2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第五节直线与圆的综合问题

第五节直线与圆的综合问题


考法(一)　斜率型最值问题
[典例]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取得最大值或最小值，
此时＝，
解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.

[解题技法]
形如μ＝型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题＝表示过坐标原点的直线的斜率．

考法(二)　截距型最值问题
[典例]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．
[解]　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

[解题技法]
形如μ＝ax＋by型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b＝y－x，即y＝x＋b，从而将y－x的最值转化为求直线y＝x＋b的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x－2)2＋y2＝3，故可令即从而y－x＝sin θ－cos θ－2＝sin－2，进而求出y－x的最大值和最小值．
考法(三)　距离型最值问题
[典例]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[解题技法]
形如μ＝(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方求最值．如本题中x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平方．
[题组训练]
1．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任意一点，则的最大值为________．
解析：设＝k，即kx－y－k＋2＝0，
圆心C(－2,0)，r＝1.
当直线与圆相切时，k有最值，
∴＝1，解得k＝.
∴的最大值为.
答案：
2．设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．
解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
答案：12

[典例]　已知直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过点M(－1，－1)．
(1)求直线l与圆C的方程．
(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ＝0，求证：直线PQ的斜率为1.
[解]　(1)∵直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝0相互垂直，
∴4×1－2a＝0，解得a＝2.
∴直线l的方程为4x＋2y－5＝0.
设圆C的圆心C的坐标为(m，n)．
∵圆心C(m，n)与点(2,1)关于直线l对称，
∴解得∴C(0,0)．
∴圆C的半径r＝|CM|＝.
∴圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：设过点M的直线MP的斜率为k，则过点M的直线MQ的斜率为－k，直线MP的方程为y＋1＝k(x＋1)．
∵直线MP与圆C相交，
∴联立得方程组
消去y并整理，得(1＋k2)x2＋2k(k－1)x＋k2－2k－1＝0.
∵圆C过点M(－1，－1)，
∴xP·(－1)＝，∴xP＝.
同理，将k替换成－k，可得xQ＝.
∴kPQ＝＝＝＝1.
[解题技法]　直线与圆的综合问题的求解策略
(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6]　　　　　　　　 B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．


2. (2019·湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程；
(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA2|＋|PB2|＝12？若存在，求出点P的个数；若不存在，说明理由．
解：(1)因为圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以圆心C(2,0)，半径为2.
因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，
所以直线l的斜率为＝1，
设直线l的方程为x－y＋m＝0，
则圆心C到直线l的距离d＝＝.
因为|MN|＝|AB|＝＝2，
|CM2|＝d2＋2，所以4＝＋2，
解得m＝0或m＝－4，
故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.
(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，
因为|2－2|＜＜2＋2，
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，
所以存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，点P的个数为2.



A级——保大分专练

1．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　　 B．相交
C．相离 D．不能确定
解析：选A　由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1,2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.
2．直线ax＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则圆的半径最大时，a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．a可为任意非零实数
解析：选C　由题意得，圆心(0,0)到直线ax＋y＋2＝0的距离等于半径r，即＝r.由基本不等式，得r≤＝，当且仅当a4＝1，即a＝±1时取等号．故选C.
3．与圆x2＋y2＋2y＋1＝0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B　圆的标准方程为x2＋(y＋)2＝1，设切线方程为y＝kx＋m，则＝1，整理得(＋m)2＝k2＋1，又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以m＝－，联立方程得解得或所以切线方程为y＝±x或y＝－x－2，切线共有3条．
4．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)
A．3 B.
C．2 D．2

解析：选D　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径r＝1.由圆的性质，知S四边形PACB＝2S△PBC.∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1，则rdmin＝1(d是切线长)，∴dmin＝2.∵圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离就是PC的最小值，∴|PC|min＝＝＝.∵k>0，∴k＝2.故选D.
5．(2019·赣州七校联考)已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直线x－y＋＝0上，且圆C上的点到直线 x＋y＝0的距离的最大值为1＋，则a2＋b2的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　易知圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，所以圆心为(a，b)，由圆心在直线x－y＋＝0上，可得a－b＋＝0，即b＝(a＋1)　①.圆C上的点到直线 x＋y＝0的距离的最大值dmax＝1＋＝＋1，得|a＋b|＝2　②.由①②得 |2a＋1|＝2，又a＜0，所以a＝－，a2＋b2＝a2＋3(a＋1)2＝3.
6．已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么的最小值为________．
解析：由题意得＝表示点P(x，y)到原点的距离，所以的最小值表示圆(x＋5)2＋(y－12)2＝25上一点到原点距离的最小值．又圆心(－5,12)到原点的距离为＝13，所以的最小值为13－5＝8.
答案：8
7．已知P(x，y)为圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，则|3x＋4y－3|的最大值为________．
解析：设t＝3x＋4y－3，即3x＋4y－3－t＝0.由圆心(2,0)到直线3x＋4y－3－t＝0的距离d＝≤1，
解得－2≤t≤8.所以|3x＋4y－3|max＝8.
答案：8
8．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，则实数a＝________.

解析：直线l的方程可变形为y＝ax＋4，所以直线l过定点(0,4)，且该点在圆M上．圆的方程可变形为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为M(0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB＝，所以△AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以＝，解得a＝±.
答案：±
9．已知曲线C上任一点M(x，y)到点E和直线a：y＝－的距离相等，圆D：(x－1)2＋2＝r2(r＞0)．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点A(－2,1)作曲线C的切线b，并与圆D相切，求半径r.
解：(1)由题意得 ＝.
两边平方并整理，得y＝(x＋1)2.
∴曲线C的方程为y＝(x＋1)2.
(2)由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)．
∵点A(－2,1)在抛物线C上，
∴切线b的斜率为y′|x=－2＝－2.
∴切线b的方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0.
又直线b与圆D相切，
∴圆心D到直线b的距离等于半径，
即r＝＝.
10．已知过点A(1,0)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)设过点A(1,0)的直线与圆C相切，显然当直线的斜率不存在时，直线x＝1与圆C相切．
当直线的斜率存在时，设切线方程为y＝k0(x－1)，即k0x－y－k0＝0.
∵圆C的半径r＝1，
∴圆心C(2,3)到切线的距离为＝1，解得k0＝.
∵过点A且斜率为k的直线l与圆C有两个交点，
∴k＞，即k的取值范围为.
(2)将直线l的方程y＝k(x－1)代入圆C的方程，得(1＋k2)x2－(2k2＋6k＋4)x＋k2＋6k＋12＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
∴y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2(x1x2－x1－x2＋1)＝.
∴·＝x1x2＋y1y2＝＝12，解得k＝3或k＝0(舍去)．
∴直线l的方程为3x－y－3＝0.
故圆心(2,3)在直线l上，∴|MN|＝2r＝2.

B级——创高分自选

1．已知圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆N：x2＋(y－8)2＝40，经过原点的两直线l1，l2满足l1⊥l2，且l1交圆M于不同两点A，B，l2交圆N于不同两点C，D，记l1的斜率为k.
(1)求k的取值范围；
(2)若四边形ABCD为梯形，求k的值．
解：(1)显然k≠0，所以可设l1的方程为y＝kx，则l2的方程为y＝－x.
依题意得点M到直线l1的距离d1＝＜.
整理，得k2－4k＋1＜0，
解得2－＜k＜2＋.①
同理，点N到直线l2的距离d2＝＜2，
解得－＜k＜.②
由①②可得2－＜k＜，
所以k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
将直线l1的方程代入圆M的方程，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
将直线l2的方程代入圆N的方程，得(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝.
由四边形ABCD为梯形可得＝，
所以＋＋2＝＋＋2，所以＝，
所以(1＋k)2＝4，解得k＝1或k＝－3(舍去)．
故k的值为1.
2．(2019·成都双流中学模拟)已知曲线C上任意一点到点A(1，－2)的距离与到点B(2，－4)的距离之比均为.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P(1，－3)，过点P作两条相异的直线分别与曲线C相交于E，F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段EF的最大值．
解：(1)设曲线C上的任意一点为Q(x，y)，由题意得＝，整理得x2＋y2＝10，故曲线C的方程为x2＋y2＝10.
(2)由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，因为P(1，－3)，故可设直线PE的方程为y＋3＝k(x－1)，联立方程得消去y得(1＋k2)x2－2k(k＋3)x＋k2＋6k－1＝0，因为P(1，－3)在圆上，所以x＝1一定是该方程的解，故可得xE＝，同理可得xF＝，所以kEF＝＝＝＝－，故直线EF的斜率为定值－，设直线EF的方程为y＝－x＋b，则圆C的圆心(0,0)到直线EF的距离d＝，所以|EF|＝2＝2 ，
所以当b＝0时，线段EF取得最大值，最大值为2.