2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第二节两直线的位置关系

第二节两直线的位置关系

一、基础知识批注——理解深一点
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，
设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式.

(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0
利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.
间的距离d＝ .　




二、常用结论汇总——规律多一点

(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
①垂直：Bx－Ay＋m＝0；
②平行：Ax＋By＋n＝0.
(2)与对称问题相关的四个结论：
①点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
②点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
③点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
④点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．

三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
(二)选一选
1．已知过两点A(－3，m)，B(m,5)的直线与直线3x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．7
C．－7 D．－9
解析：选C　由题可知，＝－3，解得m＝－7，故选C.
2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．－3 B．－
C．2 D．3
解析：选D　直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，因为两直线垂直，所以－×＝－1，即a＝3.
3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：选C　由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.

(三)填一填
4．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．
解析：由得
即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)．
又因为直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，
所以－8＝－9a－2，解得a＝.
答案：
5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.
答案：2



[典例]　已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
[解]　(1)由题意得
解得
即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴
解得或
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

[解题技法]
1．解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”

2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)

[题组训练]

1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为(　　)
A．7　　　　　　　　　　 B．9
C．11 D．－7
解析：选A　由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.


[典例]　(1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0　　　　 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．－1
[解析]　(1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线为过点P(2,1)且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为＝，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x＋y－5＝0.
(2)因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是 ，所以＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.
[答案]　(1)A　(2)C

[解题技法]
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
[题组训练]
1．已知点P(2，m)到直线2x－y＋3＝0的距离不小于2，则实数m的取值范围是________________．
解析：由题意得，点P到直线的距离为≥2，即|m－7|≥10，解得m≥17或m≤－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．
答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)
2．如果直线l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直线l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直线l3：x－2y＋3＝0，则l1，l2之间的距离为________．
解析：因为l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得a＝－，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝＝2.
答案：2

[典例]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．
(1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
[解]　(1)设A′(x，y)，再由已知得
解得
所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则解得M′.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′方程为9x－46y＋102＝0.


[变透练清]
1.在本例条件下，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________________．
解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M(1,1)，N(4,3)，
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
由两点式可得 l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
答案：2x－3y－9＝0
2．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0

[解题技法]
1．中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；
③轨迹法，设对称直线上任一点M(x，y)，其关于已知点的对称点在已知直线上．
2．轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．



1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0　　　　　　　 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选C　因为直线x－2y－2＝0的斜率为，
所以所求直线的斜率k＝－2.
所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，
即2x＋y－2＝0.
2．已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0和l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)
A．2或 B.或－1
C. D．－1
解析：选B　因为直线l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝或－1.
3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：选C　设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．
4．(2018·揭阳一模)若直线l1：x－3y＋2＝0与直线l2：mx－y＋b＝0关于x轴对称，则m＋b＝(　　)
A. B．－1
C．－ D．1
解析：选B　直线l1：x－3y＋2＝0关于x轴对称的直线为x＋3y＋2＝0.由题意知m≠0.
因为mx－y＋b＝0，即x－＋＝0，且直线l1与l2关于x轴对称，
所以有解得
则m＋b＝－＋＝－1.
5．点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　由题意，知解得
∴直线方程为y＝－x＋，它在x轴上的截距为－×＝.故选D.
6．(2019·成都五校联考)已知A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选B　由|PA|＝|PB|得点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据直线PA的方程为x－y＋1＝0，可得A(－1,0)，将x＝2代入直线x－y＋1＝0，得y＝3，所以P(2，3)，所以B(5,0)，所以直线PB的方程是x＋y－5＝0，选B.
7．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A．3 B．2
C．3 D．4
解析：选A　依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.
8．已知点A(1,3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为(　　)
A．(3.4,0) B．(13,0)
C．(5,0) D．(－13,0)
解析：选B　作出A点关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为(13,0)．
9．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
解析：由方程组得x＝0，y＝2，即P(0,2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
答案：4x＋3y－6＝0
10．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．
解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k＝＝－，得所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x＝－1.综上所述，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1

11．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0

12．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
13．已知△ABC的三个顶点是A(1,1)，B(－1,3)，C(3,4)．
(1)求BC边的高所在直线l1的方程；
(2)若直线l2过C点，且A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
解：(1)因为kBC＝＝，又直线l1与BC垂直，所以直线l1的斜率k＝－＝－4，所以直线l1的方程是y＝－4(x－1)＋1，即4x＋y－5＝0.
(2)因为直线l2过C点且A，B到直线l2的距离相等，
所以直线l2与AB平行或过AB的中点M，
因为kAB＝＝－1，所以直线l2的方程是y＝－(x－3)＋4，即x＋y－7＝0.
因为AB的中点M的坐标为(0,2)，
所以kCM＝＝，所以直线l2的方程是
y＝(x－3)＋4，即2x－3y＋6＝0.
综上，直线l2的方程是x＋y－7＝0或2x－3y＋6＝0.