2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第六节椭圆

第六节椭__圆

一、基础知识批注——理解深一点
2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a＜|F1F2|时，动点的轨迹不存在.

1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数
2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个
定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆
的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆
的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

3．椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
　(a,0)，(－a,0)，　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)，　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b❶
离心率
e＝❷
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．
❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接
近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁．

二、常用结论汇总——规律多一点
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．

三、基础小题强化——功底牢一点


(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√

(二)选一选
1．椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由椭圆的标准方程可知，该椭圆的焦点在y轴上，a2＝9，b2＝8，
所以c＝1，所以e＝＝，故选C.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，
所以解得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.


解析：选C　∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2，∴e＝＝＝.

(三)填一填
4．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的方程为________．
解析：由题意得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得
解得3 答案：(3,4)∪(4,5)

第一课时　椭圆及其性质

[典例]　(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．
[解析]　(1)由长、短半轴长之和为10，焦距为4，可得a＋b＝10,2c＝4，∴c＝2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝36，b2＝16.∵焦点在x轴上，∴所求椭圆方程为＋＝1.故选C.
(2)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.
[答案]　(1)C　(2)＋＝1或＋＝1

[解题技法]　求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法．一般步骤如下：

[提醒]　求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)．
[题组训练]
1．(2018·济南一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B　椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝·2a＝2，得c＝1，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，
∴此椭圆的标准方程为＋＝1.故选B.
2．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为______________．
解析：由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b＝2.
因为e＝＝，所以a＝2c，
又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．已知椭圆中心在原点，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点，则椭圆的标准方程为________．
解析：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
依题意有解得
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1

[典例]　(1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1

(2)已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．
[解析]　(1)由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0,8)，
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，
由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，
两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144.
又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，
所以1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，
解得cos∠F1PF2＝.
[答案]　(1)D　(2)
[变透练清]
1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　)
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选D　因为a2＝25，所以2a＝10，由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.
2.若本例(2)条件不变，则△PF1F2的内切圆的面积为________．
解析：由椭圆的定义可知△PF1F2的周长的一半为a＋c＝18，所以由三角形的面积公式S＝pr(其中p，r分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得r＝1，所以△PF1F2的内切圆的面积为π.
答案：π
[解题技法]　
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值



考法(一)　求椭圆离心率的值(或范围)
[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－　　　　　　　　　 B．2－
C. D.－1
(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，
不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝，
由椭圆的定义可知，在方程＋＝1中，
2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，
所以离心率e＝＝＝－1.
(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝ ＝ .因为1≤b＜2，所以0＜e≤.
[答案]　(1)D　(2)A

[解题技法]　求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

考法(二)　与椭圆性质有关的最值问题
[典例]　已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．4　　　　　　　　 B．6
C．8 D．10
[解析]　设M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．
则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，
所以＋＝(－2x0，－2y0)，
|＋|＝＝＝ ，
因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，
所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.
[答案]　C
[解题技法]　椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．
(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．


[题组训练]
1．(2018·贵阳摸底)P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D.
2．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　　)
A. B.
C．5 D．2
解析：选C　设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，
故x＝4(1－y)，
所以|PA|2＝x＋(y0－4)2
＝4(1－y)＋y－8y0＋16
＝－3y－8y0＋20
＝－32＋，
又－1≤y0≤1，
所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，
即|PA|最大值为5.故选C.
3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

解析：选C　如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点P，
使得|PF2|＝2c.
∴a－c≤2c＜a＋c.
∴e＝∈.



A级——保大分专练

1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1
D.＋y2＝1或＋x2＝1
解析：选C　由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　 B．(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，－1)∪
解析：选D　依题意得不等式组
解得m＜－1或1＜m＜，故选D.
3．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，
所以a2＝，b2＝，
所以c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.
4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由椭圆方程知c＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，
代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，
故·的最大值为.
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选D　设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
6．(2019·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，故＝，故选D.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
8．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________．
解析：法一：设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所求椭圆方程为＋＝1.
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，代入点A(3，－2)得＋＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.

解析：由椭圆＋＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．在△ABC中，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可得＝＝＝3.
答案：3
10．点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2的最大值是60°，则椭圆的离心率e＝________.
解析：如图所示，当点P与点B重合时，∠F1PF2取得最大值60°，此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c.由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，所以椭圆的离心率e＝＝.
答案：
11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
依题意得因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
12．已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．
解：设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2.
又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y
＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
当x0＝2时，·取得最小值0，
当x0＝－2时，·取得最大值4.

B级——创高分自选

1．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
则整理得解得＜e＜.
2．(2018·南昌摸底考试)P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝(　　)
A. B.
C．8 D.
解析：选D　由椭圆＋＝1得a2＝25，b2＝9，
则c＝＝＝4，
∴|F1F2|＝2c＝8.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝64.
∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝100－64＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PH|，
∴|PH|＝＝.故选D.
3．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

第二课时　直线与椭圆的综合问题


[典例]　(2018·南宁摸底联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝ －·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝ ＝，故选C.
[答案]　C

[解题技法]
1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤

2．解有关弦中点问题的注意点
对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
[题组训练]
1．已知椭圆：＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0
C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0
解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，＝kAB，代入后求得kAB＝－，所以弦所在的直线方程为y－＝－，即x＋9y－5＝0.
2．焦点为F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________________．
解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得
两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，
所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1


[典例]　(2018·北京高考节选)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
[解]　(1)由题意得解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝＝＝＝ .
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
[解题技法]　弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝＝ (k为直线斜率)．
[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[题组训练]
1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为
(　　)
A．±1　　　　　　　　　 B．±
C. D．±
解析：选A　由消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题意，得|AB|＝＝＝，
解得m＝±1.
2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，
又e＝，所以＝，c＝1，
所以b2＝22－1＝3，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，
由得5x2＋8x＝0，
解得x1＝0，x2＝－，
所以y1＝，y2＝－.
所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.



[典例]　(2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．
[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立整理得y2－y－9＝0，
则Δ＝＋144＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝2，所以y1＝－2y2，
所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，
则3＋4k2＝8，解得k＝±，
又k＞0，所以k＝.
[解题技法]　解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
[题组训练]
1．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为·≥2，＝(－c，－b)，＝(c，－b)，|F1F2|2＝4c2，所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2≥3c2，所以0＜≤.
2．已知椭圆D：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆D的标准方程；
(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x＝a交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，求·的值．
解：(1)因为|OA|＝|OF|，所以b＝c，
又△AOF的面积为1，所以bc＝1，解得b＝c＝，
所以a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆D的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线MC的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋2)，
代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
所以P.又M(2,4k)，
所以·＝(2,4k)·＝4.


A级——保大分专练
1．(2019·长春二检)椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C．－ D．－
解析：选A　设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.
2．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B　由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，，所以|AB|＝.
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
4．(2019·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)， ∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故选B.
5．已知点P是椭圆＋＝1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)
A．[0,3)　　　　　　　　 B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]
解析：选B　如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.
∵·＝0，∴⊥.
又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
∵O为F1F2中点，∴OM綊F2G.
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
∵4－2<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋2，
∴||∈(0,2)．
6．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为________．
解析：由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞1)，由|AB|＝3，知点在椭圆上，代入椭圆方程得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
解析：因为椭圆＋y2＝1(a＞0)的焦点在x轴上，所以c＝，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝± ，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝.
答案：
8．已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，
弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＋＝1　①，＋＝1　②，
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，
∴k＝＝－.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
9．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．
(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．
解：(1)因为S△FAB＝|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝.
(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，
则＋y2＝1，＋y＝1，
kMA·kMB＝·＝＝＝＝－＝－，
所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
10．(2019·成都一诊)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．
解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立消去x，可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.
∵点B在以MN为直径的圆上，
∴·＝0.
∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，
∴(m2＋1)·＋(m－1)·＋2＝0，
整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.
∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.

B级——创高分自选

1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程．
解：(1)由e＝，得a＝2c，
易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2，
由余弦定理，得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A＝|F1F2|2，
即4＋(2a－2)2－2×2×(2a－2)×＝a2，
解得a＝2，则c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝，
∴N.又M，则kMN＝＝－.
∵MN⊥PQ，∴kMN＝－，得k＝或，
则kMN＝－2或kMN＝－，故直线MN的方程为16x＋8y－1＝0或16x＋24y－3＝0.
2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝ .记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求直线l的方程．
解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2，即k＝±，
此时直线l的方程为y＝±x＋1.