2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：选修第一节坐标系

第一节坐标系

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.
由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ).
一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数.
④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.
3.极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一.
4.简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)

[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(　　)
(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.(　　)
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、选填题
1.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A.ρ＝
B.ρ＝
C.ρ＝cos θ＋sin θ
D.ρ＝cos θ＋sin θ
解析：选A　∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
∴ρ＝.
2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C.(1,0) D.(1，π)
解析：选B　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
3.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
解析：选A　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.

4.若点P的直角坐标为(3，－)，则点P的极坐标为______.
解析：因为点P(3，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.
答案：
5.在极坐标系中A，B两点间的距离为________.
解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.
法二：∵A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2).
∴|AB|＝＝6.
答案：6

考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 [基础自学过关]

[题组练透]
1.在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.
解：(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得∴
∴点A′的坐标为(1，－1).
(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.
由伸缩变换φ：得
代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′，
∴y＝x为所求直线l′的方程.
2.将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值.
解：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)代入上式，
得＋＝1，即2x2＋2y2＝1，
与x2＋y2＝1
比较系数，得所以
[名师微点]
伸缩变换后方程的求法及注意点
(1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即为所求.
(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.
考点二 极坐标与直角坐标的互化 [师生共研过关]
[典例精析]
在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标.
[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
转化为极坐标为，
故直线l与圆O的公共点的极坐标为.
[解题技法]
1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.
2.极角的确定方法
由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定.当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝.
[过关训练]
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
考点三 极坐标方程的应用 [师生共研过关]
[典例精析]
(2019·安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋(y－2)2＝4.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.M为曲线C1上异于极点的动点，点N在射线OM上，且|ON|·|OM|＝20，记点N的轨迹为C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)根据极坐标方程，判断曲线C1，C2的位置关系.
[解]　(1)曲线C1的直角坐标方程是x2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2＝4y.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ.
故曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|ON|·|OM|＝20，
即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝.
又ρ1＝4sin θ，所以＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.
故曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝5.
(2)由得sin2θ＝，无实数解，因此曲线C1和曲线C2没有公共点，易知曲线C1是圆，曲线C2是直线，
所以C1与C2相离.
[解题技法]
利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.
(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可.
[提醒]　在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.
[过关训练]
(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点.
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

1.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos＝2.已知点Q为曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P的轨迹为C2.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值.
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)，
由题意知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝.
由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为ρ＝2cos(ρ＞0)，化简得ρ＝cos θ＋sin θ，因此C2的直角坐标方程为2＋2＝1，但不包括点(0,0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题意知，|OA|＝2，ρB＝2cos，
于是△AOB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝2cos·＝2≤.
当α＝0时，S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.
3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，
得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.
所以a＝1.
4.在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝5.
(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标.
解：(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.
ρ(cos θ＋sin θ)＝5即ρcos θ＋ρsin θ＝5，
因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线l的直角坐标方程为y＝－x＋5.
(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆.设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－x＋5的距离最小，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－x＋5平行.
即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，
即×(－)＝－1.①
因为点A在圆上，所以x＋(y0－1)2＝1，②
联立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝.
所以点A的坐标为或.
又因为圆上点A到直线l：y＝－x＋5的距离最小，
所以点A的坐标为，
点A的极径为 ＝，极角θ满足tan θ＝且θ为第一象限角，则可取θ＝.
所以点A的极坐标为.
5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积.
解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.
(2)设A，B.
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，
∴A.
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，
∴B.
∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB
＝sin
＝12＋.
6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
由于直线C2过原点，且倾斜角为，
故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
(2)由
得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，
设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
7.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2：＋＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且A，B均异于原点O)，当0＜α＜时，求|OB|2－|OA|2的最小值.
解：(1)易知曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
C2的极坐标方程为ρ2＝.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝4cos2α，
联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝，
则|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8
≥2－8＝8－8，
当且仅当sin α＝时取等号，
所以|OB|2－|OA|2的最小值为8－8.
8.(2019·湖南长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(β为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋.
(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；
(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.
解：(1)由(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，
∴曲线M是以(1,1)为圆心，2为半径的圆.
(2)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，
∵O，A，C三点共线，
则|AC|＝|ρ1－ρ2|＝(*)，
将曲线M的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，
∴
代入(*)式得|AC|＝.
用θ＋代替θ，得|BD|＝，
又l1⊥l2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|
＝
＝2，
∵sin22θ∈[0,1]，∴S四边形ABCD∈[8，14].