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2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第12章 模拟试卷（二） (含解析)
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模拟试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z满足(3－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 由题意得，z＝＝＝＋，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
2.若集合A＝{x|3－2x<1}，B＝{x|3x－2x2≥0}，则A∩B等于( )
A．(1,2] B. C. D．(1，＋∞)
答案 C
解析 因为A＝{x|x>1}，B＝，
所以A∩B＝.故选C.
3．命题“∃x0∈N，使得ln x0(x0＋1)<1”的否定是( )
A．∀x∈N，都有ln x0(x0＋1)<1
B．∀x∉N，都有ln x(x＋1)≥1
C．∀x0∈N，都有ln x0(x0＋1)≥1
D．∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1
答案 D
解析 由于特称命题的否定为全称命题，所以“∃x0∈N，使得ln x0(x0＋1)<1”的否定为“∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1”．故选D.
4．已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案 B
解析 a5＝±＝±＝±4，
∵q2＝>0，∴a5＝4，q2＝2，
则＝q4＝4.
5．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：
232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100
231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率为P＝＝.故选A.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3sin A＝2sin C，b＝5，cos C＝－，则a等于( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 因为3sin A＝2sin C，
所以由正弦定理可得3a＝2c，
设a＝2k(k>0)，则c＝3k.
由余弦定理得cos C＝＝＝－，
解得k＝3，从而a＝6.故选C.
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 A
解析 由f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可知A＝1，
根据＝·＝－，可得ω＝2，
再根据五点作图法，可得2×＋φ＝π，解得φ＝，
所以f(x)＝sin＝sin 2，
因此f(x) 向右平移个单位长度，可得g(x)＝sin 2x的图象．
8．某单位为了解用电量(度)与气温(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x(℃)
18
13
10
－1
用电量y(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2 ，预测当温度为5 ℃时，用电量的度数约为( )
A．64 B．66 C．68 D．70
答案 D
解析 由已知＝10，＝40，将其代入线性回归方程得40＝－2×10＋⇒ ＝60，故线性回归方程为＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝70，故选D.
9．已知抛物线C1：x2＝2py(y>0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 B
解析 因为|PF1|＝，所以＋＝，解得p＝.C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1,0)，
所以直线F1F2的斜率为＝－.故选B.
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 取C1D1，B1C1的中点为P，Q.
易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，
所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP.
又BD和DP为平面DBQP的两条相交直线，所以平面DBQP∥平面AMN，即DBQP的面积即为所求．
由PQ∥DB，PQ＝BD＝，所以四边形DBQP为梯形，高h＝＝.
所以面积为(PQ＋BD)h＝.故选B.
11．体积为的三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝，则球O的表面积的最小值为( )
A．8π B．9π C．12π D．16π
答案 C
解析 把三棱锥放在长方体中，由已知条件容易得到S△ABC＝AB×BC＝2，所以AC2＝AB2＋BC2 ≥2×AB×BC＝8，因此PC2＝PA2＋AC2≥12，注意PC＝2R，所以球O的表面积的最小值是12π.
故选C.
12．若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2ln x(a>0)在区间内有极大值，则a的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝ (a>0，x>0)，若f(x)在区间内有极大值，
即f′(x)＝0在内有解．
则f′(x)在区间内先大于0，再小于0，
则即
解得1
13．某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为______．
答案 60
解析 ∵学校共有教师300人，其中中级教师有120人，
∴高级教师与初级教师的人数为300－120＝180，
∵抽取的样本中有中级教师72人，
∴设样本人数为n，则＝，解得n＝180，
则抽取的高级教师与初级教师的人数为180－72＝108，
∵高级教师与初级教师的人数比为5∶4.
∴该样本中的高级教师人数为×108＝60.
14．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．
答案
解析 不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，
线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．
设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0
∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)
＝2a2－2a＋2＝22＋，
∵0
15．已知函数f(x)＝aln(x＋)＋＋2，f(－3)＝7，则f(3)的值为________．
答案 －3
解析 设g(x)＝aln(x＋)＋，x≠0，
则g(－x)＝aln(－x＋)－＝aln－＝－＝－g(x)，
∴函数y＝g(x)为奇函数．
∵f(－3)＝g(－3)＋2＝7，
∴g(－3)＝－g(3)＝5，
∴g(3)＝－5，
∴f(3)＝g(3)＋2＝－5＋2＝－3.
16．(2019·南充考试)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，直线l：y＝x＋m与抛物线交于不同的两点A，B.若0≤m<1，则△FAB的面积的最大值是_________．
答案
解析 由于抛物线的焦点为(1,0)，故p＝2，抛物线方程为y2＝4x，联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式Δ＝(2m－4)2－4m2>0，解得m<1.由弦长公式得|AB|＝·＝4·.焦点(1,0)到直线x－y＋m＝0的距离为d＝.故△FAB的面积为·4··＝2·|1＋m|，由于0≤m<1，故上式可化为2＝2.令f(m)＝－m3－m2＋m＋1(0≤m<1)，f′(m)＝－3m2－2m＋1＝－(3m－1)(m＋1)，故当m∈时，函数f(m)单调递增，当m∈时，函数f(m)单调递减，
故当m＝时，f(m)取得最大值，
此时2＝.
三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)如图，AD是△ABC的外平分线，且BC＝CD.
(1)求；
(2)若AD＝4，CD＝5，求AB的长．
解 (1)由题设知S△ABD＝2S△ACD，
sin∠BAD＝sin(π－∠BAD)＝sin∠CAD，
所以＝＝
＝＝.
(2)在△ABD中，由余弦定理可得
AB2＝42＋102－2×4×10×cos∠ADB，
在△ACD中，AC2＝42＋52－2×4×5×cos∠ADB.
又AB2＝4AC2，所以cos∠ADB＝，所以AB＝2.
18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S1＝1，且对任意正整数n，都有＋n＝Sn＋1－Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由＋n＝Sn＋1－Sn＝an＋1，
可得Sn＋1＋n(n＋1)＝(n＋1)an＋1，
当n≥2时，Sn＋n(n－1)＝nan，两式相减，
得an＋1＋2n＝(n＋1)an＋1－nan，
整理得an＋1－an＝2，
在＋n＝an＋1中，令n＝1，得＋1＝a2，即1＋a2＋2＝2a2，解得a2＝3，所以a2－a1＝2，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①
则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②，得Tn＝＋＋＋＋…＋－，
整理得Tn＝－－＝－，
所以Tn＝3－.
19．(12分)(2019·河北省衡水中学调研)在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，BC＝CD＝PD＝2，AB＝4，PA⊥BD，平面PBC⊥平面PCD，M，N分别是AD，PB的中点．
(1)证明：PD⊥平面ABCD；
(2)求MN与平面PDA所成角的正弦值．
(1)证明 取PC的中点Q，
则由CD＝PD可得DQ⊥PC，
因为平面PBC⊥平面PCD，平面PBC∩平面PCD＝PC，DQ⊂平面PCD，所以DQ⊥平面PBC，
故DQ⊥BC，
而CD⊥BC，CD∩DQ＝D，所以BC⊥平面PDC，可得到BC⊥PD.
连接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD＝2，AD＝2，而AB＝4，
则AD2＋BD2＝AB2，即BD⊥AD，
又BD⊥PA，PA∩AD＝A，可得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.
又BC⊥PD，BC∩BD＝B，所以PD⊥平面ABCD.
(2)解 以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2，0)，P(0,0,2)，
M(，0,0)，N(0，，1)．
平面PAD的法向量为＝(0,2，0)，＝(－，，1)，故所求线面角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝.
20．(12分)某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：
每月完成合格产品的件数(单位：百件)
[26,28)
[28,30)
[30,32)
[32,34)
[34,36]
频 数
10
45
35
6
4
男员工人数
7
23
18
1
1
(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3 200件的员工被评为“生产能手”．由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
女员工
合计
(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2 600件以内的，计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资(实得计件工资＝定额计件工资＋超定额计件工资)不少于3 100元的人数为Z，求Z的分布列和均值．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解 (1)
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
48
2
50
女员工
42
8
50
合计
90
10
100
因为K2的观测值k＝
＝4>3.841，
所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．
(2)当员工每月完成合格产品的件数为3 000时，
得计件工资为2 600×1＋200×1.2＋200×1.3＝3 100(元)，
由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p1＝，
女员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p2＝，
设2名女员工中实得计件工资不少于3 100元的人数为X,1名男员工中实得计件工资在3 100元以及以上的人数为Y，则X～B，Y～B，
Z的所有可能取值为0,1,2,3，
P(Z＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＝2＝，
P(Z＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)
＝C·＋2＝，
P(Z＝2)＝P(X＝2，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)
＝C2＋C·＝，
P(Z＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＝2×＝，
所以Z的分布列为
Z
0
1
2
3
P
故E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
21．(12分)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
解 (1)因为点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴，所以c＝2，
由得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－2)，
令x＝8，得M的坐标为(8,6k).
由得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝. ①
设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，
所以k1＋k2＝＋＝＋－3＝2k－3×. ②
把①代入②，得
k1＋k2＝2k－3×＝2k－1.
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，
故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．
22．(12分)已知f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥kx－2(k＋1)(k∈Z)对任意x>2都成立，求整数k的最大值．
解 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，
令f′(x)＝ln x＋1＝0⇒x＝，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
f(x)在x＝处取唯一的极小值，也是最小值f ＝－.
(2)f(x)≥kx－2(k＋1)⇔k≤(x>2)，
记g(x)＝，则g′(x)＝，
考查函数h(x)＝x－2ln x－4，h′(x)＝1－>0(x>2)，h(x)在定义域上单调递增，
显然有h(8)＝4－2ln 8<0，h(10)＝6－2ln 10>0，所以存在唯一的x0∈(8,10)，使得h(x0)＝x0－2ln x0－4＝0.
在(2，x0)上，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；在(x0，＋∞)上，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以g(x)在x0处取唯一的极小值也是最小值g(x0)＝，注意此时h(x0)＝0⇒ln x0＝，
所以g(x0)＝＝(x0－2)∈(3,4)，
所以整数k的最大值可以取3.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z满足(3－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 由题意得，z＝＝＝＋，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
2.若集合A＝{x|3－2x<1}，B＝{x|3x－2x2≥0}，则A∩B等于( )
A．(1,2] B. C. D．(1，＋∞)
答案 C
解析 因为A＝{x|x>1}，B＝，
所以A∩B＝.故选C.
3．命题“∃x0∈N，使得ln x0(x0＋1)<1”的否定是( )
A．∀x∈N，都有ln x0(x0＋1)<1
B．∀x∉N，都有ln x(x＋1)≥1
C．∀x0∈N，都有ln x0(x0＋1)≥1
D．∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1
答案 D
解析 由于特称命题的否定为全称命题，所以“∃x0∈N，使得ln x0(x0＋1)<1”的否定为“∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1”．故选D.
4．已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案 B
解析 a5＝±＝±＝±4，
∵q2＝>0，∴a5＝4，q2＝2，
则＝q4＝4.
5．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：
232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100
231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率为P＝＝.故选A.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3sin A＝2sin C，b＝5，cos C＝－，则a等于( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 因为3sin A＝2sin C，
所以由正弦定理可得3a＝2c，
设a＝2k(k>0)，则c＝3k.
由余弦定理得cos C＝＝＝－，
解得k＝3，从而a＝6.故选C.
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 A
解析 由f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可知A＝1，
根据＝·＝－，可得ω＝2，
再根据五点作图法，可得2×＋φ＝π，解得φ＝，
所以f(x)＝sin＝sin 2，
因此f(x) 向右平移个单位长度，可得g(x)＝sin 2x的图象．
8．某单位为了解用电量(度)与气温(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x(℃)
18
13
10
－1
用电量y(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2 ，预测当温度为5 ℃时，用电量的度数约为( )
A．64 B．66 C．68 D．70
答案 D
解析 由已知＝10，＝40，将其代入线性回归方程得40＝－2×10＋⇒ ＝60，故线性回归方程为＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝70，故选D.
9．已知抛物线C1：x2＝2py(y>0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 B
解析 因为|PF1|＝，所以＋＝，解得p＝.C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1,0)，
所以直线F1F2的斜率为＝－.故选B.
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 取C1D1，B1C1的中点为P，Q.
易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，
所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP.
又BD和DP为平面DBQP的两条相交直线，所以平面DBQP∥平面AMN，即DBQP的面积即为所求．
由PQ∥DB，PQ＝BD＝，所以四边形DBQP为梯形，高h＝＝.
所以面积为(PQ＋BD)h＝.故选B.
11．体积为的三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝，则球O的表面积的最小值为( )
A．8π B．9π C．12π D．16π
答案 C
解析 把三棱锥放在长方体中，由已知条件容易得到S△ABC＝AB×BC＝2，所以AC2＝AB2＋BC2 ≥2×AB×BC＝8，因此PC2＝PA2＋AC2≥12，注意PC＝2R，所以球O的表面积的最小值是12π.
故选C.
12．若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2ln x(a>0)在区间内有极大值，则a的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝ (a>0，x>0)，若f(x)在区间内有极大值，
即f′(x)＝0在内有解．
则f′(x)在区间内先大于0，再小于0，
则即
解得1
13．某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为______．
答案 60
解析 ∵学校共有教师300人，其中中级教师有120人，
∴高级教师与初级教师的人数为300－120＝180，
∵抽取的样本中有中级教师72人，
∴设样本人数为n，则＝，解得n＝180，
则抽取的高级教师与初级教师的人数为180－72＝108，
∵高级教师与初级教师的人数比为5∶4.
∴该样本中的高级教师人数为×108＝60.
14．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．
答案
解析 不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，
线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．
设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0
∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)
＝2a2－2a＋2＝22＋，
∵0
15．已知函数f(x)＝aln(x＋)＋＋2，f(－3)＝7，则f(3)的值为________．
答案 －3
解析 设g(x)＝aln(x＋)＋，x≠0，
则g(－x)＝aln(－x＋)－＝aln－＝－＝－g(x)，
∴函数y＝g(x)为奇函数．
∵f(－3)＝g(－3)＋2＝7，
∴g(－3)＝－g(3)＝5，
∴g(3)＝－5，
∴f(3)＝g(3)＋2＝－5＋2＝－3.
16．(2019·南充考试)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，直线l：y＝x＋m与抛物线交于不同的两点A，B.若0≤m<1，则△FAB的面积的最大值是_________．
答案
解析 由于抛物线的焦点为(1,0)，故p＝2，抛物线方程为y2＝4x，联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式Δ＝(2m－4)2－4m2>0，解得m<1.由弦长公式得|AB|＝·＝4·.焦点(1,0)到直线x－y＋m＝0的距离为d＝.故△FAB的面积为·4··＝2·|1＋m|，由于0≤m<1，故上式可化为2＝2.令f(m)＝－m3－m2＋m＋1(0≤m<1)，f′(m)＝－3m2－2m＋1＝－(3m－1)(m＋1)，故当m∈时，函数f(m)单调递增，当m∈时，函数f(m)单调递减，
故当m＝时，f(m)取得最大值，
此时2＝.
三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)如图，AD是△ABC的外平分线，且BC＝CD.
(1)求；
(2)若AD＝4，CD＝5，求AB的长．
解 (1)由题设知S△ABD＝2S△ACD，
sin∠BAD＝sin(π－∠BAD)＝sin∠CAD，
所以＝＝
＝＝.
(2)在△ABD中，由余弦定理可得
AB2＝42＋102－2×4×10×cos∠ADB，
在△ACD中，AC2＝42＋52－2×4×5×cos∠ADB.
又AB2＝4AC2，所以cos∠ADB＝，所以AB＝2.
18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S1＝1，且对任意正整数n，都有＋n＝Sn＋1－Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由＋n＝Sn＋1－Sn＝an＋1，
可得Sn＋1＋n(n＋1)＝(n＋1)an＋1，
当n≥2时，Sn＋n(n－1)＝nan，两式相减，
得an＋1＋2n＝(n＋1)an＋1－nan，
整理得an＋1－an＝2，
在＋n＝an＋1中，令n＝1，得＋1＝a2，即1＋a2＋2＝2a2，解得a2＝3，所以a2－a1＝2，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①
则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②，得Tn＝＋＋＋＋…＋－，
整理得Tn＝－－＝－，
所以Tn＝3－.
19．(12分)(2019·河北省衡水中学调研)在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，BC＝CD＝PD＝2，AB＝4，PA⊥BD，平面PBC⊥平面PCD，M，N分别是AD，PB的中点．
(1)证明：PD⊥平面ABCD；
(2)求MN与平面PDA所成角的正弦值．
(1)证明 取PC的中点Q，
则由CD＝PD可得DQ⊥PC，
因为平面PBC⊥平面PCD，平面PBC∩平面PCD＝PC，DQ⊂平面PCD，所以DQ⊥平面PBC，
故DQ⊥BC，
而CD⊥BC，CD∩DQ＝D，所以BC⊥平面PDC，可得到BC⊥PD.
连接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD＝2，AD＝2，而AB＝4，
则AD2＋BD2＝AB2，即BD⊥AD，
又BD⊥PA，PA∩AD＝A，可得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.
又BC⊥PD，BC∩BD＝B，所以PD⊥平面ABCD.
(2)解 以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2，0)，P(0,0,2)，
M(，0,0)，N(0，，1)．
平面PAD的法向量为＝(0,2，0)，＝(－，，1)，故所求线面角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝.
20．(12分)某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：
每月完成合格产品的件数(单位：百件)
[26,28)
[28,30)
[30,32)
[32,34)
[34,36]
频 数
10
45
35
6
4
男员工人数
7
23
18
1
1
(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3 200件的员工被评为“生产能手”．由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
女员工
合计
(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2 600件以内的，计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资(实得计件工资＝定额计件工资＋超定额计件工资)不少于3 100元的人数为Z，求Z的分布列和均值．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解 (1)
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
48
2
50
女员工
42
8
50
合计
90
10
100
因为K2的观测值k＝
＝4>3.841，
所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．
(2)当员工每月完成合格产品的件数为3 000时，
得计件工资为2 600×1＋200×1.2＋200×1.3＝3 100(元)，
由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p1＝，
女员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p2＝，
设2名女员工中实得计件工资不少于3 100元的人数为X,1名男员工中实得计件工资在3 100元以及以上的人数为Y，则X～B，Y～B，
Z的所有可能取值为0,1,2,3，
P(Z＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＝2＝，
P(Z＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)
＝C·＋2＝，
P(Z＝2)＝P(X＝2，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)
＝C2＋C·＝，
P(Z＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＝2×＝，
所以Z的分布列为
Z
0
1
2
3
P
故E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
21．(12分)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
解 (1)因为点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴，所以c＝2，
由得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－2)，
令x＝8，得M的坐标为(8,6k).
由得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝. ①
设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，
所以k1＋k2＝＋＝＋－3＝2k－3×. ②
把①代入②，得
k1＋k2＝2k－3×＝2k－1.
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，
故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．
22．(12分)已知f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥kx－2(k＋1)(k∈Z)对任意x>2都成立，求整数k的最大值．
解 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，
令f′(x)＝ln x＋1＝0⇒x＝，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
f(x)在x＝处取唯一的极小值，也是最小值f ＝－.
(2)f(x)≥kx－2(k＋1)⇔k≤(x>2)，
记g(x)＝，则g′(x)＝，
考查函数h(x)＝x－2ln x－4，h′(x)＝1－>0(x>2)，h(x)在定义域上单调递增，
显然有h(8)＝4－2ln 8<0，h(10)＝6－2ln 10>0，所以存在唯一的x0∈(8,10)，使得h(x0)＝x0－2ln x0－4＝0.
在(2，x0)上，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；在(x0，＋∞)上，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以g(x)在x0处取唯一的极小值也是最小值g(x0)＝，注意此时h(x0)＝0⇒ln x0＝，
所以g(x0)＝＝(x0－2)∈(3,4)，
所以整数k的最大值可以取3.
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