2020高考数学（理）新创新大一轮复习通用版讲义：第二章第六节　函数的图象及其应用

第六节　函数的图象及其应用

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

突破点一　函数的图象


1．利用描点法画函数图象的流程

2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换

y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、填空题
1．函数f(x)的图象向左平移1个单位长度再向上平移1个单位，得到y＝log2x的图象，则f(x)＝________.
答案：f(x)＝log2(x－1)－1
2.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________.

解析：由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，
∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
答案：－1
3．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
答案：(0，＋∞)


考法一　作函数的图象　
[例1]　分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.
[解]　(1)y＝图象如图①所示．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②所示．
(3)y＝图象如图③所示．

[方法技巧]　　　　函数图象的画法

考法二　函数图象的识别　
[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)








(2)(2019·郴州一中月考)如图，在△OAB中，A(4,0)，B(2,4)，过点P(a，0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为y＝S(a)，则函数y＝S(a)的大致图象为(　　)


[解析]　(1)法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
则f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
由f′(x)>0知在，上函数f(x)单调递增；由f′(x)2，所以排除C选项．故选D.
(2)由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y＝2(x－a)，0≤a≤4.由两点式可得AB：y＝－2x＋8，联立方程得Q.结合四边形OPQB为梯形，因此其面积y＝S(a)＝×4×4－×(4－a)×(4－a)＝－(4－a)2＋8.故选D.
[答案]　(1)D　(2)D
[方法技巧]
有关函数图象识别问题的解题思路
(1)由解析式确定函数图象
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)由实际情景探究函数图象
关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　　

1.(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

解析：选D　由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B.令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝，故排除C，选D.
2.已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)．若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是(　　)

解析：选C　观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．
3.作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝.
解：(1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x≥0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图所示．
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．
突破点二　函数图象的应用问题
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等．解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解．

考法一　利用函数图象研究函数的性质　
[例1]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案]　C
[方法技巧]
破解此类问题的关键是化简函数的解析式，并能画出函数的草图，通过观察图象，即可得出正确的选项．　
考法二　利用函数图象求解不等式　
[例2]　若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2]　　　　　　　 B.
C．(1，) D．(，2)
[解析]　要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2