特殊角的三角函数值





三、解直角三角形


1.已知元素 其余元素


2.(1)a2+b2=c2(勾股定理)


(2)∠A+∠B=90°;


(3)sin A=,cs A=,tan A=.


3.解直角三角形的类型及步骤:


∠A 90°-∠A ∠A ∠A c·cs A


四、解直角三角形的应用举例


1.示意图


2.锐角三角函数


3.数学


4.答案


第二层学习:典例剖析


1.锐角三角函数的概念


【例1】解:在Rt△BCD中,∵CD=3、BD=5,


∴BC==4,


又AC=AD+CD=8,


∴AB==4,


则sin A=,


cs A=,


tan A=.


2.锐角三角函数的性质


【例2】解析:∵cs 60°=,cs 30°=,


∴30°<∠A<60°.


故选:B.


【例3】解析:∵sin A=,


∴cs B=sin A=,


∴sin B=,


∴tan B=.


故答案为:.


3.特殊角的三角函数值


【例4】解:原式=2-2×1+4×-2


=2-2+2-2


=0.


4.解直角三角形


【例5】解:∵AD⊥BC,


∴△ADC为直角三角形;


故sin C=,设AD=12k,则AC=13k;


∵AC=BD,


∴DC=BC-BD=12-13k;


由勾股定理得:(13k)2=(12k)2+(12-13k)2,


整理得:6k2-13k+6=0,解得k=;


∴AD=8,或AD=18(不合题意,舍去),


故AD=8.


5.解直角三角形的实际应用


【例6】解:在Rt△ODE中,DE=15,∠ODE=67°,


∵cs∠ODE=,


∴OD≈≈38.46(cm),


∴OA=OD-AD≈38.46-14≈24.5(cm).


答:半径OA的长约为24.5 cm.





【例7】解:作EH⊥AC于H,


则四边形EDCH为矩形,


∴EH=CD,


设AC=24x,


在Rt△ADC中,sin α=,


∴AD=25x,


由勾股定理得,CD==7x,


∴EH=7x,


在Rt△AEH中,∠AEH=45°,


∴AH=EH=7x,


由题意得,24x=7x+340,


解得,x=20,


则AC=24x=480,


∴AB=AC-BC=480-452=28,


答:发射塔AB的高度为28 m.


评价作业


1.D 2.A 3.B 4.D 5.D 6.4 7.75° 8.2 9.10


10.解:(1)原式=2-1-2+9=8.


(2)原式=-1++1=.


11.解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,∵AB=2,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC==2,∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2.


12.解:因为tan∠BAE=,所以设BE=12x,则AE=5x.在Rt△ABE中,由勾股定理知AB2=BE2+AE2,即132=(12x)2+(5x)2,所以169=169x2,解得x=1(负值舍去).所以BE=12x=12(米).即河堤的高BE是12米.





13.(1)证明:如图所示,连接OD,OC,∵PC是☉O的切线,∴∠PCO=90°,∵AB⊥CD,AB是直径,∴,∴∠DOP=∠COP,又∵DO=CO,OP=OP,∴△DOP≌△COP(SAS),∴∠ODP=∠PCO=90°,∵D在☉O上,∴PD是☉O的切线.


(2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠PDO=90°,∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠A=∠PDB,又∵∠DPB=∠APD,∴△PDB∽△PAD,∴,∴PD2=PA·PB.


(3)解:∵DC⊥AB,∴∠ADB=∠DMB=90°,∴∠A+∠DBM=90°,∠BDC+∠DBM=90°,∴∠A=∠BDC,∵tan∠BDC=,∴tan A=,∵△PDB∽△PAD,∴,∵PD=4,∴PB=2,PA=8,∴AB=8-2=6.





锐角A


锐角三角函数
30°
45°
60°
sin A
cs A
tan A
图形
已知


类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边,一直角边(如c,a)
(1)b=


(2)由sin A=求


(3)∠B=
两直角边(a,b)
(1)c=


(2)由tan A=求


(3)∠B=90°-∠A
一边


一角
斜边,一锐角(如c,∠A)
(1)∠B=90°-


(2)由sin A=,得a=c·sin A


(3)由cs A=,得b=
一直角边,一锐角(如a,∠A)
(1)∠B=90°-∠A


(2)由tan A=,得b=


(3)由sin A=,得c=
锐角A


锐角三角函数
30°
45°
60°
sin A
cs A
tan A
1