2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：选修4－5第一节　绝对值不等式

选修4－5不等式选讲
第一节　绝对值不等式

1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.

突破点一　绝对值不等式的解法


(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a

∅
∅
|x|＞a


R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图象求解．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式|x|＜a的解集为{x|－a＜x＜a}．(　　)
(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)
(3)不等式|2x－3|≤5的解集为{x|－1≤x≤4}．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空题
1．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
答案：[1，＋∞)
2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
答案：2
3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
答案：8

[典例]　解下列不等式：
(1)|2x＋1|－2|x－1|＞0；
(2)|x＋3|－|2x－1|＜＋1.
[解]　(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|＞2|x－1|，
两边平方得4x2＋4x＋1＞4(x2－2x＋1)，
解得x＞，
所以原不等式的解集为.
法二：原不等式等价于
或或
解得x＞，所以原不等式的解集为.
(2)①当x＜－3时，
原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，
解得x＜10，∴x＜－3.
②当－3≤x≤时，
原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，
解得x＜－，∴－3≤x＜－.
③当x＞时，
原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，
解得x＞2，∴x＞2.
综上可知，原不等式的解集为.
[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法
对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，
|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.
(2)平方法
两边平方去掉绝对值符号．
(3)零点分区间法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．　　
[针对训练]
1．(2019·广州模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤|2x＋1|－1的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)－|x＋3|的值域为A，且[－2,1]⊆A，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|，
①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1≤－2x－2，解得x≤－1；
②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1≤－2x－2，解得x≤－1，此时原不等式无解；
③当x≥－时，原不等式可化为x＋1≤2x，解得x≥1.
综上可知，原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥1}．
(2)因为||x＋a|－|x＋3||≤|(x＋a)－(x＋3)|＝|a－3|，
所以g(x)＝f(x)－|x＋3|＝|x＋a|－|x＋3|∈[－|a－3|，|a－3|]．
所以函数g(x)的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]．
因为[－2,1]⊆A，所以
解得a≤1或a≥5.
所以a的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；
若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，
所以≥1，故0＜a≤2.
综上，a的取值范围为(0,2]．
突破点二　绝对值三角不等式


绝对值三角不等式定理
定理1
如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立
定理2
如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　)
(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)
答案：(1)√　(2)√
二、填空题
1．设a，b为满足ab＜0的实数，那么下列正确的是________(填序号)．
①|a＋b|＞|a－b|；　　　　　 ②|a＋b|＜|a－b|；
③|a－b|＜||a|－|b||; ④|a－b|＜|a|＋|b|.
解析：∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.
答案：②
2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，
∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
答案：[－2,4]
3．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.
答案：5


考法一　证明绝对值不等式　
[例1]　已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，
求证：|x＋5y|≤1.
[证明]　∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，
∴由绝对值不等式的性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.
即|x＋5y|≤1.
[方法技巧]
绝对值不等式证明的3种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．　　
考法二　与绝对值不等式有关的参数范围问题　
[例2]　设函数f(x)＝|x＋3|，g(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)＜g(x)；
(2)若2f(x)＋g(x)＞ax＋4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．
[解]　(1)由已知，可得|x＋3|＜|2x－1|，
即|x＋3|2＜|2x－1|2，
则有3x2－10x－8＞0，
∴x＜－或x＞4.
故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)．
(2)设h(x)＝2f(x)＋g(x)＝2|x＋3|＋|2x－1|＝
当x≤－3时，－4x－5＞ax＋4，即ax＜－4x－9，
∵x≤－3＜0，∴a＞＝－4－.
∴a＞max，∴a＞－1.
当－3＜x＜时，7＞ax＋4，即ax－3＜0.
则∴∴－1≤a≤6.
当x≥时，4x＋5＞ax＋4，即ax＜4x＋1.
∵x≥＞0，∴a＜＝4＋.
∵4＋＞4，且无限趋近于4，∴a≤4.
综上，a的取值范围是(－1,4]．
[方法技巧]
两招解不等式问题中的含参问题
转化
①把存在性问题转化为求最值问题；
②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min
求最值
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
①利用绝对值的几何意义；
②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；
③利用零点分区间法


1.已知f(x)＝|x＋2|－|2x－1|，M为不等式f(x)＞0的解集．
(1)求M；
(2)求证：当x，y∈M时，|x＋y＋xy|＜15.
解：(1)f(x)＝
当x＜－2时，由x－3＞0，得x＞3，舍去；
当－2≤x≤时，由3x＋1＞0，得x＞－，
即－＜x≤；
当x＞时，由－x＋3＞0，得x＜3，即＜x＜3，
综上，M＝.
(2)证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，
∴|x＋y＋xy|≤|x＋y|＋|xy|≤|x|＋|y|＋|xy|＝|x|＋|y|＋|x|·|y|＜3＋3＋3×3＝15.
2.已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R，g(x)＝x2－2x－4＋.
(1)若f(2a2－1)＞4|a－1|，求实数a的取值范围；
(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(2a2－1)＞4|a－1|，
∴|2a2－2a|＋|a2－1|＞4|a－1|，
∴|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)＞0，
∴|2a|＋|a＋1|＞4且a≠1.
①若a≤－1，则－2a－a－1＞4，∴a＜－；
②若－1＜a＜0，则－2a＋a＋1＞4，∴a＜－3，此时无解；
③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1＞4，∴a＞1.
综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．
(2)∵g(x)＝(x－1)2＋－5≥
2－5＝－1，显然可取等号，
∴g(x)min＝－1.
于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.
又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，
∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2，
即实数a的取值范围为[0,2]．
[课时跟踪检测]
1．(2019·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜1；
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝|2x－1|－|x－1|＝
当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；
当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；
当x＞1时，x＜1，无解．
综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，
∵3x＞－3，－x＜1，
∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．
2．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.
(1)解不等式f(x)＞9；
(2)∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝
f(x)＞9等价于或或
综上，原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}．
(2)|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.由(1)知f(x)≥f＝，
所以2|a|≤，－＜a＜，
所以实数a的取值范围是.
3．(2019·陕西部分学校摸底测试)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－a|(a∈R)．
(1)若a＝1，求不等式f(x)≥5的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．
解：(1)若a＝1，
则f(x)＝2|x＋1|＋|x－1|＝
当x≥1时，3x＋1≥5，即x≥，∴x≥；
当－1＜x＜1时，x＋3≥5，即x≥2，此时x无解；
当x≤－1时，－3x－1≥5，即x≤－2，∴x≤－2.
综上所述，不等式f(x)≥5的解集为.
(2)当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|的最小值为0，不符合题意；
当a＞－1时，f(x)＝
∴f(x)min＝f(－1)＝1＋a＝3，此时a＝2；
当a＜－1时，f(x)＝
∴f(x)min＝f(－1)＝－1－a＝3，此时a＝－4.
综上所述，a＝2或a＝－4.
4．(2019·惠州模拟)已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|.
(1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集；
(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝5时，f(x)＝
由f(x)＞2得不等式的解集为.
(2)二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
该函数在x＝－1处取得最小值2，
因为f(x)＝
在x＝－1处取得最大值m－2，
所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点，
只需m－2≥2，即m≥4.
所以实数m的取值范围为[4，＋∞)．
5．(2019·长春模拟)设不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证：＞1.
解：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|
＝
由|f(x)|＜2得－1＜x＜1，
即A＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：要证＞1，只需证|1－abc|＞|ab－c|，
只需证1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，
只需证1－a2b2＞c2(1－a2b2)，
只需证(1－a2b2)(1－c2)＞0，
由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，
所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立．
综上，＞1.
6．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．
(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；
(2)当a＜时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝|x－a|＋(a≠0)，
∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，
∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，
∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，∴实数m的最大值为1.
(2)当a＜时，
g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋
＝
又函数g(x)有零点，
∴g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，
∴或∴－≤a＜0，
∴实数a的取值范围是.
7．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝
当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；
当－1≤x≤2时，显然满足题意；
当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，
故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
8．(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，
由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，
当x＞1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；
当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；
当x＜－时，1－x＋(2x＋1)≥0，得－2≤x＜－.
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
(2)法一：由|x－a|＋3x≤0，
可得或
即或
当a＞0时，不等式的解集为.
由－＝－1，得a＝2.
当a＝0时，不等式的解集为，不合题意．
当a＜0时，不等式的解集为.
由＝－1，得a＝－4.
综上，a＝2或a＝－4.
法二：当x≥a时，f(x)＝4x－a，函数f(x)为增函数，
由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}得，
f(－1)＝4×(－1)－a＝0，得a＝－4.
当x＜a时，f(x)＝2x＋a，函数f(x)为增函数，
由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}得，
f(－1)＝2×(－1)＋a＝0，得a＝2.
经检验，a＝2或a＝－4都符合题意，
故a的值为2或－4.