2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第三节圆的方程

第三节圆的方程

一、基础知识批注——理解深一点
1．圆的定义及方程




定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
❶
圆心：(a，b)，半径： r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
❷
圆心：，
半径：

❶标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r.
❷(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
(2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
(二)选一选
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2,3)　　　　　　　　 B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D　因为圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D.
3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－，)
C．(－，) D.
解析：选C　∵点(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜.故选C.

(三)填一填
4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
解析：法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二：画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
答案：x2＋y2－2x＝0
5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－a2－a＋1>0，即3a2＋4a－4