【数学】辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年高二下学期开学测试试题（解析版）

辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年

高二下学期开学测试试题

一、单选题

1．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ）

A． B． C． D．

2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)

A．26 B．27

C．7 D．8

4．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的

B．4个全是好的

C．恰有2个是好的

D．至多有2个是坏的

5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期有，那么在这期间人口数

A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化 D．不变

6．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（  ）

A． B． C． D．

7．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（    ）

A． B．与是的最大值

C． D．

8．设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．9 B．15 C．18 D．36

9．在数列中，已知对任意，则（ ）

A． B．

C． D．

10．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．下列关于求导叙述正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

二、填空题

13．函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足： ,, 考查下列结论：① ；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.

以上结论正确的是__________．

14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)

15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．

16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

三、解答题

17．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.

（1）求，的通项公式

（2）设，数列的前项和为，求；

（3）设，其中,求

18．已知等差数列前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证：数列是等差数列.

19．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

（1）证明：函数与不存在“点”；

（2）若函数与存在“点”，求实数的值

20．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.

（I）求和的值.

（II）求函数的解析式.

21．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.

（1）求展开式中的系数；

（2）求展开式中系数绝对值最大的项；

（3）求的值.

22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.

（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.

参考答案

一、单选题

1．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)

A．26 B．27

C．7 D．8

【答案】D

4．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的

B．4个全是好的

C．恰有2个是好的

D．至多有2个是坏的

【答案】C

5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期有，那么在这期间人口数

A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化 D．不变

【答案】A

6．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

7．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（    ）．

A． B．与是的最大值

C． D．

【答案】C

8．设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．9 B．15 C．18 D．36

【答案】C

9．在数列中，已知对任意，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

10．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

11．已知函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

12．下列关于求导叙述正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

二、填空题

13．函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足： ,, 考查下列结论：① ；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.

以上结论正确的是__________．

【答案】②③④

【解析】

 ①因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，

∴令x=y=1,得f(1)=0，故①错误，

②令x=y=−1,得f(−1)=0；

令y=−1,有f(−x)=−f(x)+xf(−1)，

代入f(−1)=0得f(−x)=−f(x)，

故f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数．故②正确，

③若 (n∈N∗)，

则

.为常数.

故数列{}为等差数列，故③正确，

④∵f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x)，

∴当x=y时,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，

则，

.

…

则，

若n∈N∗)，

则为常数，

则数列{}为等比数列，故④正确，

故答案为②③④．

14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)

【答案】

15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．

【答案】1440

【详解】

解：∵7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，

∴采用插空法来解，

先排列甲、乙、丙之外的4人，有种结果，

再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，

根据分步计数原理知共有种结果，

故答案为：1440．

16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260.

三、解答题

17．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.

（1）求，的通项公式

（2）设，数列的前项和为，求；

（3）设，其中,求

【答案】（1），；（2）；（3）.

【详解】

（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，

，由，得，，解得，则.

由，得，解得，则；

（2），

；

（3）由，其中

可得，

，

其中，

设，

则，

两式相减得

整理得，

则，

．

18．已知等差数列前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证：数列是等差数列.

【答案】（1）；（2）见解析.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，则，解得，

；

（2），，

从而（常数），所以数列是等差数列.

19．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

（1）证明：函数与不存在“点”；

（2）若函数与存在“点”，求实数的值

【答案】（1）证明见解析

（2）

【详解】

解：（1）函数，则．

由且，得   

，此方程组无解，             

因此，与不存在“”点．        

（2）函数，，       

则．                   

设为与的“”点，由且，得

，即，（*）        

得，即，则．

当时，满足方程组（*），即为与的“”点．

因此，的值为．

20．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.

（I）求和的值.

（II）求函数的解析式.

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可．
（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可．

详解：

（1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．

故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6．

得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．

（2）∵f（x）过点P（0，2）

∴d=2

∵f（x）=x3+bx2+cx+d

∴f′（x）=3x2+2bx+c

由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6

又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1

联立方程得

故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2

21．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.

（1）求展开式中的系数；

（2）求展开式中系数绝对值最大的项；

（3）求的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】

（1）由，得，

通项，

令，解得，

展开式中的系数为.

（2）设第项系数的绝对值最大，

则，所以，

系数绝对值最大的项为.

（3）原式.

22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.

（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.

【答案】（I）见解析；（II）.

【详解】

（I）所有可能的取值为

；；

；.

的分布列为

数学期望.

（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生

即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况