2020届高考数学一轮复习:课时作业72《坐标系》(含解析) 练习
展开课时作业72 坐标系
1.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)求C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解:(1)由ρcos=1得
ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,所以N.
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为,则P点的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
2.已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,直线l的参数方程为(t为参数),射线OM的极坐标方程为θ=.
(1)求圆C和直线l的极坐标方程;
(2)已知射线OM与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解:(1)∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
圆C的直角坐标方程为
x2+y2+2x-2y=0,
∴ρ2+2ρcos θ-2ρsin θ=0,
∴圆C的极坐标方程为
ρ=2sin.
又直线l的参数方程为(t为参数),
消去t后得y=x+1,
∴直线l的极坐标方程为sin θ-cos θ=.
(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,
∴点P的极坐标为,|OQ|==,
∴点Q的极坐标为,
故线段PQ的长为.
3.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.
(1)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程,点R的直角坐标;
(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时点P的直角坐标.
解:(1)由于x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,则曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为+y2=1.
点R的直角坐标为(2,2).
(2)设P(cos θ,sin θ),
根据题意,可令Q(2,sin θ),
则|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,
所以|PQ|+|QR|=4-2sin,
当θ=时,(|PQ|+|QR|)min=2.
所以矩形PQRS周长的最小值为4,且
P.
4.(2019·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;
(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.
解:(1)由曲线C1的参数方程为
(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,
则C1的极坐标方程为
ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+7=0,
由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).
(2)由
得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,
则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,
∴+===.
5.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1,θ0),B,若A,B都在曲线C1上,求+的值.
解:(1)∵C1的参数方程为
∴C1的普通方程为+y2=1.
由题意知曲线C2的极坐标方程为
ρ=2acos θ(a为半径),
将D代入,得2=2a×,∴a=2,
∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2,
∴C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)曲线C1的极坐标方程为
+ρ2sin2θ=1,
即ρ2=.
∴ρ=,
ρ==.
∴+=+=.
6.(2019·山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程是x=4.曲线C的参数方程是(φ为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;
(2)若射线θ=α与曲线C交于点O,A,与直线l交于点B,求的取值范围.
解:(1)由ρcos θ=x,得直线l的极坐标方程为ρcos θ=4.
曲线C的参数方程为(φ为参数),消去参数φ得曲线C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即x2+y2-2x-2y=0,
将x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式得ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,
所以曲线C的极坐标方程为
ρ=2cos θ+2sin θ.
(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则
ρ1=2cos α+2sin α,ρ2=,
所以==
==(sin 2α+cos 2α)+
=sin+,
因为0<α<,所以<2α+<,
所以<sin≤1,
所以<sin+≤.
故的取值范围是.
7.(2019·福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q是曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.
解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),
则|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=,
由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为
ρ=2cos(ρ>0),
所以ρ=cos θ+sin θ,
两边乘ρ得ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
因为ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,
所以x2+y2-x-y=0,
所以C2的直角坐标方程为
2+2=1(x2+y2≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题设及(1)知|OA|=2,
ρB=2cos,
于是△AOB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=2cos·=
2
=2≤,
当α=0时,S取得最大值.
所以△AOB面积的最大值为.
8.(2019·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=5.
(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;
(2)在圆上找一点A,使它到直线l的距离最小,并求点A的极坐标.
解:(1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0,
因为ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,
所以圆C的极坐标方程为ρ2=2ρsin θ,
即ρ=2sin θ.
ρ(cos θ+sin θ)=5即ρcos θ+ρsin θ=5,
因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,
所以直线l的直角坐标方程为y=-x+5.
(2)曲线C:x2+(y-1)2=1是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆.
设圆上点A(x0,y0)到直线l:y=-x+5的距离最短,所以圆C在点A处的切线与直线l:y=-x+5平行.
即直线CA与l的斜率的乘积等于-1,即×(-)=-1.①
因为点A在圆上,所以x+(y0-1)2=1,②
联立①②可解得x0=-,y0=或x0=,y0=.
所以点A的坐标为或
.
又由于圆上点A到直线l:y=-x+5的距离最小,
所以点A的坐标为,
点A的极径为 =,极角θ满足tan θ=且θ为第一象限角,则可取θ=.
所以点A的极坐标为.