2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第十二章第二节算法与程序框图

第二节算法与程序框图


一、基础知识批注——理解深一点
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成
程序框图



(2)条件结构
定义
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
程序框图


(3)循环结构
定义
从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体
程序框图
直到型循环结构
先循环，后判断，条件满足时终止循环.

当型循环结构
先判断，后循环，条件满足时执行循环.




三种基本逻辑结构的适用情境
(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．
(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．
(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．

二、基础小题强化——功底牢一点

(1)算法的每一步都有确定的意义，且可以无限地运算．(　　)
(2)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．(　　)
(3)一个循环结构一定包含条件结构．(　　)
(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

(二)选一选
1．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　第一步：s＝1－＝，k＝2，k<3；
第二步：s＝＋＝，k＝3，输出s.故选B.

2.某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费，每月收费方法是： 4人和4人以下的住户，每户收取6元；超过4人的住户，每超出1人加收1.1元，相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填(　　)
A．y＝6＋1.1x
B．y＝15＋1.1x
C．y＝6＋1.1(x－4)
D．y＝15＋1.1(x－4)

解析：选C　依题意得，费用y与人数x之间的关系为y＝则程序框图中①处应填y＝6＋1.1(x－4)．

(三)填一填
3．如图所示的程序框图的运行结果为________．

解析：因为a＝2，b＝4，所以输出S＝＋＝2.5.
答案：2.5
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为________．

解析：进行第一次循环时，
S＝＝20，i＝2，S＝20>1；
进行第二次循环时，
S＝＝4，i＝3，S＝4>1；
进行第三次循环时，
S＝，i＝4，S＝<1，
此时结束循环，输出的i＝4.
答案：4




[例1]　(2019·沈阳质检)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为(　　)

A．－3 B．－3或9
C．3或－9 D．－3或－9
[解析]　当x≤0时，y＝x－8＝0，x＝－3；当x>0时，y＝2－log3x＝0，x＝9.故x＝－3或x＝9，选B.
[答案]　B
[例2]　某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为(　　)

A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝x2ln(x2＋1)
[解析]　由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项A、C中的函数虽然是奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除A、C.选项D中的函数是偶函数，故排除D.选B.
[答案]　B
[解题技法]　顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．
(3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
[题组训练]
1．半径为r的圆的面积公式为S＝πr2，当r＝5时，计算面积的流程图为(　　)

解析：选D　因为输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为D.
2．运行如图所示的程序框图，可输出B＝______，C＝______.

解析：若直线x＋By＋C＝0与直线x＋y－2＝0平行，则B＝，且C≠－2，
若直线x＋y＋C＝0与圆x2＋y2＝1相切，则＝1，解得C＝±2，
又C≠－2，所以C＝2.
答案：　2

考法(一)　由程序框图求输出(输入)结果
[例1]　(2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[解析]　输入N的值为20，
第一次执行条件语句，N＝20，
i＝2，＝10是整数，
∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；
第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，＝不是整数，
∴i＝4＜5；
第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，＝5是整数，
∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2.
[答案]　B
[例2]　(2019·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n＝2，那么输入的 a的值可以为(　　)

A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　执行程序框图，输入a，P＝0，Q＝1，n＝0，此时P≤Q成立，P＝1，Q＝3，n＝1，此时P≤Q成立，P＝1＋a，Q＝7，n＝2.因为输出的n的值为2，所以应该退出循环，即P>Q，所以1＋a>7，结合选项，可知a的值可以为7，故选D.
[答案]　D
[解题技法]　循环结构的一般思维分析过程
(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．
(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)辨析循环结构的功能．
考法(二)　完善程序框图
[例1]　(2018·武昌调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输出的s为17，那么在判断框中可以填入(　　)

A．kn?
C．k≥n? D．k≤n?
[解析]　执行程序框图，输入的a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入的a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又n＝2，所以判断框中可以填“k>n？”，故选B.
[答案]　B
[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
[解析]　由题意可将S变形为S＝－，则由S＝N－T，得N＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋.据此，结合N＝N＋，T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.
[答案]　B
[解题技法]　程序框图完善问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．

[题组训练]

1．(2018·凉山质检)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的概率为(　　)

A. B.
C. D.
解析：选C　执行程序框图，x＝－3，y＝3；x＝－2，y＝0；x＝－1，y＝－1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15；x＝4，退出循环．则集合A中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y＝xa，x∈[0，＋∞)为增函数，则a>0，所以所求的概率为.
2．(2019·珠海三校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为4，则p的取值范围是(　　)

A. B.
C. D.
解析：选A　S＝0，n＝1；S＝，n＝2；S＝＋＝，n＝3；满足条件，所以p>，继续执行循环体；S＝＋＝，n＝4；不满足条件，所以p≤.输出的n的值为4，所以 3．(2019·贵阳适应性考试)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为(　　)

A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选A　先不管a的取值，直接运行程序．首先给变量S，k赋值，S＝1，k＝1，执行S＝S＋，得S＝1＋，k＝2；执行S＝1＋＋，k＝3；……继续执行，得S＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－，由2－＝得k＝6，所以整数a＝6，故选A.



[典例]　执行如图程序语句，输入a＝2cos，b＝2tan，则输出y的值是(　　)
INPUT　a，b
IF　a y＝a(a＋b)
ELSE
y＝a2－b
END　IF
PRINT　y
END

A．3 B．4
C．6 D．－1
[解析]　根据条件语句可知程序运行后是计算y＝
且a＝2cos＝2cos π＝－2，
b＝2tan＝2tan ＝－2.
因为a≥b，所以y＝a2－b＝(－2)2－(－2)＝6，
即输出y的值是6.
[答案]　C
[解题技法]　算法语句应用的4关注
输入、输出语句
在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开
赋值语句
左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量
条件语句
条件语句中包含多个条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构的完整性
循环语句
分清“当型”和“直到型”的格式，不能混用


[变透练清]

1. 执行如图所示的程序，输出的结果是________．

解析：程序反映出的算法过程为
i＝11⇒S＝11×1，i＝10；
i＝10⇒S＝11×10，i＝9；
i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；
i＝8<9退出循环，执行“PRINT　S”．
故S＝990.
答案：990

2．阅读如图所示的程序．
INPUT　a
IF　a>2　THEN
a＝2＋a
ELSE
a＝a*a
END　IF
PRINT　a
END
若输出的结果是9，则输入的a的值是________．
解析：由题意可得程序的功能是计算并输出
a＝的值，
当a>2时，由2＋a＝9得a＝7；
当a≤2时，由a2＝9得a＝－3，
综上知，a＝7或a＝－3.
答案：－3或7

1．(2019·湖北八校联考)对任意非零实数a，b，定义a*b的运算原理如图所示，则(log 2)*－＝(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选A　因为log 2＝3，－＝4,3<4，所以输出＝1，故选A.
2．执行如图所示的程序框图，则输出的x，y分别为(　　)

A．90,86 B．94,82
C．98,78 D．102,74
解析：选C　第一次执行循环体，y＝90，s＝＋15，不满足退出循环的条件，故x＝90；第二次执行循环体，y＝86，s＝＋，不满足退出循环的条件，故x＝94；第三次执行循环体，y＝82，s＝＋，不满足退出循环的条件，故x＝98；第四次执行循环体，y＝78，s＝27，满足退出循环的条件，故x＝98，y＝78.
3．(2018·云南民族大学附属中学二模)执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为6，则判断框内可填入的条件是(　　)

A．s>？ B．s>？
C．s>？ D．s>？
解析：选B　s＝1，k＝9，满足条件；s＝，k＝8，满足条件；s＝，k＝7，满足条件；s＝，k＝6，不满足条件．输出的k＝6，所以判断框内可填入的条件是“s>？”．故选B.
4．(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是(　　)

A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选A　根据程序框图可知，若输出的k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a<21，故选A.
5．(2019·重庆质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝－1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)

A．y＝－2x B．y＝－3x
C．y＝－4x D．y＝－8x
解析：选C　初始值x＝0，y＝－1，n＝1，x＝0，y＝－1，x2＋y2<36，n＝2，x＝，y＝－2，x2＋y2<36，n＝3，x＝，y＝－6，x2＋y2>36，退出循环，输出x＝，y＝－6，此时x，y满足y＝－4x，故选C.
6．(2018·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s＝132，则判断框中可以填(　　)

A．i≥10? B．i≥11?
C．i≤11? D．i≥12?
解析：选B　执行程序框图，i＝12，s＝1；s＝12×1＝12，i＝11；s＝12×11＝132，i＝10.此时输出的s＝132，则判断框中可以填“i≥11？”．
7．(2019·漳州八校联考)执行如图所示的程序，若输出的y的值为1，则输入的x的值为
(　　)

A．0 B．1
C．0或1 D．－1,0或1
解析：选C　当x≥1时，由x2＝1得x＝1或x＝－1(舍去)；当x<1时，由－x2＋1＝1得x＝0.∴输入的x的值为0或1.
8．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝4，则输出的s＝(　　)

A．10 B．16
C．20 D．35
解析：选C　执行程序框图，第一次循环，得s＝4，i＝2；
第二次循环，得s＝10，i＝3；
第三次循环，得s＝16，i＝4；
第四次循环，得s＝20，i＝5.
不满足i≤n，退出循环，输出的s＝20.
9.(2018·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是(　　)
A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和
解析：选D　由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n－1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和．故选D.
10．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是(　　)

A．(30,42] B．(30,42)
C．(42,56] D．(42,56)
解析：选A　k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42 11．(2019·石家庄调研)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换，如果n是奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是偶数，则下一步变成.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为(　　)

A．5或16 B．16
C．5或32 D．4或5或32
解析：选C　若n＝5，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.若n＝32，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.当n＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n＝5或32，故选C.
12．(2018·贵阳第一学期检测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为(　　)

A．20 B．25
C．30 D．35
解析：选B　法一：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；
n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；
n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；
n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；
n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；
n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循环．所以输出的n＝25.
法二：设大和尚有x个，小和尚有y个，
则解得
根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25.
13．已知函数y＝lg|x－3|，如图所示程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值y的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．

解析：由y＝lg|x－3|＝及程序框图知，①处应填x<3？，②处应填y＝lg(x－3)．
答案：x<3？　y＝lg(x－3)
14．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝20，则输出的S＝________.

解析：依题意，结合题中的程序框图知，当输入的N＝20时，输出S的值是数列{2k－1}的前19项和，即＝361.
答案：361
15．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是________．


解析：依题意，若λa＋b与b垂直，则有(λa＋b)·b＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝－2；若λa＋b与b平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.结合题中的程序框图可知，输出的λ是－2.
答案：－2
16．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为________．

解析：当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时，输出S的值为1，当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时，输出S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.
答案：2