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2020-2021学年河北省唐山市高二（上）12月月考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年河北省唐山市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“∃x∈0,+∞，lg2xA.∃x∈−∞, 0，lg2x≥lg5xB.∃x∈0,+∞，lg2x≥lg5x
C.∀x∈0,+∞，lg2x≥lg5xD.∀x∈0,+∞，lg2x
2. 若双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的实轴长为6，离心率e=53，则其焦点坐标为( )
A.±4,0B.0,±4C.±5,0D.0,±5
3. 已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F4,0，点P3,y0是C上的一点，则|PF|=( )
A.7B.8C.9D.10
4. 已知一组数据2，4，x，5，6的平均数为5，则这组数据的方差为( )
A.3B.4C.5D.6
5. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于D，E两点．若C的焦距为4，则△ODE面积的最大值为( )
A.1B.2C.4D.8
6. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1 的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为( )
A.72B.52C.32D.22
7. 在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=2，BC=4，CD=3，BD=5，点E在棱AD上，且AE=2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A.64B.35C.31717D.32626
8. 已知椭圆C：x236+y211=1的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2，点P为C上一点，且PF1⊥PF2，则PA1→⋅PA2→=( )
A.−11B.11C.−24D.24
二、多选题
下列命题为真命题的是( )
A.“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件
B.“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件
C.两个无理数之和仍为无理数
D.所有大于2的偶数都不是素数
已知空间向量a→=−2,−1,1，b→=3,4,5，则下列结论正确的是( )
A.2a→+b→//a→B.5|a→|=3|b→|
C.a→⊥5a→+6b→D.a→与b→夹角的余弦值为−36
已知P是双曲线C：x216−y29=1右支上一点，F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为原点，若|OP→−OF2→|=8，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的离心率为54
B.双曲线C的渐近线方程为y=±43x
C.△PF1F2的面积为64
D.点P到双曲线C左焦点的距离是16
设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．过点M−2,1的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有( )
A.椭圆的方程为x29+y24=1
B.椭圆的焦距为5
C.椭圆上存在4个点Q，使得QF1→⋅QF2→=0
D.直线l的方程为8x−9y+25=0
三、填空题
抛物线x2=20y的准线方程为________.
现用分层抽样的方法从三个兴趣小组中抽取若干人进行集训，抽取情况如下表：
则x+y=________.
已知直线l的一个方向向量为m→=3,−1,t−1，平面α的一个法向量为n→=−t−1,0,2t，若l//α，则t=________.
如图，正四面体ABCD的棱长为1，△BCD的中心为O，过点O的平面α与棱AB，AC，AD，BD，CD所在的直线分别交于P，Q，R，S，T，则1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=________.
四、解答题
在①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与双曲线x23−y2=1有相同的焦点；③F1,F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1垂直于x轴的弦长为6，且________.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点A−2,2，点M是椭圆C上的任意一点，求|MA|+|MF2|的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成[15.5,16.5)，[16.5,17.5) ，[17.5,18.5)，[18.5,19.5)，[19.5,20.5)，20.5,21.5六组进行统计，得到如图所示的统计图．
(1)估计该农场的水果重量的平均数（同一组当中的水果重量用该组的中间值代替）；
(2)从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率．
某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：
附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2,a=y¯−bx¯.
(1)根据6月份至10月份的数据，求出v关于u的线性回归方程；
(2)该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投入广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告．
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为线段AC1的中点，N为棱A1D1 的中点，且AA1=A1B1.
(1)证明：MN⊥AC1；
(2)若B1C1=22,AA1=2，求B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=12AD=3，PA=PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．
(1)证明：EF//平面PCD．
(2)若PA=22，求二面角E−CF−A的余弦值．
已知Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线C:y2=4x上两个不同的点，C的焦点为F．
(1)若直线AB过焦点F，且y12+y22=32，求|AB|的值；
(2)已知点P−2,2，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA+kPB=−1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足PD→⋅AB→=0，求点D的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省唐山市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x∈0,+∞，lg2x故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a=6，
所以a=3．
又e=ca=53，
所以c=5．
因为双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的焦点在y轴上，
所以焦点坐标为0,±5.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F4,0，
所以p2=4，|PF|=3+p2=7．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
暂无
【解答】
解：因为15×2+4+5+x+6=5，
所以x=8，
所以方差s2=15×[(2−5)2+(4−5)2+(8−5)2+0+(6−5)2]=4．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
直线与双曲线结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立方程组x=a,y=bax,解得x=a,y=b,
故Da,b，同理可得Ea,−b，
所以|ED|=2b，S△ODE=12a×2b=ab．
因为C的焦距为4，
所以c=2，
c2=a2+b2≥2ab，
解得ab≤2，
当且仅当a=b=2时取等号，
所以S△ODE的最大值为2．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，
O为A1B1的中点，
由已知，A(−1,0,2)，B(1,0,2)，D(0,3,1)，C1(0,3,0)，
所以AB→=2,0,0，AD→=1,3,−1，
设平面ABD的法向量为n→=x,y,z，
n→⋅AB→=x=0，n→⋅AD→=3y−z=0，
令y=1，则z=3，即n→=0,1,3，C1D→=0,0,1，
则点C1到平面ABD的距离为|C1D→⋅n→||n→|=32．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得BC2+CD2=42+32=52=BD2，
所以∠BCD=90∘.
建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，
由题意得A0,0,2，B0,0,0，C0,4,0，D−3,4,0，
所以AD→=(−3, 4, −2)，BA→=(0, 0, 2)，CD→=−3,0,0．
由AE=2ED，得AE→=23AD→=−2,83,−43，
所以BE→=BA→+AE→=−2,83,23.
设异面直线CD与BE所成角为θ，
所以csθ=BE→⋅CD→|BE→||CD→|=63×4+689=32626.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
平面向量数量积的运算
【解析】
暂无
【解答】
解：设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，
则a=6，b=11，c=36−11=5，
PA1→⋅PA2→=PO→+OA1→⋅PO→+OA2→
=PO→−OA2→⋅PO→+OA2→
=PO→2−OA2→2，
因为∠F1PF2=π2，
所以|OP|=12|F1F2|=5，
所以PA1→⋅PA2→=PO→2−OA2→2=52−62=−11．
故选A．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：两个三角形面积相等也可能同底等高，它们可以不全等，
全等三角形面积一定相等，故前者是后者的必要不充分条件，故A是假命题；
因为若B⊆A，则A∩B=B，反之也成立，
所以“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件，故B是真命题；
当x=1−2，y=1+2时，x+y=2是有理数，故C是假命题；
设a=2k(k>1, k∈N)，则a是合数，故D是真命题．
故选BD.
【答案】
B,C,D
【考点】
向量的模
空间向量的数量积运算
空间向量的加减法
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a→+b→=−1,2,7，a→=−2,−1,1，而−1−2≠2−1≠71，故A错误；
因为|a→|=6，|b→|=52，所以5|a→|=3|b→|，故B正确；
因为a→⋅5a→+6b→=5a→2+6a→⋅b→=0，故C正确；
又cs⟨a→,b→⟩=−56×52=−36，故D正确．
故选BCD.
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A．因为双曲线x216−y29=1，a=4，b=3，c=5，所以e=54，故A正确；
B．渐近线方程为y=±34x，故B错误；
D．因为|OP→−OF2→|=8，所以|PF2|=8，
由|PF1|−|PF2|=8，得|PF1|=16，故D正确；
C．因为cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=5564，
所以sin∠F1PF2=311964，
故S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin∠F1PF2
=12×16×8×311964=3119，故C错误．
故选AD．
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=6，故a=3．
因为PF1⊥F1F2，
所以|F1F2|=|PF2|2−|PF1|2=25=2c，
故c=5，b=2，即椭圆的方程为x29+y24=1，故A正确；
椭圆的焦距为2c=25，故B错误；
由QF1→⋅QF2→=0知∠F1QF2=90∘，
故点Q在以线段F1F2为直径的圆上，
由c>b知圆与椭圆有4个交点，故C正确；
依题意知点M−2,1为弦AB的中点，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x129+y124=1，x229+y224=1，
两式相减得x1−x2x1+x29+y1−y2y1+y24=0.
因为x1+x2=−4，y1+y2=2，
所以2x1−x29=y1−y24，
故kAB=y1−y2x1−x2=89，
故l：y−1=89x+2，即8x−9y+25=0，故D正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
y=−5
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为x2=2py（p>0）的准线方程为y=−p2.
而2p=20，故所求准线方程为y=−5．
故答案为：y=−5．
【答案】
4
【考点】
分层抽样方法
【解析】
暂无
【解答】
解：由题意可得，100:200:300=x:2:y，
解得x=1，y=3，
所以x+y=1+3=4．
故答案为：4．
【答案】
−12或3
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
暂无
【解答】
解：因为l//α，
所以m→⊥n→，
则3−t−1+2tt−1=0，
化简得：2t2−5t−3=0，
解得t=−12或t=3．
故答案为：−12或3．
【答案】
3
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为O为△BCD的中心，
所以AO→=13AB→+AC→+AD→.
设|AP→|=x，|AQ→|=y，|AR→|=z，
所以AO→=13xAP→+13yAQ→+13zAR→．
因为O，P，Q，R四点共面，
所以13x+13y+13z=1，
即1x+1y+1z=3，1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=3.
故答案为：3.
四、解答题
【答案】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
椭圆的通径
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【答案】
解：(1)设该农场的水果重量的平均数为x¯，
则x¯=
16×2+17×5+18×14+19×13+20×4+21×22+5+14+13+4+2
=73840
=18.45，
所以该农场的水果重量的平均数为18.45.
(2)重量不小于19.5克的水果有6个，记为a，b，c，d，E，F，
其中重量不小于20.5克的水果有2个，记为E，F．
从a，b，c，d，E，F中任取2个，有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(a,F)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(b,F)，(c,d)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共15种情况，
至少有1个水果的重量不小于20.5克的有(a,E)，(a,F)，(b,E)，(b,F)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共9种情况，
则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率P=915=35．
【考点】
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)设该农场的水果重量的平均数为x¯，
则x¯=
16×2+17×5+18×14+19×13+20×4+21×22+5+14+13+4+2
=73840
=18.45，
所以该农场的水果重量的平均数为18.45.
(2)重量不小于19.5克的水果有6个，记为a，b，c，d，E，F，
其中重量不小于20.5克的水果有2个，记为E，F．
从a，b，c，d，E，F中任取2个，有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(a,F)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(b,F)，(c,d)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共15种情况，
至少有1个水果的重量不小于20.5克的有(a,E)，(a,F)，(b,E)，(b,F)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共9种情况，
则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率P=915=35．
【答案】
解：(1)有表中数据可得u¯=15×(10+11+13+12+9)=11，
v¯=15×(23+25+30+26+16)=24，
∴ b=i=15uivi−5u¯v¯i=15ui2−5u¯2=1351−5×11×24615−5×112=3.1，
a=v¯−bu¯=24−3.1×11=−10.1，
故v关于u的线性回归方程为v=3.1u−10.1．
(2)当u=15时，v=3.1×15−10.1=36.4>35，
所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)有表中数据可得u¯=15×(10+11+13+12+9)=11，
v¯=15×(23+25+30+26+16)=24，
∴ b=i=15uivi−5u¯v¯i=15ui2−5u¯2=1351−5×11×24615−5×112=3.1，
a=v¯−bu¯=24−3.1×11=−10.1，
故v关于u的线性回归方程为v=3.1u−10.1．
(2)当u=15时，v=3.1×15−10.1=36.4>35，
所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告．
【答案】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【答案】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs=m→⋅n→|m→||n→|=31010，且二面角E−CF−A为锐二面角，
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs=m→⋅n→|m→||n→|=31010，且二面角E−CF−A为锐二面角，
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【答案】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
抛物线的性质
轨迹方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．月份
6
7
8
9
10
广告费u（万元）
10
11
13
12
9
纯利润v（万元）
23
25
30
26
16
1. 命题“∃x∈0,+∞，lg2x
C.∀x∈0,+∞，lg2x≥lg5xD.∀x∈0,+∞，lg2x
2. 若双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的实轴长为6，离心率e=53，则其焦点坐标为( )
A.±4,0B.0,±4C.±5,0D.0,±5
3. 已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F4,0，点P3,y0是C上的一点，则|PF|=( )
A.7B.8C.9D.10
4. 已知一组数据2，4，x，5，6的平均数为5，则这组数据的方差为( )
A.3B.4C.5D.6
5. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于D，E两点．若C的焦距为4，则△ODE面积的最大值为( )
A.1B.2C.4D.8
6. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1 的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为( )
A.72B.52C.32D.22
7. 在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=2，BC=4，CD=3，BD=5，点E在棱AD上，且AE=2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A.64B.35C.31717D.32626
8. 已知椭圆C：x236+y211=1的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2，点P为C上一点，且PF1⊥PF2，则PA1→⋅PA2→=( )
A.−11B.11C.−24D.24
二、多选题
下列命题为真命题的是( )
A.“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件
B.“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件
C.两个无理数之和仍为无理数
D.所有大于2的偶数都不是素数
已知空间向量a→=−2,−1,1，b→=3,4,5，则下列结论正确的是( )
A.2a→+b→//a→B.5|a→|=3|b→|
C.a→⊥5a→+6b→D.a→与b→夹角的余弦值为−36
已知P是双曲线C：x216−y29=1右支上一点，F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为原点，若|OP→−OF2→|=8，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的离心率为54
B.双曲线C的渐近线方程为y=±43x
C.△PF1F2的面积为64
D.点P到双曲线C左焦点的距离是16
设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．过点M−2,1的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有( )
A.椭圆的方程为x29+y24=1
B.椭圆的焦距为5
C.椭圆上存在4个点Q，使得QF1→⋅QF2→=0
D.直线l的方程为8x−9y+25=0
三、填空题
抛物线x2=20y的准线方程为________.
现用分层抽样的方法从三个兴趣小组中抽取若干人进行集训，抽取情况如下表：
则x+y=________.
已知直线l的一个方向向量为m→=3,−1,t−1，平面α的一个法向量为n→=−t−1,0,2t，若l//α，则t=________.
如图，正四面体ABCD的棱长为1，△BCD的中心为O，过点O的平面α与棱AB，AC，AD，BD，CD所在的直线分别交于P，Q，R，S，T，则1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=________.
四、解答题
在①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与双曲线x23−y2=1有相同的焦点；③F1,F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1垂直于x轴的弦长为6，且________.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点A−2,2，点M是椭圆C上的任意一点，求|MA|+|MF2|的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成[15.5,16.5)，[16.5,17.5) ，[17.5,18.5)，[18.5,19.5)，[19.5,20.5)，20.5,21.5六组进行统计，得到如图所示的统计图．
(1)估计该农场的水果重量的平均数（同一组当中的水果重量用该组的中间值代替）；
(2)从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率．
某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：
附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2,a=y¯−bx¯.
(1)根据6月份至10月份的数据，求出v关于u的线性回归方程；
(2)该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投入广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告．
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为线段AC1的中点，N为棱A1D1 的中点，且AA1=A1B1.
(1)证明：MN⊥AC1；
(2)若B1C1=22,AA1=2，求B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=12AD=3，PA=PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．
(1)证明：EF//平面PCD．
(2)若PA=22，求二面角E−CF−A的余弦值．
已知Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线C:y2=4x上两个不同的点，C的焦点为F．
(1)若直线AB过焦点F，且y12+y22=32，求|AB|的值；
(2)已知点P−2,2，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA+kPB=−1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足PD→⋅AB→=0，求点D的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省唐山市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x∈0,+∞，lg2x
2.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a=6，
所以a=3．
又e=ca=53，
所以c=5．
因为双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的焦点在y轴上，
所以焦点坐标为0,±5.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F4,0，
所以p2=4，|PF|=3+p2=7．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
暂无
【解答】
解：因为15×2+4+5+x+6=5，
所以x=8，
所以方差s2=15×[(2−5)2+(4−5)2+(8−5)2+0+(6−5)2]=4．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
直线与双曲线结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立方程组x=a,y=bax,解得x=a,y=b,
故Da,b，同理可得Ea,−b，
所以|ED|=2b，S△ODE=12a×2b=ab．
因为C的焦距为4，
所以c=2，
c2=a2+b2≥2ab，
解得ab≤2，
当且仅当a=b=2时取等号，
所以S△ODE的最大值为2．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，
O为A1B1的中点，
由已知，A(−1,0,2)，B(1,0,2)，D(0,3,1)，C1(0,3,0)，
所以AB→=2,0,0，AD→=1,3,−1，
设平面ABD的法向量为n→=x,y,z，
n→⋅AB→=x=0，n→⋅AD→=3y−z=0，
令y=1，则z=3，即n→=0,1,3，C1D→=0,0,1，
则点C1到平面ABD的距离为|C1D→⋅n→||n→|=32．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得BC2+CD2=42+32=52=BD2，
所以∠BCD=90∘.
建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，
由题意得A0,0,2，B0,0,0，C0,4,0，D−3,4,0，
所以AD→=(−3, 4, −2)，BA→=(0, 0, 2)，CD→=−3,0,0．
由AE=2ED，得AE→=23AD→=−2,83,−43，
所以BE→=BA→+AE→=−2,83,23.
设异面直线CD与BE所成角为θ，
所以csθ=BE→⋅CD→|BE→||CD→|=63×4+689=32626.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
平面向量数量积的运算
【解析】
暂无
【解答】
解：设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，
则a=6，b=11，c=36−11=5，
PA1→⋅PA2→=PO→+OA1→⋅PO→+OA2→
=PO→−OA2→⋅PO→+OA2→
=PO→2−OA2→2，
因为∠F1PF2=π2，
所以|OP|=12|F1F2|=5，
所以PA1→⋅PA2→=PO→2−OA2→2=52−62=−11．
故选A．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：两个三角形面积相等也可能同底等高，它们可以不全等，
全等三角形面积一定相等，故前者是后者的必要不充分条件，故A是假命题；
因为若B⊆A，则A∩B=B，反之也成立，
所以“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件，故B是真命题；
当x=1−2，y=1+2时，x+y=2是有理数，故C是假命题；
设a=2k(k>1, k∈N)，则a是合数，故D是真命题．
故选BD.
【答案】
B,C,D
【考点】
向量的模
空间向量的数量积运算
空间向量的加减法
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a→+b→=−1,2,7，a→=−2,−1,1，而−1−2≠2−1≠71，故A错误；
因为|a→|=6，|b→|=52，所以5|a→|=3|b→|，故B正确；
因为a→⋅5a→+6b→=5a→2+6a→⋅b→=0，故C正确；
又cs⟨a→,b→⟩=−56×52=−36，故D正确．
故选BCD.
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A．因为双曲线x216−y29=1，a=4，b=3，c=5，所以e=54，故A正确；
B．渐近线方程为y=±34x，故B错误；
D．因为|OP→−OF2→|=8，所以|PF2|=8，
由|PF1|−|PF2|=8，得|PF1|=16，故D正确；
C．因为cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=5564，
所以sin∠F1PF2=311964，
故S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin∠F1PF2
=12×16×8×311964=3119，故C错误．
故选AD．
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=6，故a=3．
因为PF1⊥F1F2，
所以|F1F2|=|PF2|2−|PF1|2=25=2c，
故c=5，b=2，即椭圆的方程为x29+y24=1，故A正确；
椭圆的焦距为2c=25，故B错误；
由QF1→⋅QF2→=0知∠F1QF2=90∘，
故点Q在以线段F1F2为直径的圆上，
由c>b知圆与椭圆有4个交点，故C正确；
依题意知点M−2,1为弦AB的中点，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x129+y124=1，x229+y224=1，
两式相减得x1−x2x1+x29+y1−y2y1+y24=0.
因为x1+x2=−4，y1+y2=2，
所以2x1−x29=y1−y24，
故kAB=y1−y2x1−x2=89，
故l：y−1=89x+2，即8x−9y+25=0，故D正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
y=−5
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为x2=2py（p>0）的准线方程为y=−p2.
而2p=20，故所求准线方程为y=−5．
故答案为：y=−5．
【答案】
4
【考点】
分层抽样方法
【解析】
暂无
【解答】
解：由题意可得，100:200:300=x:2:y，
解得x=1，y=3，
所以x+y=1+3=4．
故答案为：4．
【答案】
−12或3
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
暂无
【解答】
解：因为l//α，
所以m→⊥n→，
则3−t−1+2tt−1=0，
化简得：2t2−5t−3=0，
解得t=−12或t=3．
故答案为：−12或3．
【答案】
3
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为O为△BCD的中心，
所以AO→=13AB→+AC→+AD→.
设|AP→|=x，|AQ→|=y，|AR→|=z，
所以AO→=13xAP→+13yAQ→+13zAR→．
因为O，P，Q，R四点共面，
所以13x+13y+13z=1，
即1x+1y+1z=3，1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=3.
故答案为：3.
四、解答题
【答案】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
椭圆的通径
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【答案】
解：(1)设该农场的水果重量的平均数为x¯，
则x¯=
16×2+17×5+18×14+19×13+20×4+21×22+5+14+13+4+2
=73840
=18.45，
所以该农场的水果重量的平均数为18.45.
(2)重量不小于19.5克的水果有6个，记为a，b，c，d，E，F，
其中重量不小于20.5克的水果有2个，记为E，F．
从a，b，c，d，E，F中任取2个，有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(a,F)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(b,F)，(c,d)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共15种情况，
至少有1个水果的重量不小于20.5克的有(a,E)，(a,F)，(b,E)，(b,F)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共9种情况，
则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率P=915=35．
【考点】
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)设该农场的水果重量的平均数为x¯，
则x¯=
16×2+17×5+18×14+19×13+20×4+21×22+5+14+13+4+2
=73840
=18.45，
所以该农场的水果重量的平均数为18.45.
(2)重量不小于19.5克的水果有6个，记为a，b，c，d，E，F，
其中重量不小于20.5克的水果有2个，记为E，F．
从a，b，c，d，E，F中任取2个，有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(a,F)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(b,F)，(c,d)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共15种情况，
至少有1个水果的重量不小于20.5克的有(a,E)，(a,F)，(b,E)，(b,F)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共9种情况，
则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率P=915=35．
【答案】
解：(1)有表中数据可得u¯=15×(10+11+13+12+9)=11，
v¯=15×(23+25+30+26+16)=24，
∴ b=i=15uivi−5u¯v¯i=15ui2−5u¯2=1351−5×11×24615−5×112=3.1，
a=v¯−bu¯=24−3.1×11=−10.1，
故v关于u的线性回归方程为v=3.1u−10.1．
(2)当u=15时，v=3.1×15−10.1=36.4>35，
所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)有表中数据可得u¯=15×(10+11+13+12+9)=11，
v¯=15×(23+25+30+26+16)=24，
∴ b=i=15uivi−5u¯v¯i=15ui2−5u¯2=1351−5×11×24615−5×112=3.1，
a=v¯−bu¯=24−3.1×11=−10.1，
故v关于u的线性回归方程为v=3.1u−10.1．
(2)当u=15时，v=3.1×15−10.1=36.4>35，
所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告．
【答案】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【答案】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【答案】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
抛物线的性质
轨迹方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．月份
6
7
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9
10
广告费u（万元）
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13
12
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纯利润v（万元）
23
25
30
26
16
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