2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第三节圆的方程

第三节圆的方程

一、基础知识批注——理解深一点
1．圆的定义及方程




定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
❶
圆心：(a，b)，半径： r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
❷
圆心：，
半径：

❶标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r.
❷(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
(2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
(二)选一选
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2,3)　　　　　　　　 B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D　因为圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D.
3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－，)
C．(－，) D.
解析：选C　∵点(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜.故选C.

(三)填一填
4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
解析：法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二：画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
答案：x2＋y2－2x＝0
5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－a2－a＋1>0，即3a2＋4a－4<0，所以－2 答案：


[典例]　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
[解析]　(1)根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)法一：几何法
设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即
＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：待定系数法
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
由题意得
解得D＝2，E＝4，F＝－5.
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
[答案]　(1)A　(2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0

[解题技法]
1．求圆的方程的两种方法
几何法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定
系数法
①根据题意，选择标准方程与一般方程；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程

2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

[题组训练]
1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A.2＋y2＝　　　 B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
解析：选C　法一：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)．
由题意得解得
所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
法二：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则由题意得解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.
法三：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，
所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，
所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|＝ ＝，
所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
2．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．
解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r＝＝2，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝8
3．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
将P，Q两点的坐标分别代入得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0

[典例]　(1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．
[解析]　(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)设P(x，y)，圆心C(1,1)．
因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥.
又因为＝(2－x,3－y)，＝(1－x,1－y)．
所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
所以点P的轨迹方程为2＋(y－2)2＝.
[答案]　(1)A　(2)2＋(y－2)2＝

[变透练清]
1.若将本例(2)中点A(2,3)换成圆上的点B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．
解析：设P(x，y)，圆心C(1,1)．当点P与点B不重合时，因为P点是过点B的弦的中点，所以⊥.
又因为＝(1－x,4－y)，＝(1－x,1－y)．
所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0.
所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋2＝；
当点P与点B重合时，点P满足上述方程．
综上所述，点P的轨迹方程为(x－1)2＋2＝.
答案：(x－1)2＋2＝
2．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[解题技法]　与圆有关的轨迹问题的3种常用求法


A级——保大分专练

1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　 　 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：选B　直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(　　)
A．1 B．2
C. D．4
解析：选B　由半径r＝＝＝2，得＝2.
∴点(a，b)到原点的距离d＝＝2，故选B.
3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
解析：选A　由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x－y＋4＝0的距离d＝＝，解得a＝1，d＝，∵直线与圆相切，∴r＝d＝， ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.
4．(2019·银川模拟)方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析：选D　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.
5．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为(　　)
A．(－2，－4) B.
C．(－2，－4)或 D．不确定
解析：选A　∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时方程不表示圆．故选A.

6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
解析：选A　直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，
即r＝d＝＝，
则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
7．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，
则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．
半径r＝|AB|＝＝.
∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.
答案：x2＋(y－3)2＝2
8．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2＜10，
解得0＜m＜4.
答案：(0,4)
9．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________________．
解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝d＝＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.
答案：x2＋(y－1)2＝2

10．(2019·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又直径|CD|＝4，
所以|PA|＝2.
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，
所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

B级——创高分自选

1．(2019·伊春三校联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1　　 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：选B　圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C1为(－1,1)，半径为1.易知点C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为C2，设C2(a，b)，则解得所以C2(2，－2)，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.
2．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
3．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，
∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．
(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
∴x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，
圆心到直线l的距离d＝＝2，
解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得
9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴ ∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中