2019年河北省石家庄市中考数学一模试卷
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2019年河北省石家庄市中考数学一模试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共16题） |
1. 的倒数为．
A． B． C． D．
2. 某微生物的直径用科学记数法表示为 ，则该微生物的直径的原数可以是．
A．
B．
C．
D．
3. 下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是．
A.
B.
C.
D.
4. 一个长方形的正投影不可能是．
A． 正方形 B． 矩形
C． 线段 D． 点
5. 解分式方程，去分母后得到的方程正确的是．
A． B．
C． D．
6. 如图，一艘货船在处，巡逻艇在其南偏西的方向上，此时一艘客船在处，艇在其南偏西的方向上，则此时从巡逻艇上看这两艘船的视角的度数是．
A． B． C． D．
7. 的解集在数轴上表示为．
A．
B．
C．
D．
8. 某科普小组有名成员，身高（单位：）分别为：，，，，．把身高 的成员替换成一位 的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是．
A． 平均数变小，方差变小
B． 平均数变大，方差变大
C． 平均数变大，方差不变
D． 平均数变大，方差变小
9. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡比为，物体沿传送带上升到点时，距离地面的高度为米，那么斜坡的长度为．
A．米
B．米
C． 米
D．米
10. 某工程队承接了万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是．
A． 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务
B． 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误天完成了这一任务
C． 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误天完成了这一任务
D． 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前天完成了这一任务
11. 如图，点，，，，都是上的点，，，则．
A． B． C． D．
12. 已知关于的一元二次方程，当时，该方程解的情况是．
A． 有两个不相等的实数根
B． 没有实数根
C． 有两个相等的实数根
D． 不能确定
13. 若的每条边长增加各自的得，若的面积为，则的面积是．
A． B． C． D．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴的负半轴上，且，若的面积为，则的值为．
A． B． C． D．
15. 已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的．
A.
B.
C.
D.
16. 已知点，，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则整数的个数是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共3题） |
17. 的立方根是 ．
18. 已知，，则的值是 ．
19. 已知正方形和正六边形边长均为，如图所示，把正方形放置在正六边形外，使边与边重合，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形外绕点逆时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；
再绕点逆时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；此时点经过路径的长为 ．若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中点，之间距离的最大值是 ．
| 三、 解答题（共7题） |
20. 数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号① 、② 、③ ，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片② 是，翻开纸片③ 是．
解答下列问题
（1）求纸片① 上的代数式；
（2）若是方程的解，求纸片① 上代数式的值．
21. 学校为了提高学生跳远科目的成绩，对全校名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练．王老师为了了解学生的训练情况，强化训练前，随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试，经过一个月的强化训练后，再次测得这部分学生的成绩，将两次测得的成绩制作成如图所示的统计图和不完整的统计表（满分分，得分均为整数）
成绩/分数 | 分 | 分 | 分 | 分 | 分 |
人数/人 |
根据以上信息回答下列问题
（1）训练后学生成绩统计表中 ，并补充完成下表：
| 平均分 | 中位数 | 众数 |
训练前 |
| ||
训练后 |
|
|
（2）若跳远成绩分及以上为优秀，估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少？
（3）经调查，经过训练后得到分的五名同学中，有三名男生和两名女生．王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告，请用列表或画树状图的方法，求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
22. 如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
（1）请写出：
算式⑤ ；
算式⑥ ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被整除”，如果设两个连续奇数分别为和（为整数），请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被整除”这个说法是否也成立呢?请说明理由．
23. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点，分别在坐标轴的正半轴上，，点在直线上，直线与折线有公共点．
（1）点的坐标是 ；
（2）若直线经过点，求直线的解析式：
（3）对于一次函数，当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
24. 如图，，且，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．
（1）当时， ；
（2）求证：；
（3）若的外心在其内部，直接写出的取值范围．
25. 跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，两人拿绳子的手之间的距离为，离地面的高度为，以小明的手所在位置为原点，建立平面直角坐标系．
（1）当身高为的小红站在绳子的正下方，且距小明拿绳子手的右侧处时，绳子刚好通过小红的头顶，求绳子所对应的抛物线的表达式；
（2）若身高为的小丽也站在绳子的正下方．
① 当小丽在距小亮拿绳子手的左侧处时，绳子能碰到小丽的头吗？请说明理由；
② 设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为，为保证绳子不碰到小丽的头顶，求的取值范围．（参考数据：取）
26. 如图1，点和矩形的边都在直线上，以点为圆心，以为半径作半圆，分别交直线于，两点．已知：，，矩形自右向左在直线上平移，当点到达点时，矩形停止运动．在平移过程中，设矩形对角线与半圆的交点为（点为半圆上远离点的交点）．
（1）如图2，若与半圆相切，求的值；
（2）如图3，当与半圆有两个交点时，求线段的取值范围；
（3）若线段的长为，直接写出此时的值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】解：的倒数是．
故选
乘积是的两数互为倒数．
本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2. 【答案】A
【解析】解：化成原数，把小数点往左移位，即．
故选
把用科学记数法表示的数还原，就是把小数点往左边平移，然后添即可．
本题考查科学记数法-原数，解题时，要仔细，算准小数点的位置．
3. 【答案】A
【解析】解：、是轴对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选
直接根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 【答案】D
【解析】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故长方形的正投影不可能是点．
故选
根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行是解题关键．
5. 【答案】D
【解析】解：去分母得：．
故选
分式方程两边乘以即可得到结果．
此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6. 【答案】C
【解析】解：从图中我们可以发现．
故选
将轮船航行的实际问题转化为方向角的问题解答．
本题考查了方位角，解答此类题需要认清方位角，再结合三角形的内角与外角的关系求解．
7. 【答案】C
【解析】解：
由① 得，
由② 得，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故选
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8. 【答案】D
【解析】解：原数据的平均数为 、
方差为，
新数据的平均数为，
方差为，
所以平均数变大，方差变小．
故选
根据平均数、中位数的意义、方差的意义，可得答案．
本题考查了方差，利用平均数、中位数和方差的定义是解题关键
9. 【答案】A
【解析】解：作地面于点，
设米，
传送带和地面所成斜坡的坡度为，
米，
，
，
．
故选
作地面于点，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．
10. 【答案】C
【解析】解：设原计划每天绿化的面积为万平方米，
所列分式方程为，
为实际工作时间，为原计划工作时间，
省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误天完成了这一任务．
故选
根据工作时间工作总量工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．
本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出省略的条件是解题的关键．
11. 【答案】B
【解析】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
，
点、、、都是上的点，
．
故选
连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12. 【答案】D
【解析】解：，且，
当时，，方程没有实数根，
当时，，方程有两个相等实数根，
当时，，方程有两个不相等实数根．
故选
先计算出判别式得到，由的取值范围可求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
13. 【答案】A
【解析】解：的每条边长增加各自的得，
与的三边对应成比例，
，
，
的面积为，则的面积是．
故选
根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
14. 【答案】D
【解析】解：设点的坐标为，
则，，
，
，
的面积为：，
解得．
故选
设出点的坐标，从而表示出线段，的长，根据三角形的面积为，构建方程即可求出的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是根据点的坐标表示出三角形的面积．
15. 【答案】B
【解析】解：、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意；
、无法判断，故本选项符合题意；
、由作图可知：，，故，故本选项不符合题意；
、由作图可知：，，故，故本选项不符合题意．
故选
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图-相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
16. 【答案】B
【解析】解：① 当抛物线的顶点在直线上时，，
解得：，
② 当抛物线的顶点在轴下方时，根据题意知当时，当时，
即
解得：，
整数有，，，，，，，，共个．
故选
根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由与线段有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为或当时，当时，列不等式组求解可得．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、 填空题
17. 【答案】
【解析】解：，
的立方根是．
故答案为．
利用立方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数的立方等于，即的三次方等于，那么这个数就叫做的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号”其中，叫做被开方数，叫做根指数．
18. 【答案】；
【解析】解：，，
原式．
故答案为．
原式逆用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 【答案】；
；
【解析】解：
如图点的运动轨迹如虚线所示，
第二次旋转时，点的位置为，；
在运动过程中，点，间的距离的最大值为线段．
故答案为；．
通过旋转，如图，易知点旋转的角转为，即可以求出点的路径的长度即为；点、点的最大距离，即当点运动到最高点时与点的距离．
此题主要考查正多边形的性质，正多边形旋转的性质，关键在于通过画图理解并找出旋转后的位置变化．
三、 解答题
20. 【答案】(1)；(2)
【解析】解：
（1）纸片① 上的代数式为：
（2）解方程：，解得
代入纸片① 上的代数式得
即纸片① 上代数式的值为．
21. 【答案】（1） ；
（2）；
（3）
【解析】解：（1）；
强化训练前的中位数为；
强化训练后的平均分为；
强化训练后的众数为，
故答案为；；；；
（2），
所以估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了人；
（3）画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中所抽取的两名同学恰好是一男一女的结果数为，
所以所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
（1）利用强化训练前后人数不变计算n的值；利用中位数对应计算强化训练前的中位数；利用平均数的计算方法计算强化训练后的平均分；利用众数的定义确定强化训练后的众数；
（2）用分别乘以样本中训练前后优秀的人数的百分比，然后求差即可；
（3）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出所抽取的两名同学恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
22. 【答案】（1）；；
（2）见解析；
（3）见解析
【解析】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）
为整数，
两个连续奇数的平方差能被整除；
（3）不成立；
举反例，如：，
不是的倍数，
这个说法不成立．
（1）；；
（2）；
（3）举反例，如．
本题考查平方差公式的应用；将数进行合理的分解是解决整除问题的关键．对不成立的原因，举反例是行之有效的办法．
23. 【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】解：（1），矩形中，
点在直线上，
，解得
故点B的坐标为
故答案为．
（2）将点代入得
，解得
直线的解析式：
（3）一次函数，必经过，要使随的增大而减小
值为，
代入，解得
（1），即，代入，即可得出点的坐标
（2）将点的坐标代入直线l中求出即可得出解析式
（3）一次函数，必经过，要使随的增大而减小，即值为，分别代入即可求出的值．
本题主要考待定系数法求一次函数解析式，关键要灵活运用一次函数图象上点的坐标特征进行解题．
24. 【答案】（1）；
（2）见解析；
（3）
【解析】解：（1）在四边形中，，
而，
，
故答案为；
（2），，
，
又，由（1）知：，
，
；
（3）当时，的外心在其直角边上，
时，的外心在其外部，
而．
故．
（1）利用四边形内角和等于度得：，而，即可求解；
（2）证明即可求解；
（3）当时，的外心在其直角边上，时，的外心在其外部，即可求解．
本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
25. 【答案】（1）绳子对应的抛物线的解析式为：
（2）① 绳子能碰到小丽的头
②
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为：，
，
抛物线经过点和，
，
解得，，
绳子对应的抛物线的解析式为：；
（2）① 绳子能碰到小丽的头．理由如下：
小丽在距小亮拿绳子手的左侧处，
小丽距原点，
当时，，
，
绳子能碰到小丽的头；
② ，
当时，
即， 解得，，
取， ，， ，，
．
（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：，把小亮拿绳子的手的坐标，以及小红头顶坐标代入，得到三元一次方程组，解方程组便可；
（2）① 由自变量的值求出函数值，再比较便可；
② 由时求出其自变量的值，便可确定的取值范围．
本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．
26. 【答案】答案见解析
【解析】解：（1）如图2，连接，
与半圆相切，
，，
在矩形中，，
，，
则，
，
，，
，
；
（2）如图3，当点、重合时，过点作与点，
则，
，
而，，由（1）知，
，，
则，
与半圆相切，由（1）知：，
；
（3）设半圆与矩形对角线交于点、，过点作，
则，
，则，
设：，则：，，
，
整理得：，
解得：，
．
（1）如图2，连接，则与半圆相切，利用，可得：；
（2）利用，求出，则；与半圆相切，由（1）知：，即可求解；
（3）设：，则：，，，求出，利用，即可求解．
本题考查的是圆的基本知识综合运用，涉及到直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，其中（3），正确画图，作等腰三角形的高，是本题的关键．
