2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第九章第五节椭圆

第五节椭__圆


1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞F1F2时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜F1F2时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性 质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

[小题体验]
1．已知椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．
答案：12
2．已知直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．
解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.
直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
3．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，
所以解得
故椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1

1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
[小题纠偏]
1．(2019·无锡一中月考)已知椭圆＋＝1的焦距为6，则m＝________.
解析：∵椭圆＋＝1的焦距为6，
∴当焦点在x轴时，(13－m)－(m－2)＝9，解得m＝3；
当焦点在y轴时，(m－2)－(13－m)＝9，解得m＝12.
答案：3或12
2．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得解得3＜k＜5且k≠4.
答案：(3,4)∪(4,5)

　
[题组练透]
1．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为________．
解析：由椭圆＋＝1，得a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为(±，0)．设所求椭圆方程为＋＝1，a′＞b′＞0，则c′＝，又＝，解得a′＝5.∴b′2＝25－5＝20，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．(2018·海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，求椭圆C的标准方程．
解：设点F关于y＝x的对称点为P(x0，y0)，
又F(1,0)，所以解得
又点P在椭圆上，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
所以解得
则椭圆C的方程为＋＝1.
3．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点P(－2，0)，Q(0,2)两点；
(2)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－)．
解：(1)由题意，P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以a＝2，b＝2，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)，
所以所求椭圆焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得
解得a2＝4＋2，b2＝3＋2或a2＝4－2，b2＝3－2(舍去)，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
[谨记通法]
求椭圆标准方程的 2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)

　
[典例引领]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且点M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．
解：(1)设椭圆的左焦点为F1.
根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，半焦距c＝1，
因为H在椭圆上，
所以2a＝HF1＋HF2＝ ＋ ＝6.
所以a＝3，b＝2，故椭圆的方程是＋＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝1，
所以PF2＝＝ ＝ .
因为0＜x1＜3，所以PF2＝3－x1.
在圆x2＋y2＝b2中，M是切点，
所以PM＝＝＝ ＝x1.
所以PF2＋PM＝3－x1＋x1＝3.
同理，QF2＋QM＝3，
所以F2P＋F2Q＋PQ＝3＋3＝6.
因此△PF2Q的周长是定值6.
[由题悟法]
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中PF1＋PF2＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住PF1与PF2之和为定值，可联系到基本不等式求PF1·PF2的最值；利用定义PF1＋PF2＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值

[即时应用]
1．已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，点P是椭圆上的点，且△PF1F2的周长是4＋2，则椭圆的标准方程为________．
解析：∵椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2，
∴椭圆的焦距为F1F2＝2.
∵△PF1F2的周长是4＋2，
∴PF1＋PF2＋F1F2＝4＋2，
可得PF1＋PF2＝4.
根据椭圆的定义，可得2a＝PF1＋PF2＝4，∴a＝2，
又∵c＝，∴b＝＝，可得a2＝4，b2＝2.
故椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：由题意知PF1＋PF2＝2a，⊥，所以PF＋PF＝F1F＝4c2，所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝4c2，所以2PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2.所以PF1·PF2＝2b2，所以S△PF1F2＝ PF1·PF2＝×2b2＝b2＝9.所以b＝3.
答案：3
　
[锁定考向]
椭圆的几何性质是高考的热点，常见的命题角度有：
(1)求离心率的值或范围；
(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围；
(3)焦点三角形的研究．　　　 　
[题点全练]
角度一：求离心率的值或范围
1．(2019·连云港调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若F1A⊥OB，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意，可得A，B.
∵F1A⊥OB，∴·＝－1，可得a2－c2＝ac，
即e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
答案：
2．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，所以－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即2＝，所以e＝＝.
答案：
角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围
3．若方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
解析：∵方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴解得a＞7.
∴实数a的取值范围是(7，＋∞)．
答案：(7，＋∞)
4．如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
解析：x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得＋＝1，
因为x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，
所以＞2，解得0＜k＜1.所以实数k的取值范围是(0,1)．
答案：(0,1)
角度三：焦点三角形的研究
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆C的短半轴长有关．
解：(1)设PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
所以≥，即e≥.
又0＜e＜1，所以e的取值范围是.
(2)证明：由(1)知mn＝b2，
所以S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短半轴长有关．
[通法在握]
1．应用椭圆几何性质的2个技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
2．求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
[演练冲关]
1．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为______．
解析：当9＞4－k＞0，即－5＜k＜4时，
a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，
所以＝，解得k＝.
当9＜4－k，即k＜－5时，a＝，c2＝－k－5，
所以＝，解得k＝－21，所以k的值为或－21.
答案：或－21
2．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意，可设P.
因为在Rt△PF1F2中，PF1＝，F1F2＝2c，
∠F1PF2＝60°，所以＝.又因为b2＝a2－c2，
所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，
解得e＝或e＝－，
又因为e∈(0,1)，所以e＝.
答案：
3．(2019·南京一模)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝θ，若cos θ＝，则椭圆C的离心率为________．
解析：∵PF2⊥F1F2，cos∠PF1F2＝，F1F2＝2c，
∴PF1＝6c，PF2＝4c，
又PF1＋PF2＝2a，∴6c＋4c＝2a，
∴椭圆C的离心率e＝＝＝3－2.
答案：3－2
　
[典例引领]
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M.已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．
解：(1)因为椭圆C的离心率为，所以a2＝4b2.
又因为椭圆C过点，所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，且－2＜x0＜2, x0≠1，则＋y＝1.
因为MB是PN的垂直平分线，
所以点P关于点B的对称点N(2－x0，－y0)，
所以x0＝2－m.
由A(－2,0)，P(x0，y0)，
可得直线AP的方程为y＝(x＋2)，
令x＝m，得y＝，即M.
因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，
所以kPB·kMB＝·＝－1，
即＝－1.
因为＋y＝1.所以＝1.
因为x0＝2－m ，所以化简得3m2－10m＋4＝0，
解得m＝.
因为m＞2，所以m＝.
[由题悟法]
直线与椭圆的位置关系的解题策略
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
[即时应用]
(2018·南通、扬州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足＝2.
(1)若点P的坐标为(2，)，求椭圆的方程；
(2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且＝m，直线OA，OB的斜率之积为－，求实数m的值．
解：(1) 因为＝2，而P(2，)，所以A，
代入椭圆方程，得＋＝1，①
又椭圆的离心率为，所以 ＝.②
由①②，得a2＝2，b2＝1.故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．
因为＝2，所以P(－2x1，－2y1)，
因为＝m，所以(－2x1－x2，－2y1－y2)＝m(x3－x2，y3－y2)，
即于是
代入椭圆方程，得＋＝1，
即＋－＝1，③
因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1. ④
因为直线OA，OB的斜率之积为－，即·＝－，
结合②知＋＝0. ⑤
将④⑤代入③，得＋＝1，
解得m＝.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆的方程为______________．
解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
∴设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，
∴且a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方程为________________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为2a＝12，＝，
所以a＝6，c＝3，b2＝27.所以椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．椭圆＋y2＝1的左、右两焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
解析：由题意，椭圆＋y2＝1的左、右两焦点分别为F1，F2，
则PF1＋PF2＝2，F1F2＝2.
由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos 60°＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，
解得PF1·PF2＝.
故△F1PF2的面积S＝PF1·PF2·sin 60°＝.
答案：
4．(2019·南京名校联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．
解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝.
答案：或
5．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是__________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：设两直线交点为M，令MF1＝m，MF2＝n.由椭圆的定义可得m＋n＝2a，因为MF1⊥MF2，所以m2＋n2＝4c2，因为(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(n2＋m2)，当且仅当m＝n＝a时取等号，即4a2≤2(4c2)，所以a≤c，所以≥，即e≥，因为e＜1，所以≤e＜1.
答案：
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1．(2019·启东模拟)设点P在圆x2＋(y－2)2＝1上移动，点Q在椭圆＋y2＝1上移动，则PQ的最大值是________．
解析：已知圆心C(0,2)，PQ≤PC＋CQ＝1＋CQ，故只需求CQ的最大值即可．
设Q(x，y)，
则 CQ＝＝＝＝ .
∵ －1≤y≤1，∴ 当y＝－时，CQmax＝＝，
∴ PQmax＝1＋.
答案：1＋
2．(2019·常州模拟)若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为________．
解析：不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.
所以a2＝9b2＝9(a2－c2)．
即＝，
所以e＝＝.
答案：
3．(2018·镇江期末)已知椭圆＋＝1(m＞n＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则·＝________.
解析：法一：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝n－(m－n)＝2n－m.
法二：设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则x2＋y2＝n，·＝(x＋c)(x－c)＋y2＝x2＋y2－c2＝n－(m－n)＝2n－m.
答案：2n－m
4．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．
解析：因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，A(a,0)，所以＝(c，－b)，＝(a，b)．因为B2F⊥AB1，所以ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，故e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
答案：
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为________．

解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝＝＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6.(2019·启东月考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．
解析：∵F为椭圆的右焦点，OF＝，∴c＝.
设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，
∵A，B是椭圆的两个顶点，∴A，B(0，b)．
又∵C是AB的中点，∴C.由OC的延长线交椭圆于点M，MF⊥OA，得M.
∵kOM＝kOC，∴＝，∴b＝，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为AB过F1且A，B在椭圆C上，
所以△ABF2的周长＝AB＋AF2＋BF2
＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2
＝4a＝16，
所以a＝4.
又离心率e＝＝，
所以c＝2，
所以b2＝a2－c2＝8，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2019·句容月考)离心率e＝，焦距为4的椭圆的标准方程为________________．
解析：∵椭圆的离心率e＝，焦距为4，∴c＝2，a＝6，
∴b2＝32，∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率．
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，
即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
10．(2018·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ.
(1)若点P的坐标为，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
(2)若PF2⊥x轴，且椭圆C的离心率e∈，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，
从而△PQF2的周长为4a，
由题意得4a＝8，解得a＝2.
因为点P的坐标为，且在椭圆上，
所以＋＝1，解得b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，所以可设P(c，y0)，且y0＞0，Q(x1，y1)．
因为点P在椭圆上，所以＋＝1，
解得y0＝，即P.
因为F1(－c,0)，
所以＝，＝(x1＋c，y1)．
由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，
所以Q.
因为点Q在椭圆上，所以2e2＋＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1.
因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，
从而λ＝＝－3.
因为e∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5.
所以λ的取值范围为.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2019·宿迁调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，下顶点为A.若平行于AF且在y轴上截距为3－ 的直线与圆x2＋(y－3)2＝1相切，则该椭圆的离心率为________．
解析：由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，下顶点为A，可得AF的斜率为－，则平行于AF且在y轴上截距为3－的直线方程为y＝－x＋3－.由该直线与圆x2＋(y－3)2＝1相切，可得＝1，解得b＝c，所以e＝＝＝.
答案：
2．(2018·连云港质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
解析：设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
则有解得x1＝－3，y1＝1，
易知PA＋PB的最小值等于A1B＝，
因此椭圆C的离心率e＝＝的最大值为.
答案：
3.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F的坐标为(1,0)，P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，PF＝.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．
解：(1)当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，
所以PF＝＝，
又c＝1，a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，
联立椭圆方程得：(2k2＋1)x2＋4kbx＋2(b2－1)＝0，
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2),
则
由·＝0，得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(k2＋1)x1x2＋(kb－1)(x1＋x2)＋b2＋1＝0，
代入化简得3b2－1＋4kb＝0.④
由y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝，
得C，
所以线段PQ的中垂线AB的方程为
y－＝－.
令y＝0，x＝0，可得A，B，
则A为BC中点，
故＝＝＝＝2.
由④式得，k＝，则xA＝＝，
所以＝2＝＝，解得b2＝3.
所以b＝，k＝－或b＝－，k＝.
经检验，满足条件①②③，
故直线PQ的方程为y＝x－或y＝－x＋.