2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：选修4-5第一节绝对值不等式

第一节绝对值不等式

一、基础知识批注——理解深一点
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．　　　↓
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．

2．绝对值不等式的解法　―→
(1)|x|a型不等式的解法

不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R

(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

二、基础小题强化——功底牢一点

(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　　)
(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
(二)填一填
1．不等式|5－4x|>9的解集为________．
解析：∵|5－4x|>9，∴5－4x>9或5－4x<－9.
∴4x<－4或4x>14，∴x<－1或x>.
∴原不等式的解集为.
答案：
2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
答案：2
3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，
所以所求函数的最小值为8.
答案：8
4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当－1 又当x≥2时，f(x)＝3>1恒成立．
所以不等式的解集为.
答案：




[典例]　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.

(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
[解]　(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1 f(x)<－1的解集为.
所以|f(x)|>1的解集为.

[解题技法]　解绝对值不等式的常用方法
基本性质法
对a∈R＋，|x|a⇔x<－a或x>a
平方法
两边平方去掉绝对值符号
零点分区间法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解
数形结合法
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解

[题组训练]
1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.
解：当x<－1时，
原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，
解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；
当－1≤x≤1时，
原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；
当x>1时，
原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，
解得x≤1，又因为x>1，故无解；
综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1,1]．
2．(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x.
法一：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，
当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；
当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；
当x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－.
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
法二：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，
两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，
解得－2≤x≤0，
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
(2)由|x－a|＋3x≤0，可得或
即或
当a>0时，不等式的解集为.
由－＝－1，得a＝2.
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．
当a<0时，不等式的解集为.
由＝－1，得a＝－4.
综上，a＝2或a＝－4.

[典例]　(2019·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|＋1；
(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.
[解]　(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，
即或或
得≤x<2或0 故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0 (2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝<1.
故不等式f(x)＜1得证．
[解题技法]　绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．
[题组训练]
1．求函数f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|的最大值．
解：因为f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|≤|x＋2 019－x＋2 018|＝4 037，
所以函数f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|的最大值为4 037.
2．若x∈[－1,1]，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.
证明：因为x∈[－1,1]，|y|≤，|z|≤，
所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×＋3×＝，
所以|x＋2y－3z|≤成立．

[典例]　(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x) [解]　(1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，
则或或
解得x≥或－≤x<，即x≥－，
所以原不等式的解集为.
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1| 则m>(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m>2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．
[解题技法]　两招解不等式问题中的含参问题
(1)转化
①把存在性问题转化为求最值问题；
②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
(2)求最值
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
①利用绝对值的几何意义；
②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；
③利用零点分区间法．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝
当x<－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x<－1，
当－1≤x≤2时，显然满足题意，
当x>2时，由－2x＋6≥0，解得2 故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R)，若关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且⊆A，求实数m的取值范围．
解：∵⊆A，
∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，
即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立，
∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，
即|x＋m|≤2在x∈上恒成立，
∴－2≤x＋m≤2，
∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈上恒成立，
∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，
∴－≤m≤0，故实数m的取值范围是.


1．求不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集．
解：原不等式可化为或
或
解得－≤x≤，
即原不等式的解集为.
2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.
(1)求实数a的值；
(2)解不等式f(x)≤5.
解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，
从而解得a＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝
故当x≤2时，由－2x＋6≤5，得≤x≤2；
当2 当x>4时，由2x－6≤5，得4 故不等式f(x)≤5的解集为.
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；
若a>0，则|ax－1|<1的解集为，
所以≥1，故0 综上，a的取值范围为(0,2]．
4．设函数f(x)＝|3x－1|＋ax＋3.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≤4；
(2)若f(x)有最小值，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|3x－1|＋x＋3≤4，
即|3x－1|≤1－x，
x－1≤3x－1≤1－x，解得0≤x≤，
所以f(x)≤4的解集为.
(2)因为f(x)＝
所以f(x)有最小值的充要条件为解得－3≤a≤3，
即实数a的取值范围是[－3,3]．
5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)>－x；
(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．
解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3 当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；
当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，
综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－33}．
(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，
∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，
∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.
(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；
(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝
不等式f(x)＞x＋2等价于或或，
解得x＜1或x＞3，
故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．
(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号．
∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，
解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．
7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
即＋≥.
又min＝，
所以≥，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
8．(2018·福州质检)设函数f(x)＝|x－1|，x∈R.
(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；
(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，
所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔或或

解得0≤x<1或1≤x≤2或2 所以0≤x≤3，
故不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集为[0,3]．
(2)因为⊆M，
所以当x∈时，f(x)≤f(x＋1)－|x－a|恒成立，
而f(x)≤f(x＋1)－|x－a|⇔|x－1|－|x|＋|x－a|≤0⇔|x－a|≤|x|－|x－1|，
因为x∈，所以|x－a|≤1，即x－1≤a≤x＋1，
由题意，知x－1≤a≤x＋1对于任意的x∈恒成立，
所以≤a≤2，故实数a的取值范围为.