02 一元二次函数（解析版）苏教版（2019）高中数学初升高练习

  第二讲  一元二次方程

【学习目标】

1．能用十字相乘法、配方法、公式法解一元二次方程

2．掌握韦达定理并利用韦达定理解题

3．理解“设而不求”的数学思想

【知识要点】

1．一元二次方程

（1）定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程

（2）一般形式：

2．解一元二次方程的常用方法

①韦达定理；②直接开平方法；③配方法；④因式分解法；

⑤公式法（求根公式）；⑥换元法等。

3．根的判别式

一元二次方程的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

对于一元二次方程，有

（1）          当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1，2＝；[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（2）          当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，；

（3）          当Δ＜0时，方程没有实数根．

4．韦达定理（根与系数的关系）

若一元二次方程的两根分别是，那么，x1·x2 这一关系也被称为韦达定理．

5．以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x­2)x＋x1·x2＝0．

  6．一元二次方程的两根之差的绝对值（求根公式或韦达定理）

若x1和x2分别是一元二次方程两根，则（其中

 ）．

【精讲精练】

一．一元二次方程的解法[来源:Z,xx,k.Com]

例1判定关于x的方程：x2－ax＋(a－1)＝0 的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

     【答案】：当时，两个相等实数根：1

              当时，两个不等实数根：1，

[来源:学科网ZXXK]

     【解析】：十字相乘，

           当时，两个相等实数根：1

           当时，两个不等实数根：1，

变式 判定关于x的方程：x2－2x＋a＝0 的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

【答案】：，两不等实数根；，两相等实数根1；，无实数根。

【解析】：（1）当，即时，有两个不等实数根：

（2）当，即时，有两个相等实数根：1

（3）当，即时，没有实数根

二．韦达定理

例2 以－3和1为根的一元二次方程是         ．

     【答案】：

     【解析】：由韦达定理，得，不妨设

变式 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

【答案】：

【解析】：由，即求的两根。

三．“设而不求”思想（韦达定理的应用）

例3 若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于           ．

【答案】：2006

【解析】：由韦达定理，得，原式=

变式1 已知是一元二次方程的两根，试用a表示代数式

【答案】：

【解析】：由韦达定理，得，则

        原式=

例4 已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k(k+1)=0的两实根的平方和为9，求实数k的值.

【答案】：

【解析】：设方程的两个实数根为，则有，

        得：

        又，得，∴

变式 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

     【答案】：

 【解析】：设方程的两个实数根为，则有，

          得：

          又，得，∴

四．一元二次方程解的情况的判断

例5 若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是                                                   （     ）[来源:Zxxk.Com]

A.                          B      

C. 且                  D 且

【答案】：

【解析】：，得且

变式1 关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0

（1）试判定当m取何值时，该方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

（2）试判定当m取何值时，该方程有两个相等的正根？

【答案】：（1），两不等实根；，两相等实根；，无实数根

        （2）

【解析】：（1）当，即时，有两个不等实数根

             当，即时，有两个相等实数根

             当，即时，无实数根

        （2）由题意得：，得

【思维拓展】

1. 已知两不等实数a，b满足，，求的值.

【答案】：

【解析】：是一元二次方程的不等实根

则有

原式=

【课外作业】

1．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（    ）

A.           B. 3           C. 6          D. 9

【答案】：

【解析】：斜边长

2. 如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是          ．

【答案】：

【解析】：由韦达定理，得：

         原式=

            。

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个

不相等的实数根？

  【答案】：且

  【解析】：由题意，得

           ，即且。

4.关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．

  【答案】：

【解析】：，得

5．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果，求实数k的取值范围

  【答案】：（1）略；（2）

【解析】：（1），∴方程有两个不相等的实数根

        （2），即