2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第十二章第一节数系的扩充与复数的引入

第一节数系的扩充与复数的引入



一、基础知识批注——理解深一点

1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.　
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

二、常用结论汇总——规律多一点

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

三、基础小题强化——功底牢一点


(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

(二)选一选
1．(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)
A．－－i　　　　　　　 B．－＋i
C．－－i D．－＋i
解析：选D　＝＝＝－＋i.
2．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　∵(1－i)x＝1＋yi⇒x－xi＝1＋yi⇒(x－1)－(x＋y)i＝0⇒⇒
∴x＋yi＝1－i，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D.
3．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A　因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，
所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.

(三)填一填
4．已知复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是________．
解析：由题意知z＝|i＋1|＋i＝＋i＝2＋i，则＝2－i.
答案：2－i
5．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________.
解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.
答案：4




[典例]　(1)(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)
A．－2i　　　　　　　　　 B．2i
C．－2 D．2
(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：＝(　　)
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
[解析]　(1)∵zi＝1＋i，
∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
(2)＝＝＝2，故选A.
[答案]　(1)A　(2)A

[解题技法]　复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

[题组训练]
1．(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
解析：选A　法一：＝＝5，故选A.
法二：＝＝＝5，故选A.
2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D　由题意，得z＝＝＝－1－i，故选D.
3．已知复数z＝，则复数z＝________.
解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，
而2 018＝4×504＋2，
所以z＝＝＝＝＝＝i.
答案：i

[典例]　(1)(2019·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)
A．－5　　　　　　　　 B．－1
C．－ D．－
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0　　　 　 　 　　　　　 B.
C．1 D.
[解析]　(1)z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－＝，解得a＝－.故选D.
(2)∵z＝＋2i＝＋2i＝ ＋2i＝i，
∴|z|＝1.故选C.
[答案]　(1)D　(2)C

[解题技法]　紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
[题组训练]
1．(2019·山西八校第一次联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝，则a＋b等于(　　)
A．－9 B．5
C．13 D．9
解析：选A　由3－4i3＝，得3＋4i＝，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则解得故a＋b＝－9.故选A.
2．(2019·贵阳适应性考试)设是复数z的共轭复数，满足＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．2
C. D.
解析：选B　法一：由＝＝＝2＋2i，
得|z|＝||＝＝2，故选B.
法二：由模的性质，得|z|＝||＝＝＝＝2.故选B.
3．若复数z＝a2－a－2＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是________．
解析：由于z＝a2－a－2＋(a＋1)i为纯虚数，因此a2－a－2＝0且a＋1≠0，解得a＝2.
答案：2



[典例]　(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，若zz2＝z1，则z的共轭复数＝(　　)
A.＋i　　　　 B.－i
C．－＋i D．－－i
(2)复数z＝4i2 018－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　(1)由题意知z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故z(－1＋i)＝1＋2i，
即z＝＝＝＝－i，＝＋i，故选A.
(2)z＝4i2 018－＝4×i2 016·i2－＝－4－＝－6－i，
故z在复平面内对应的点在第三象限．
[答案]　(1)A　(2)C

[解题技法]　对复数几何意义的再理解
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[题组训练]
1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z满足(2－i)z＝i＋i2，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　z＝＝＝＝＝－＋i，则复数z在复平面内对应的点为，该点位于第二象限．故选B.
2．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以≤ ，
所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.
答案：2π
3．已知复数z＝，其中a为整数，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的最大值为________．
解析：因为z＝＝＝，
所以z在复平面内对应的点为，
所以解得－1＜a＜4，
又a为整数，所以a的最大值为3.
答案：3



1．(2019·广州五校联考)＝(　　)
A．－1－i　　　　　　 B．1＋i
C．－1＋i D．1－i
解析：选C　＝＝＝＝－1＋i，选C.
2．(2018·洛阳第一次统考)已知a∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C　∵＝＝－i为纯虚数，∴＝0且≠0，解得a＝1，故选C.
3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量，所对应的复数分别为z1，z2，则z1·z2＝(　　)
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
解析：选A　由图可知，z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A.
4．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为(　　)
A．－20 B．－2
C．4 D．6
解析：选A　因为(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，所以复数(z1－z2)i的实部为－20.
5．(2019·太原模拟)若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选A　法一：因为z＝＝＝＋i在复平面内对应的点为，且在第四象限，所以解得－1