【数学】河北省邯郸市大名一中2020-2021学年高二上学期9月月考试题（解析版）

河北省邯郸市大名一中2020-2021学年
高二上学期9月月考试题
第Ⅰ卷
一、 选择题（单选题，本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、已知经过两点(5，)和(，8)的直线的倾斜角为，则的值是(　　)
A． B．7 　C． D．8
3、下列说法中正确的有（ ）
①平行的两条直线的斜率一定存在且相等 ②平行的两条直线的倾斜角一定相等
③垂直的两直线的斜率之积为-1 ④只有斜率相等的两条直线才一定平行
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4、将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的封闭几何体的表面积为(　　)
A． B． C． D．
5、已知直线与直线互相垂直，则（ ）
A. －1 B. C. 1 D. 4
6、点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成角的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7、若三条直线，，相交于一点， 则的值为(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
8、给出以下结论：
(1)直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b； (2)若a⊂α，bα，则a、b无公共点；
(3)若aα，则a∥α或a与α相交； (4)若a∩α＝A，则aα.
正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个　　　C．3个　　　D．4个
9、若分别为直线与上任意一点，则的最小值为(　)
A．　　 B．　　 　C．　 　D．
10、已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
11、有一木块如图所示，点在平面内，棱平行平面，要经过和棱将木料锯开，锯开的面必须平整，有种锯法，为(　　)
A．0种 B．1种 C．2种 D．无数种





12、已知菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是　　
① ②存在一个位置，使为等边三角形
③与不可能垂直 ④直线与平面所成的角的最大值为
A．1个 B．2个　　　C．3个　　　D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在长方体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有_____条．
14、已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是________．
15、已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则|PQ|的最小值为________．
16、如图所示，在空间四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长和两条对角线AC、BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（满分10分）已知三边所在直线方程分别为：，：，：.求边上的高所在的直线方程．


18、（满分12分）已知直线：．
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，且，求的值．



19、（满分12分）已知两条直线：，：，求分别满足下列条件的的值．
(1)若直线过点，并且直线与直线垂直；
(2)若直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．



20、（满分12分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的点(点不同于点)，且，为的中点．
求证：(1)平面⊥平面；
(2)直线∥平面.


21、（满分12分）如图，在直角梯形中，，，⊥平面，，
(1)求证：平面⊥平面；
(2)设的中点为，当为何值时，能使？请给出证明．





22、（满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，．
（1）求证：；
（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．



















参考答案
第Ⅰ卷
二、 选择题（单选题，本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]

2、已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的倾斜角为，则m的值是(　　)
A． B．7 　C． D．8
A　由题意可知直线的斜率等于1，由斜率公式可得＝1，解之得m＝.
3、下列说法中正确的有（ ）
①平行的两条直线的斜率一定存在且相等 ②平行的两条直线的倾斜角一定相等
③垂直的两直线的斜率之积为-1 ④只有斜率相等的两条直线才一定平行
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B 1个

4、将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的封闭几何体的表面积为(　　)
A． B．π C．2π D．3π
D　[由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S＝π×12＋×4×π×12＝3π.]
5、已知直线与直线互相垂直，则（ ）
A. －1 B. C. 1 D. 4
C
6、点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：　利用正方体求解，如图所示：

PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，选C.
答案：　C
7、若三条直线2x＋3y＋8＝0, x－y－1＝0, x＋ky＝0相交于一点， 则k的值为(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
D　[易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2), 代入x＋ky＝0, 得k＝－.]
8、给出以下结论：
(1)直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b； (2)若a⊂α，bα，则a、b无公共点；
(3)若aα，则a∥α或a与α相交； (4)若a∩α＝A，则aα.
正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个　　　C．3个　　　D．4个
B　[结合直线与平面的位置关系可知，(1)(2)错误，
(3)(4)正确．]
9、若P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　)
A．　　B．　　　C．　　D．
A　[因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]
10、已知过点的直线与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是(　　)
A． B．C． D．
A　[直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0，2)，B(2，0)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB 11、有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为(　　)

A．0种 B．1种
C．2种 D．无数种
B　[∵BC∥平面B′A′C′，∴BC∥B′C′，∴平面A′C′上过P作EF∥B′C′(图略)，则EF∥BC，所以过EF、BC所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定．∴只有一种方法．]
12、已知菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是　　
①
②存在一个位置，使为等边三角形
③与不可能垂直
④直线与平面所成的角的最大值为
A．1个 B．2个　　C．3个　D．4个
【解析】菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，如图：取的中点，连接，，可知，，所以平面，可知，所以①正确；
由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，所以②正确；
三棱锥是正四面体时，与垂直，所以③不正确；
三棱锥是正四面体时，直线与平面所成的角的最大值为，④正确．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在长方体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.

5　[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．]

14、已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是________．
　[如图所示， 设圆锥的底面半径为r, 母线长为l.

由题意，得解得r＝.
所以圆锥的底面面积为πr2＝π×＝.]
15、已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则|PQ|的最小值为________．
　[易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x.
又Q(0，－2)，设P(x0，y0)，则y0＝1－x0，所以|PQ|＝＝＝
≥＝(当且仅当x0＝时等号成立)，所以|PQ|的最小值为.]
16、如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________．

　[连接EF，根据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.
∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.
∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角，
设BC＝2，则BF＝1，BE＝，
∴sin∠BEF＝＝.]
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（满分10分）已知△ABC三边所在直线方程分别为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x-3y＋
16＝0，CA：2x＋y-2＝0.求AC边上的高BD所在的直线方程．
解法一：由，解得交点B(-4,0)，∵BD⊥AC，∴＝-＝，
∴AC边上的高BD所在的直线方程为y＝ (x＋4)，即x-2y＋4＝0.
解法二：设直线BD的方程为3x＋4y＋12＋λ(4x-3y＋16)＝0，
即(3＋4λ)x＋(4-3λ)y＋12＋16λ＝0.由BD⊥AC，得2·(3＋4λ)＋1·(4-3λ)＝0，解得λ＝-2.∴直线BD的方程为x-2y＋4＝0.
18、（满分12分）已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|＝|OB|，求k的值．
解析：　(1)证明： 法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2)，
故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，
则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，
即(x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，
所以
解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2,1)．
(2)因为直线l的方程为y＝kx－2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－，
依题意1－2k＝2－＞0，解得k＝－1或k＝(经检验，不合题意)
所以所求k＝－1.
19、（满分12分）已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0， ①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0. ②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.因此或
20、（满分12分）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明]　(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
21、（满分12分）

如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB (1)求证：平面SAB⊥平面SAD；
(2)设SB的中点为M，当为何值时，能使DM⊥MC？请给出证明．
解：(1)证明：∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD.
又SD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴SD⊥AB，∴AB⊥平面SAD.
又AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD.
(2)当＝2时，能使DM⊥MC.
连接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，
∴BD＝a，∴SD＝BD，∠BDA＝45°.
又M为SB的中点，
∴DM⊥SB.①
设CD的中点为P，连接BP，
则DP∥AB，且DP＝AB.
∴BP∥AD，∴BP⊥CD，∴BD＝BC.
又∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.
又BC⊥SD.∴BC⊥平面SBD.∴DM⊥BC.②
由①②知DM⊥平面SBC.∴DM⊥MC.
22、（满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，．
（1）求证：；
（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．

【解析】（1）证明：取的中点，连接．
因为，所以．
又因为，所以四边形是平行四边形．
因为所以四边形是矩形．所以．
又所以．
所以是直角三角形，即．
又底面，底面，所以．
又，平面，且．所以平面．
又平面，所以．
（2）因为，平面，平面，
所以平面．
设平面和平面的交线为，则，
连接，因为，且
所以平面，所以平面．所以，
所以是平面和平面所成二面角的平面角．
设，则，由（1）知，．
又，所以．
在中，，，所以
所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．