2020-2021学年河北省承德市一中高二上学期第二次月考数学试题 word版

河北承德第一中学2020-2021学年上学期第二次月考

高二数学试题

本次考试范围：必修2圆与方程  选修2-1全部内容 

第I卷  选择题（共60分）

一、单选题：(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么 (　　)

A．点P在直线l上，但不在圆M上   B．点P在圆M上，但不在直线l上

C．点P既在圆M上，也在直线l上   D．点P既不在圆M上，也不在直线l上

2．“x>0”是“x2+x>0”的（  ）

A．充分不必要条件             B．必要不充分条件

 C．充分必要条件              D．既不充分也不必要条件

3．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　　)

A．1　　 B．2　　 C．　　 D．2

4．命题“，都有”的否定是（  ）

A．，使得      B．，使得

C．，都有        D．，都有

5.已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝ (　　)

A．2　　B．3　　C．4　　D．9

6.经过点P(2，－2)且与双曲线C：－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是 (　)

A.－＝1      B．－＝1        C.－＝1         D．－＝1

7．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么 (　　)

A．“¬p”是假命题 B．q是真命题

C．“p或q”为假命题 D．“p且q”为真命题

8．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角为 (　　)

A．120°    B．150°    C．30°        D．60°

二、多选题：(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.已知曲线C:mx2+ny2=1（      ）

A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上

B.若m=0，n>0，则C是两条直线

C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D. 若m=n>0，则C是圆，其半径为

10．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是(    )

A．若点M，N分别是线段的中点，则MN //BC’

B．点C到平面的距离为

C．直线BC与平面所成的角等于

D．三棱柱的外接球的表面积为3π

11.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（    ）

    A．当时，           B．当时，

C．当时，              D．当时，

12.已知圆C1：(x﹣2cosθ)2+(y﹣2sinθ)2＝1与圆C2：x2+y2＝1，下列说法中正确的是（     ）

A.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；

B.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；

C.当时，圆C1被直线截得的弦长为；

D.P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是________．

14．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为______.

15．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为______.

16．如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是______.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知命题p：“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”；命题q：“∃x∈R，使得x2－(a－1)x＋1<0”.

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．

18．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点.

(1)写出圆的方程标准形式，并指出圆心和半径；

(2)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；

19. (本小题满分12分)已知双曲线： （）的离心率为，虚轴长为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点， 为坐标原点，求的面积．

20．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，AB＝2BF，DE⊥平面ABCD.

(1)求证：CF∥平面ADE；

(2)求二面角C－EF－B的余弦值．

21．(本小题满分12分)已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.

22. (本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点.

(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，＋恒为定值？

河北承德第一中学2020-2021学年上学期第二次月考

高二数学试题参考答案

一、单选题：

1.C  2.A   3.C   4.B    5.B    6.D    7.C    8.D

二、多选题：

9.BC       10.ACD       11.CD        12. ACD

三、填空题：

13.[3，8)    14. －＝1     15. 2    16.

四、解答题：

17. [解析]　(1)若命题p为真命题，则有

，∴1<a<4.

故实数a的取值范围是(1,4)．

(2)若命题p∧q为真命题，则p真、q真，由(1)知p真，1<a<4.

若q真，则不等式x2－(a－1)x＋1<0有解，即Δ＝(a－1)2－4>0，

∴a2－2a－3>0，∴a>3或a<－1.

又∵1<a<4，∴3<a<4.

故实数a的取值范围是(3,4)．

18. [解析]　(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3.

(2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵以AB为直径的圆过圆心O，

∴OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.

，

消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.

Δ＞0得－3－3＜m＜3－3.

由根与系数关系得：

x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝，

y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2

∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.

解得m＝1或－4.

直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4.

19. 【解析】(1)依题意可得

，

解得，

∴双曲线的标准方程为．

∴。

20. [解析]　(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.

又∵四边形BDEF是矩形，∴BF∥DE.

又∵BC∩BF＝B，BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，

∴平面BCF∥平面ADE，

又∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设AB＝a，则BF＝，则B(a，－a,0)、C(a,0,0)、E(0,0，)、F(a，－a，)．

∴＝(－a,0，)、＝(0，－a，)、＝(－a，a，)、＝(0,0，)．

设平面CEF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BEF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

则，.

即，，

解得，.

∴n1＝(1,1,2)，n2＝(1,1,0)．

cos〈n1，n2〉＝＝＝.

∴二面角C－EF－B的余弦值是.

21.

，

由

由知；

综上所述： .

22. [解析]　

(1)当m＝1时，M(1,0)，此时，点M为抛物线C的焦点，直线l的方程为y＝x－1，

设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立消去y得，x2－6x＋1＝0，

∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，∴圆心坐标为(3,2)．

又|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

∴圆的半径为4，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.

(2)若存在这样的点M，使得＋为定值，由题意可设直线l的方程为x＝ky＋m，

则直线l的方程与抛物线C：y2＝4x联立，

消去x得，y2－4ky－4m＝0，则y1y2＝－4m，y1＋y2＝4k，

∴＋＝＋

＝＋

＝

＝

＝＝，

因此要与k无关，只需令＝1，即m＝2，

此时＋＝.

∴存在定点M(2,0)，不论直线l绕点M如何转动，＋恒为定值．