2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程


1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠)，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用范围
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
4．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
[小题体验]
1．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°　　　　　　　　 　B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
解析：选D　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，故选D.
2．下列说法中正确的是(　　)
A.＝k表示过点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线方程
B．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|
C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是＋＝1
D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线
解析：选D　对于A，直线不包括点P1，故A不正确；对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负，故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为＋＝1，故C不正确；对于D，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.
3．(2018·嘉兴检测)直线l1：x＋y＋2＝0在x轴上的截距为________；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l2的方程为________________．
解析：对于直线l1：x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即直线l1在x轴上的截距为－2；令x＝0，得y＝－2，即l1与y轴的交点为(0，－2)，直线l1的倾斜角为135°，∴直线l2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l2的斜率为1，故l2的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.
答案：－2　x－y－2＝0

1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．
[小题纠偏]
1．直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B.∪
C. D.
解析：选B　设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－cos α，
又cos α∈[－1,1]，所以－≤tan θ≤，
又0≤θ＜π，且y＝tan θ在和上均为增函数，
故θ∈∪.故选B.
2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________．
解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0


[题组练透]
1．若直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为直线l的斜率k＝tan α＝＝m2＋1≥1，所以≤α＜.故倾斜角α的取值范围是.
2．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.
解析：如图所示，结合图形，若l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．
又kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.
又当0≤k≤1时，0≤α≤；
当－1≤k＜0时，≤α＜π.
故倾斜角α的取值范围为α∈∪.
答案：[－1,1]　∪
3．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求＋的值．
解：∵kAB＝＝－，kAC＝＝－，且A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即－＝－，整理得ab＝2(a＋b)，将该等式两边同除以2ab得＋＝.
[谨记通法]
1．倾斜角与斜率的关系
当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.
当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
2．斜率的3种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
(3)方程法：若已知直线的方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，则l的斜率k＝－.

[典例引领]
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
解：(1)设直线方程在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，
∴直线方程为y＝x，即x－4y＝0；
若a≠0，则设直线方程为＋＝1，
∵直线方程过点(4,1)，∴＋＝1，
解得a＝5，∴直线方程为x＋y－5＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
即所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
[由题悟法]
求直线方程的2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
[即时应用]
　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．
(2)过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程为________．
解析：(1)由x＋y＋1＝0，得此直线的斜率为－，
所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，
所以所求直线的斜率为.
又直线过点A(－，3)，
所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，
即x－y＋6＝0.
(2)由题意可设直线方程为＋＝1，
则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
答案：(1)x－y＋6＝0　(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0

[锁定考向]
直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的命题角度有：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数的几何意义相结合的问题；
(3)由直线方程解决参数问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：与基本不等式相结合的最值问题
1．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；
(3)|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
则可得A，B(0,1－2k)．
∵直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴得k＜0.
∴S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k)
＝≥
＝4，当且仅当－＝－4k，
即k＝－时，△AOB的面积有最小值4，此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)∵A，B(0,1－2k)(k＜0)，
∴截距之和为2－＋1－2k＝3－2k－≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当－2k＝－，即k＝－时等号成立．
故截距之和的最小值为3＋2，
此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋y－－2＝0.
(3)∵A，B(0,1－2k)(k＜0)，
∴|PA|·|PB|＝·＝2≥4，
当且仅当－k＝－，
即k＝－1时上式等号成立．
故|PA|·|PB|的最小值为4，此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
角度二：与导数的几何意义相结合的问题
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A.　　　　　　 B.
C．[0,1] D.
解析：选A　由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，
则k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
角度三：由直线方程解决参数问题
3．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×(2－a)×2＋×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，四边形的面积最小，故a＝.
[通法在握]
处理直线方程综合应用的2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
[演练冲关]
1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：5
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，
故k的取值范围为.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B(0,1＋2k)．
又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0.
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·金华一中模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C.∪ D.∪
解析：选B　由直线方程可知斜率k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，而－1≤－＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴≤α＜π，故选B.
2．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
解析：选B　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π.
3．(2018·湖州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选B　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，
则有解得a＝－5，b＝－3，
从而可得直线l的斜率为＝－.
4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
解析：选D　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
5．(2018·豫西五校联考)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，
因为y′＝3x2－1≥－1，所以tan θ≥－1，
结合正切函数的图象可知，
θ的取值范围为∪.
答案：∪
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为(　　)
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：选B　因为B(3,1)，C(1,3)，
所以kBC＝＝－1，
故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，
又高线经过点A，所以其直线方程为x－y＋2＝0.
2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：选A　∵直线x－2y－4＝0的斜率为，
∴直线l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象可能是(　　)

解析：选B　当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0，选项B符合．
4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
5．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．1
解析：选B　∵函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．
∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn＞0)．
∴＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当m＝n＝时取等号)，
∴＋的最小值为4.
6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：∵BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
7．若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为________________．
解析：由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得∴M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.
答案：2x＋3y＋12＝0
8．若圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是________．
解析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，
∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，
∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，
∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)．
∴＋＝(a＋3b)
＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
故＋的最小值是.
答案：
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知曲线y＝，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：y′＝＝，
因为ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，所以ex＋＋2≥4，
故y′＝≥－(当且仅当x＝0时取等号)．
所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝.
答案：
2.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．
解：法一：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，
则直线l的方程为＋＝1.
因为l过点P(3,2)，所以＋＝1.
因为1＝＋≥2 ，整理得ab≥24，
所以S△ABO＝ab≥12，
当且仅当＝，即a＝6，b＝4时取等号．
此时直线l的方程是＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，
可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，
则A，B(0,2－3k)，
S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12，
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.