【数学】安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二（实验班）上学期第一次月考（文） 试卷
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高二（实验班）上学期第一次月考（文）
一、选择题 (共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知表示两条不同的直线， 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若∥， ，则∥ B. 若， ，则∥
C. 若， ，则∥ D. 若， ∥，则
2.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各条棱中最长的棱是的长度是（ ）
A. B. C. D.
3.已知三棱锥 外接球的表面积为32 ， ，三棱锥 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A.4 B. C.8 D.
4.如图，正方体中，下列结论不正确的是（ ）．
A. B. C. D.
5.设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，三棱锥中，，，点分别是中点，则异面直线， 所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在四棱锥中， 平面，底面是梯形， ,且，则下列判断错误的是（ ）
A. 平面 B. 与平面所成的角为
C. D. 平面平面
8.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点， 分别在棱， 上，若， ， ， ，则四面体的体积（ ）．
A. 与有关，与， 无关 B. 与有关，与， 无关
C. 与有关，与， 无关 D. 与， ， 都有关
10.下列命题中， 表示两条不同的直线， 、、表示三个不同的平面．
①若， ，则； ②若， ，则；
③若， ，则； ④若， ， ，则．
正确的命题是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
11.在正三棱柱中，点为的中点，点是线段上的动点，则关于点到平面的距离说法正确的是（ ）
A. 点运动到点时距离最小
B. 点运动到线段的中点时距离最大
C. 点运动到点时距离最大
D. 点到平面的距离为定值
12.如图，在四面体中，若， ， 是的中点，则下列正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面，且平面平面
D. 平面平面，且平面平面
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知矩形 ,沿对角线 将它折成三棱椎 ，若三棱椎 外接球的体积为 ，则该矩形的面积最大值为 .
14.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_____．
15.如图，三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正（主）视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为__________．
16.如图，在三棱锥中， 底面， ， 是的中点， 是上的点，且，则__________．
三、解答题(共6小题,共70分)
17. (10分) 如图1所示，在直角梯形 中， ， ， ， ， ， ．将 沿 折起，使得点 在平面 的正投影 恰好落在 边上，得到几何体 ，如图2所示．
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 的距离．
18. (12分)五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，B为AC的中点， ． 先沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．
19. (12分)如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，且 ，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求四棱锥 的体积.
20. (12分)在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求该几何体的体积.
21. (12分)如图，在四棱锥中， 平面,
,.
(1)求证： ；
(2)求多面体的体积.
22. (12分)如图，三棱柱中，底面为正三角形， 底面，且， 是的中点.
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
参考答案
1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.A 7.C 8.C 9.A 10.C 11.D 12.C
13. 14.90°． 15. 16.
17.（1）解：据题意得： ， ，因为 ， ， ，满足 ，所以：
又 ，所以 ，得 ，又 ， ，
（2）解：设点 到平面 的距离为 ，由（1）知： 的高，且 ， ，
， ，
由 ，得 ，所以：
18.解：（1）证明：四边形为矩形，故，又由于二面角为直二面角，故，故,
由线段易知， ，
即，因此 ，
所以平面
（2）解：连接CN，过作，垂足为，
，
又，所以平面平面，且平面，，，
∴，
此几何体的体积．（ 12分）
19.解：（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
又∵底面 为正方形，
∴ .
∵ ，
∴ 平面 .
∴ .
设 交 于点 ，如图，在 中，
∵ ， ， ，
∴由余弦定理可得 .
∴ .
∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
又∵ 在平面 内，
∴平面 平面 ；
（Ⅱ）由题意可得 ，
而 ， 为三棱锥 的高，
则
20.解：
（1）因为，，所以，
由勾股定理，又，
所以平面.
（2）过作于，过作于，
于是：.
而，
，
所以.
21.解： (I) 面面
面
又面
(II)解：连接
平面
为直角三角形且为直角.
22.解：
（1）如图,连接交于点，连。
由题意知,在三棱柱中,平面,
∴四边形为矩形,
∴点为的中点.
∵ 为的中点,
∴.
∵ 平面,平面.
∴ 平面.
（2）∵底面为正三角形,是的中点,
∴,
∵ 平面,平面,
∴ .
∵ ,
∴ 平面,
∵ 平面,
∴平面平面.
（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.
设。
∵ ,,
∴ ,
即,
解得,
即.
∵ ,
∴ 在侧棱上存在一点,使得三棱锥的体积是,此时.
