初中数学人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试精练

这是一份初中数学人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试精练，共85页。试卷主要包含了有理数的意义，数轴与相反数，绝对值，有理数的加减法，有理数的乘除，有理数的乘方及混合运算，科学记数法与近似数，《有理数》全章复习与巩固等内容，欢迎下载使用。
有理数
目录
一、有理数的意义
二、数轴与相反数
三、绝对值
四、有理数的加减法
五、有理数的乘除
六、有理数的乘方及混合运算
七、科学记数法与近似数
八、《有理数》全章复习与巩固

一、有理数的意义要点梳理+基本典型例题解析
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　
　　　 　　




要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型基础例题】
类型一、正数与负数
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

举一反三：
【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　）
A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
　 (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（ ）．
　　A．－20m 　　　B．－40m 　　　C．20m 　　　D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1） 这8名男生有百分之几达到标准？
（2） 他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
3．下面说法中正确的是( )．
A． 非负数一定是正数．
B． 有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）
（3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）
【答案】√， ，，
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
　　(A)所有的正数都是整数 　　　　　　(B)不是正数的数一定是负数
　　(C)正有理数包括整数和分数　　　　 (D)0不是最小的有理数
【答案】D
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
　　　　　　1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， .
　　　　　　正整数集合:{ 　　　　　…}， 负整数集合:{　　　　　 …}，
　　　　　　整数集合:{　　　　　 …}， 正分数集合:{　　　　 …}，
负分数集合:{　　　　　　 …}，分数集合:{ 　　　　　…}，
非负数集合：{　　　　　　 …}，非正数集合：{ 　　　　　…}.
【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
　　负分数： -3.88，；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；
非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；
非正数：-700, -3.88, 0,

【解析】

【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有　　个．
【答案】2.
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是 粒.
【答案】()
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：
【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：
【答案】

二、数轴与相反数要点梳理+基本典型例题解析
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
4. 掌握多重符号的化简.
【要点梳理】
要点一、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
要点二、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
要点三、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
一、 【典型基础例题】（1）
类型一、数轴的概念
1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )

A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.
【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
类型二、相反数的概念
2．﹣的相反数是（　　）
A．5 B． C．﹣ D.-5
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.
【答案】B
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.
举一反三：
【变式1】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 .
（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 .
【变式2】下列说法中正确的有( )
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多
【答案】B
3．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．
【答案】A
【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，
∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．
故选A．
【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．

类型三、多重符号的化简
4.化简下列各数中的符号．
（1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）
（5）-[-(+1)] （6）-(-a)
【答案】 (1) （2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25
（4） （5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a
【解析】
(1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ；
（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5；
（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；
（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；
（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．
所以-(-a)= a
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

类型四、利用数轴比较大小
5．在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来．
【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3．

由上图可得：
∴
【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．
举一反三：
【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　）

A．b﹣a＞0 B．﹣b＜0 C．﹣a＞﹣b D．﹣ab＜0
【答案】D
【变式2】填空：
大于且小于的整数有______个； 比小的非负整数是____________．
【答案】11；0，1，2，3
类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）
6．已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数．
【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是．
【答案与解析】
解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，．


【总结升华】(1)理解相反数的几何意义． (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．
举一反三：
【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．
【答案】（1）±5， 提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．

二、【典型基础例题】（2）
类型一、数轴的概念
1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置．
【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.
【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示．

【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可.
举一反三：
【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________．

【答案】3，-5，8
类型二、相反数的概念
2．在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是（　　）
A．﹣2 B．8 C．﹣2或8 D．5
【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个，分别在该点的两侧，本题正确选项必须符合两个条件，所以借助数轴分析即可求解.
【答案】B
【解析】解：因为在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的点有两个:A和B，如下图所示：

而点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，
又因为8为正数，
故正确答案选:B.
【总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系，借助数轴分析求解比较好．
举一反三：
【变式1】
(1) 如果a＝－13，那么－a＝______；(2) 如果 －a＝－5.4，那么a ＝______；
(3) 如果－x＝－6，那么x＝______；(4) －x＝9，那么x＝______.
【答案】（1）13；（2）；（3）6；（4）-9
【变式2】－4的倒数的相反数是（ ）
A．－4 B．4 C．－ D．
【答案】D
【变式3】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数；（6）a和 互为相反数.
（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
【答案】(－2.5)；100；；1.1；-8.2；-a；负数；0
3．已知互为相反数，则 ．
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.
【总结升华】若互为相反数，则或.
举一反三：
【变式】已知与 互为相反数，求的值.
【答案】因为互为相反数的两个数的和为0，所以，解得：.
类型三、多重符号的化简
4．化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．
【解析】
解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；
（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．
【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
举一反三：
【变式】当+6前面有2011个正号时，化简结果为： ；当+6前面有2011个负号时，化简结果为： ；当+6前面有2012个负号时，化简结果为： .
【答案】6；-6；6
类型四：利用数轴比较大小
5．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．

①p______q； ②－p______0； ③－p______－q； ④－p______q；
【答案】>; 0；|a|=-a时， a0，则（ ）
A．ab0 C．a>0且b