【数学】河北省唐山市2020-2021学年高二上学期9月质量检测试题
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高二上学期9月质量检测试题
本试卷分第I卷(1～2页，选择题)和第II卷(3～8页，非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用2B铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1.已知向量a＝(4，－2)，b＝(m，3)，若a//b，则m＝
A.－6 B.6 C. D.－
2.在△ABC中，已知BC＝，AC＝1，B＝45°，则A＝
A.45° B.60° C.90° D.135°
3.同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为6的概率为
A. B. C. D.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1000＋a1021＝1，则S2020＝
A.2020 B.1021 C.1010 D.1002
5.设x，y满足约束条件，则z＝3x－y的最大值为
A.4 B.6 C.8 D.10
6.右图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为
A.1.2 B.1.5 C.1.6 D.1.8
7.已知x>0，y>0，M＝，N＝，则M和N大小关系为
A.M>N B.M<N C.M＝N D.以上都有可能
8.以下三个命题：
①对立事件也是互斥事件；
②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为，每个女生被抽到的概率为；
③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1。
其中正确命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知a>0，b>0，且4ab＋2a＋b＝4，则2a＋b的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8
10.右图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是
A.平均数为74 B.众数为60或70
C.中位数为75 D.该校数学月考成绩80以上的学生约占25%
11.如图，在△ABC中，D为BC中点，E在线段AD上，且AE＝2ED，则＝
A. B. C. D.
12.某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距50 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往救援，同时把信息通知在A南偏东30°，且与A处相距25 n mile的C处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度?
A.30° B.45° C.90° D.60°
第II卷(非选择题，共90分)
注意事项：
1.第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上)
13.已知数列{an}为等比数列，a3＋a5＝1，则a2a4＋2a3a5＋a4a6≈ 。
14.已知x>0，则y＝的最小值为 。
15.已知向量a＝(3，－6)，则与a垂直的单位向量的坐标为 。
16.学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择。调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有20%改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有30%改选A套餐。用an，bn分别表示第n个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数。第一个周一选A套餐的人数为a1人。
(1)如果每个周一选A套餐人数总相等，则a1＝ 。
(2)若a1＝350，则从第 个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)。
为了研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据：
(1)求y关于t的回归直线方程；
(2)利用(1)中的回归直线方程，预测当t＝10时，菜籽发芽个数。
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
18.(12分)
当a≤0时，解关于x的不等式ax2＋(1－3a)x－3≤0。
19.(12分)
街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位，供群众销售商品。某日街道办统计摊主的当日利润(单位：元)，绘制如下茎叶图。
(1)根据茎叶图，计算东区10位摊主当日利润的平均数，方差；
(2)从当日利润90元以上的摊主中，选出2位进行经验推介，求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率。
20.(12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足。
(1)求A；
(2)若ac＝bcosA＋acosB，求△ABC的周长的最大值。
21.(12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1a2＝3，S3＝6。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn。
22.(12分)
如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD。已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟。若此人步行的速度为每分钟50米。
(1)求△CDB的面积；
(2)求该扇形的半径OA的长。
参考答案
一．选择题：
1-12、ACDCC BABAD BD
二．填空题：
13．1 14．3 15．(，)或(－，－) 16．630（2分）；3（3分）
三．解答题：
17．解：
（1）由表中数据计算得，＝6，＝4，＝11，＝10，
＝＝1.1，＝－＝－2.6．
所以，回归方程为＝1.1t－2.6． …8分
（2）将t＝10代入（1）的回归方程中得＝11－2.6＝8.4．
故预测t＝10时，菜籽发芽个数约为8.4千个． …12分
18．解：
①当a＝0时，原不等式即x－3≤0，解得 x≤3； …2分
②当a＜0时，(ax＋1)(x－3)≤0.
方程(ax＋1)(x－3)＝0的两根为x1＝－，x2＝3. …4分
当a＝－时，原不等式即－(x－3)2≤0，解得x∈R.
当－＜a＜0时，－＞3，解得 x≥－或x≤3；
当a＜－时，－＜3，解得 x≥3或x≤－； …11分
综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤3}；
当a＝－时，原不等式的解集为R；
当－＜a＜0时，原不等式的解集为{x| x≥－或x≤3}；
当a＜－时，原不等式的解集为{x| x≥3或x≤－}. …12分
19．解：
（1）东区10位摊主利润的平均数是80，方差是
[(68－80)2＋(69－80)2＋(75－80)2＋(73－80)2＋(78－80)2＋(80－80)2＋
(89－80)2＋(81－80)2＋(92－80)2＋(95－80)2]＝79.4 …6分
（2）由题意可知，东区2摊主分设为A，B，西区3摊主分设为c，d，e．
再从这5位摊主中随机抽取2个，共包含：
(A，B)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(c，d)，(c，e)，
(d，e)，10种等可能的结果； …8分
其中东西两个区域各1位摊主事件包含(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，c)，(B，d)，
(B，e)，共计6种等可能的结果； …10分
由古典概型计算公式可得，选出东、西两个区域各1位摊主的概率
P＝＝． …12分
20．解：
（1）由已知×bcsinA＝bccosA，得tanA＝． …3分
因为0＜A＜180，所以A＝60． …5分
（2）由题设及正弦定理得asinC＝sinBcosA＋sinAcosB，
所以asinC＝sin(B＋A)，即asinC＝sinC．
由于0＜C＜120，sinC≠0，
所以a＝1． …8分
由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc，
所以(b＋c)2－1＝3bc≤3×()2，当且仅当b＝c＝1时取等号.
解得b＋c≤2 …11分
即△ABC的周长的最大值为3. …12分
21．解：
（1）由S3＝6得，a2＝2，
代入到a1a2＝3得a1＝，d＝，
所以{an}的通项公式为an＝n＋1． …4分
（2）由（1）知＝， …5分
Tn＝＋＋…＋＋，
Tn＝ ＋＋……＋＋． …8分
两式相减得
Tn＝＋(＋＋…＋)－ …10分
＝＋(1－)－＝2－
所以Tn＝4－． …12分
22．解：
（1）由题意CD＝400(米)，DB＝300(米)，∠CDB＝120°；
△CDB的面积S＝×300×400×sin120°＝30000(平方米)
所以△CDB的面积为30000平方米． …4分
（2）设扇形的半径为r，连结CO．
由题意∠CDO＝60°
在△CDO中，OC2＝CD2＋OD2－2 CD·OD·cos60°，
即r2＝4002＋(r－300) 2－2×400×(r－300)×， …8分
解得r＝370(米)
则该扇形半径OA的长为370米. …12分
