2020届高考数学一轮复习：课时作业23《简单的三角恒等变换》(含解析) 练习

课时作业23　简单的三角恒等变换

1．已知270°＜α＜360°，则三角函数式 的化简结果是(　D　)

A．sin   B．－sin

C．cos   D．－cos

解析： ＝＝ ＝，由于135°＜＜180°，

所以cos＜0，所以化简结果为－cos.

2.等于(　C　)

A．－   B．

C．   D．1

解析：原式＝＝

＝＝.

3．(2019·广州模拟)已知f(x)＝sin，若sinα＝，则f＝(　B　)

A．－   B．－

C．   D．

解析：因为sinα＝，所以cosα＝－，

f＝sin＝sin＝sinα＋cosα＝－.

4．(2019·合肥质检)已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈，若f(x1)＜f(x2)，则一定有(　D　)

A．x1＜x2   B．x1＞x2

C．x＜x   D．x＞x

解析：f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝cos4x＋，4x∈[－π，π]，所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)＜f(x2)，可得f(|x1|)＜f(|x2|)，所以|x1|＞|x2|，即x＞x.

5．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　C　)

A．   B．

C．－   D．－

解析：因为sinα＋2cosα＝，

所以sin2α＋4cos2α＋4sinαcosα＝(sin2α＋cos2α)，

整理得3sin2α－3cos2α－8sinαcosα＝0，

则－3cos2α＝4sin2α，所以tan2α＝－.

6．(2019·豫北名校联考)若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于(　B　)

A．   B．－

C．   D．－

解析：f(x)＝5cosx＋12sinx＝13＝

13sin(x＋α)，

其中sinα＝，cosα＝，

由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，

得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，

所以cosθ＝cos＝cos＝－sinα＝－.

7．(2019·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2等于(　C　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：由sin(α＋β)＝，

得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①

由sin(α－β)＝，

得sinαcosβ－cosαsinβ＝，②

由①②可得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝.

∴＝＝＝5.

∴log2＝log25＝4，故选C．

8．(2019·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)＝2sinsin＋sin2－cos2，则f(A)的最大值为.

解析：f(A)＝2cossin＋sin2－cos2＝sinA－cosA＝sin，

因为0＜A＜π，所以－＜A－＜.

所以当A－＝，即A＝时，f(A)有最大值.

9．已知α，β∈，tan(α＋β)＝9tanβ，则tanα的最大值为.

解析：∵α，β∈，∴tanα＞0，tanβ＞0，

∴tanα＝tan(α＋β－β)＝＝＝≤＝(当且仅当＝9tanβ时等号成立)，∴tanα的最大值为.

10．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝－.

解析：依题意有

∴tan(α＋β)＝＝＝1.

又∴tanα＜0且tanβ＜0，

∴－＜α＜0且－＜β＜0，

即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，

得α＋β＝－.

11．(2019·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．

(1)求sin2α－tanα的值；

(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．

解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，

∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.

∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.

(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，

∴g(x)＝cos－2cos2x＝

sin2x－1－cos2x＝2sin－1，

∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.

∴－≤sin≤1，

∴－2≤2sin－1≤1，

故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．

12．(2019·湛江一模)已知函数f(x)＝Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，且f(0)＝1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求tan(2α－2β)的值．

解：(1)∵函数f(x)＝Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，

∴＝＝，∴ω＝2，

又f(0)＝1，∴A＝1，∴A＝2，

∴f(x)＝2cos.

(2)∵α∈，

f＝2cos

＝2cos(2α－π)＝－2cos2α＝－，

∴cos2α＝，sin2α＝＝，

则tan2α＝＝.

∵β∈，

f＝2cos＝2cos2β＝，

∴cos2β＝，sin2β＝＝，

则tan2β＝＝.

∴tan(2α－2β)＝＝＝.

13．(2019·山西临汾模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx，当x＝θ时函数y＝f(x)取得最小值，则＝(　C　)

A．－3   B．3

C．－   D．

解析：f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝θ时函数y＝f(x)取得最小值，

即2θ－＝2kπ－，k∈Z，

那么2θ＝2kπ－，k∈Z，

则＝

＝＝－.故选C．

14．(2019·江西赣中南五校模拟)已知f(x)＝sin＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为(　B　)

A．   B．

C．   D．

解析：∵f(x)＝sin＋cos

＝sin2 019xcos＋cos2 019xsin＋cos2 019xcos＋

sin2 019xsin＝sin2 019x＋cos2 019x＋cos2 019x＋sin2 019x＝sin2 019x＋cos2 019x＝2sin，

∴f(x)的最大值为A＝2；

由题意，得|x1－x2|的最小值为＝，

∴A|x1－x2|的最小值为.故选B．

15．定义运算＝ad－bC．若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝　.

解析：由题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，

又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，

故cos(α－β)＝＝，

而cosα＝，∴sinα＝，

于是sinβ＝sin[α－(α－β)]

＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)

＝×－×＝.

又0＜β＜，故β＝.

16．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sinωxcosωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sinα的值．

解：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，

由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，

所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，

解得ω＝k＋(k∈Z)，

又0＜ω＜1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin.

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)由题意可得g(x)＝2sin，

即g(x)＝2cos，

由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，

又α∈，故＜α＋＜，

所以sin＝，

所以sinα＝sin

＝sin·cos－cos·sin＝×－×＝.