11 函数的单调性（解析版）苏教版（2019）高中数学初升高练习

  第十一讲  单调性与最大(小)值（一）

【学习目标】

l.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤

2.会用图像求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力

3.掌握简单的含参数函数的单调性及单调性解简单的抽象不等式

【知识要点】

l.函数的单调性的定义

增函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数. 简称为：步调一致增函数.

几何意义：增函数的从左向右看, 图象是上升的。

减函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.

几何意义：减函数的从左向右看, 图象是下降的.[来源:学科网ZXXK]

2.单调性的证明方法

判断或证明在区间上的单调性应按以下步骤：

（1）取数：在该区间内的任取两个数，且

（2）作差：将函数值与作差

（3）变形：将上述差式通过因式分解、通分、有理化等方法，化为几个因式的乘积或商

（4）定号：对上述变形的结果的正、负加以判断

（5）判断：对的单调性作出结论

   其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止．

3.单调性的判断方法：

（1）定义法：利用定义严格判断；

（2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间；

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．

【精讲精练】

  一．函数单调性的定义

例1问题①:分别作出函数，，，的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1所示:

图1

问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

问题③:如图2是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

图2

问题④:如何从解析式的角度说明在［0,+∞)上为增函数？

问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

归纳总结：

1.函数单调性的几何意义：

2.函数单调性的定义：

  二．图像法判断函数单调性

例2 如图3是定义在区间［－5，5］上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

【答案】：单调增区间：，

         单调减区间：，

  【解析】：由单调性定义可得。

  三．定义法判断函数单调性

 例3 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.

      【答案】：略

      【解析】：对于定义域内任意的，设

             ∴ 即当体积减少时，压强将增大

             ∴函数为减函数

变式 证明函数在上是减函数；

【答案】：略

【解析】：对于上任意的，设

         ∴

         ∴函数在是减函数

例4 已知函数都是R上的增函数，求证：是R上的增函数

【答案】：略

【解析】：对于上任意的，设

         则有，

         ∴

         ∴是上的增函数

     变式 已知函数是R上的增函数，是R上的减函数，求证：是R上的增函数

       【答案】：略

  【解析】：对于上任意的，设

         则有，

         ∴

         ∴是上的增函数

  四．简单的含参函数的单调性

例5 已知函数在区间上是减函数，求的取值范围．

【答案】:

【解析】：对称轴[来源:学.科.网]

        ∴   即

变式1 函数在上y随着x的增大而增大，则当时，求对应的函数值的取值范围.

【答案】：

【解析】：对称轴，∴，

         ∴

  五．利用单调性解抽象不等式

例6 已知函数是减函数，则与的大小关系是

【答案】：

【解析】：

         ∴

变式 已知函数是减函数，解不等式

【答案】：

【解析】：∴

【思维拓展】

1.已知是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则a的取值范围是______.

【答案】：

【解析】：

         解得：或

【课外作业】

1．下列函数中，在区间上为增函数的是(     )[来源:学+科+网Z+X+X+K]

A.      B.      C.     D.

【答案】：

【解析】：：一次函数，在上单减

         对称轴，在单减

         反比例函数在单减

2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当时，f(x)为增函数，当时，函数f(x)为减函数，则m等于(     )[来源:学科网]

A．－4　        　B．－8         C．8             D．无法确定

【答案】：

【解析】：由题意得，是对称轴，∴

3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是(     )

A.     B.   C.   D.

【答案】：

【解析】：，解得

4．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有(     )

A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)          B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)

C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)        D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

   【答案】：

   【解析】：，∴；同理，

5．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：

①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；

③>0；④<0.

其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)

【答案】：①③

【解析】：由单调性判定方法：同增异减