2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图

1．简单几何体

(1)多面体的结构特征

(2)旋转体的结构特征

2．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．

[小题体验]

1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为(　　)

A.　　　　　　　　　 　  B．2

C．3     D．2

解析：选C　在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1­MNB1，故通过计算可得，D1B1＝2，D1M＝B1N＝，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.

2．(教材习题改编)如图，长方体ABCD ­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．

答案：五棱柱　三棱柱

1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．

2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．

3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．

[小题纠偏]

1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)

A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4

B．A1B1＝1, AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3

C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4

D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1

解析：选C　根据棱台是由棱锥截成的，可知＝＝，故A，B不正确，C正确；D项中满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故D不正确．

2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(　　)

解析：选B　俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.

3．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形．

以上结论正确的个数是________．

解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．

答案：1

[题组练透]

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)

A．圆柱　　　　　　　　 　  B．圆锥

C．球体     D．圆柱、圆锥、球体的组合体

解析：选C　截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．

2．给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 　  B．1

C．2     D．3

解析：选B　①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

3．给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．

答案：②③④

[谨记通法]

解决与空间几何体结构特征有关问题的3个技巧

(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；

(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；

(3)通过反例对结构特征进行辨析．

[典例引领]

1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

解析：选A　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.

2．(2018·杭州模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为(　　)

解析：选B　由正视图可看出长为2的侧棱垂直于底面，侧视图为直角三角形，直角边长为2，另一直角边为底边三角形的高.故侧视图可能为B.

[由题悟法]

1．已知几何体，识别三视图的技巧

已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．

2．已知三视图，判断几何体的技巧

(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．

(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．

(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．

[提醒]　对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．

[即时应用]

1．(2018·沈阳教学质量监测)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(　　)

解析：选B　根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.

2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)

解析：选D　由俯视图是圆环可排除A、B、C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.

[典例引领]

(2018·杭州模拟)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．

解析：画出等腰梯形ABCD的实际图形及直观图A′B′C′D′如图所示，因为OE＝＝1，

所以O′E′＝，E′F′＝.

所以直观图A′B′C′D′的面积为

S′＝×(1＋3)×＝.

答案：

[由题悟法]

原图与直观图中的“三变”与“三不变”

(1)“三变”

(2)“三不变”

[即时应用]

如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)

A．正方形　　　　　　 　  B．矩形

C．菱形     D．一般的平行四边形

解析：选C　如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm，CD＝C′D′＝2 cm.

∴OC＝＝＝6 cm，

∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

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1．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是(　　)

解析：选D　几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．

2．下列说法正确的是(　　)

A．棱柱的两个底面是全等的正多边形

B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形

C．{直棱柱}⊆{正棱柱}

D．{正四面体}⊆{正三棱锥}

解析：选D　因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．

3．(2019·杭州四校联考)如图所示的为一个几何体的三视图，则该几何体的直观图是(　　)

解析：选A　对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图中，对角线是虚线，故B不符合题意；对于C，该几何体的正视图中，对角线是从左上到右下的，故C不符合题意；对于D，该几何体的侧视图中，对角线是虚线，故D不符合题意．故选A.

4．(2019·台州质检)如图，网络纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长度为(　　)

A．6　　　　　　　　 　  B．6

C．8     D．9

解析：选D　由三视图还原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，且PB＝＝3，PC＝＝9，则该几何体中最长棱的长度为9.故选D.

5.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的形状为________，面积为________cm2.

解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.

答案：矩形　8

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1．(2018·台州模拟)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为(　　)

A．正方形     B．圆

C．等腰三角形     D．直角梯形

解析：选D　该几何体是一个长方体时，其中一个侧面为正方形，A可能；该几何体是一个横放的圆柱时，B可能；该几何体是横放的三棱柱时，C可能，只有D不可能．

2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中(　　)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AC，最短的是AD

解析：选B　由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB＜AD＜AC.

3．(2018·沈阳教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为(　　)

A．三棱台     B．三棱柱

C．四棱柱     D．四棱锥

解析：选B　根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．

4.(2018·温州第八高中质检)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为(　　)

A．4　　　　　　　　　　 　 B．2

C．2    D.

解析：选B　由题可得，该几何体的侧视图是一个长方形，其底边长是底面正三角形的高，高为2，所以侧视图的面积为S＝2.

5．已知四棱锥P­ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P­ABCD的四个侧面中面积最大的是(　　)

A．3    B．2

C．6    D．8

解析：选C　四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，连接PM，PN，则PM＝3，PN＝，S△PAD＝×4×＝2，

S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3，

S△PBC＝×4×3＝6.

所以四个侧面中面积最大的是6.

6.(2018·台州模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)

解析：选C　取DD1的中点F，连接AF，FC1，则过点A，E，C1的平面即为面AEC1F，所以剩余几何体的侧视图为选项C.

7．(2019·义乌六校联考)图①是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥A1­AB1D1后得到的几何体，将其绕着棱DD1所在的直线逆时针旋转45°，得到如图②所示的几何体，该几何体的正视图为(　　)

解析：选B　由题意可知，该几何体的正视图是长方形，底面对角线DB在正视图中的长为，棱CC1在正视图中为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线，故该几何体的正视图为B.

8．设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

其中真命题的序号是________．

解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．

答案：①④

9．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.

解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.

在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．

∴AB＝＝13(cm)．

答案：13

10．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．

解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．

从图②可知，A′B′＝AB＝2，

O′C′＝OC＝，

C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝.

所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.

答案：

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1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是(　　)

A．8     B．7

C．6     D．5

解析：选C　画出直观图，共六块．

2．(2018·湖南东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是(　　)

A．4     B．8

C．4     D．8

解析：选C　设该三棱锥为P­ABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝4，则由三视图可知△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝4，所以S△ABC＝×4×2＝4，S△PAB＝S△PAC＝×4×4＝8，S△PBC＝×4×＝4，故四个面中面积最大的为S△PBC＝4，选C.

3.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．

(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；

(2)求PA.

解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.

(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6.

由正视图可知AD＝6，

且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，

PA＝＝ ＝6 cm.