2020全国新高考培优高考仿真模拟（二）文科数学（解析版） 试卷

2020高考仿真模拟(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2019等于(　　)
A．i B．1
C．－i D．－1
答案　D
解析　由于i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，且in(n∈N*)的周期为4,2019＝4×504＋3，所以原式＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.故选D.
2．集合A＝{y|y＝2cos2x＋1}，B＝{x|log2(x＋2)＜2}，则A∩B＝(　　)
A．(－2,3] B．(0,2]
C．[1,2) D．(2,3]
答案　C
解析　因为A＝{y|y＝2cos2x＋1}＝{y|y＝cos2x＋2}＝[1,3]，B＝{x|log2(x＋2)＜2}＝{x|0＜x＋2＜4}＝(－2，2)，所以A∩B＝[1,2)，故选C.
3．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．m＞ B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
答案　C
解析　若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，推不出m>，即推不出不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.
4．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄，白}，{黄，蓝}，{黄，红}，{白，蓝}，{白，红}，{蓝，红}，共6种，这6种基本事件发生的可能性是相等的．其中包含白色的有3种，所以选中白色的概率为，故选B.
5．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为(　　)

A．五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
答案　B
解析　设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25，∴《周髀算经》中所记录的小暑的晷长是25寸，即二尺五寸．故选B.
6．函数f(x)＝cosx的图象的大致形状是(　　)

答案　B
解析　∵f(x)＝cosx，∴f(－x)＝cos(－x)＝－cosx＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，C；又当x∈时，ex＞e0＝1，－1＜0，cosx＞0，∴f(x)＜0，排除D，故选B.
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则Aω的可能取值为(　　)

A. B．π
C. D．2π
答案　B
解析　∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝Acosωx·e－|x|，∵f(0)＝2，∴A＝2，∵f(1)＝f(3)＝0，
∴cosω·＝cos3ω·＝0，∴cosω＝cos3ω＝0，取ω＝，则Aω＝π.故选B.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(　　)

A．72 B．48 C．24 D．16
答案　C

9．已知等边△ABC的边长为2，点E，F分别在边AB，AC上，且＝λ，＝μ，若·＝，·＝－1，则λ＋μ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵等边三角形ABC的边长为2，∴·＝·＝·＝2，又＝λ，＝μ，∴＝＋＝＋(1－λ)，＝＋＝(1－μ)－，∴·＝(1－λ)··(1－μ)＝(1－μ)(1－λ)·＝2(1－μ)(1－λ)＝，·＝[＋(1－λ)]·[(1－μ)－]＝－4＋2(1－μ)(1－λ)＋2(1－λ)＋2(1－μ)＝－1，∴2(1－λ)＋2(1－μ)＝3－＝，∴λ＋μ＝，故选C.

10．实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，目标函数z＝mx＋y的最大值等于5，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．－ C．2 D．5
答案　B
解析　实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(－1,0)，B(0,1)，由得

∴C(－4,3)．目标函数z＝mx＋y，∴y＝－mx＋z，当m>时，直线过点B时，z取得最大值，此时z＝1，与z取得最大值5矛盾，舍去；当0 ∴－4m＋3＝5，∴m＝－成立．故选B.
11．若x，y，z∈R＋，且3x＝4y＝12z，∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　C
解析　设3x＝4y＝12z＝t(t>1)，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，∴＝
＝＋＝log312＋log412＝2＋log34＋log43.∵
12＝2，∴2 12．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，若方程f(－x)＋f(x)＝0有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，e) B．(e，＋∞)
C．(0,2e) D．(2e，＋∞)
答案　D
解析　因为函数F(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数，F(0)≠0，所以零点成对出现，依题意，方程f(－x)＋f(x)＝0有两个不同的正根，又当x>0时，f(－x)＝ex－mx＋，所以方程可以化为ex－mx＋＋xex－ex＝0，即xex＝m，记g(x)＝xex(x>0)，则g′(x)＝ex(x＋1)>0，设直线y＝m与g(x)图象相切时的切点为(t，tet)，则切线方程为y－tet＝et(t＋1)(x－t)，过点，所以－tet＝et(t＋1)⇒t＝1或－(舍去)，所以切线的斜率为2e，由图象可以得m>2e.故选D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数f(x)＝的定义域为________．
答案　(0,1)∪(1，e]
解析　依题意得得即函数的定义域为(0,1)∪(1，e]．
14．已知函数f(x)＝在区间[－1，m]上的最大值是1，则m
的取值范围是________．
答案　(－1,1]
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，可知当－1
15．在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD＝30°，BC＝2，则△ABC的面积为________．
答案　2
解析　因为D是BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD，即AB·ACsin120°＝2×AB·AD，所以AD＝AC，于是在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，即()2＝AC2＋AC2－2AC·AC·，解得AC＝4，所以AD＝，于是S△ABC＝2S△ADC＝2×××4×＝2.
16．已知三棱锥P－ABC，△ABC为等边三角形，△PAC为直角三角形，∠PAC＝90°，∠PCA＝45°，平面PAC⊥平面ABC，若AB＝3，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________．
答案　21π
解析　由∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC，可知PA⊥平面ABC，球心在经过△ABC的中心且垂直面ABC的垂线上，也在线段PA的中垂面上，故二者交点即球心，因为∠PCA＝45°，所以PA＝3，所以三棱锥P－ABC 外接球的半径R满足R2＝2＋()2＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝21π.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)＋＋＋…＋＝n2＋n，①
∴当n≥2时，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1，②
①－②，得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)．
当n＝1时，＝1＋1，a1＝4也适合，∴an＝n·2n＋1.
(2)由(1)得，bn＝＝n(－2)n，
∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n，③
－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n×(－2)n＋1，④
③－④得，3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n－n×(－2)n＋1＝－n×(－2)n＋1，
∴Sn＝－.
18．(本小题满分12分)新个税法于2019年1月1日进行实施．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b.

(1)求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)
(2)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．
解　(1)依题意，(a＋0.008＋0.035＋0.027＋b)×10＝1，所以a＋b＝0.03.
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006.
因为0.08＋0.24<0.5,0.08＋0.24＋0.35>0.5，所以中位数在第三组，
所以中位数为70＋≈75.14.
(2)依题意，知分数在[50,60)的员工抽取了2人，记为a，b，分数在[60,70)的员工抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人，所有的情况为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，这28种情况发生的可能性是相等的．
其中满足条件的为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种，
设“至少有1人的分数在[50,60)”的事件为A，则P(A)＝.
19．(本小题满分12分)如图所示，三棱锥P－ABC放置在以AC为直径的半圆面O上，O为圆心，B为圆弧上的一点，D为线段PC上的一点，且AB＝BC＝PA＝3，PB＝3，PA⊥BC.

(1)求证：平面BOD⊥平面PAC；
(2)当＝2时，求三棱锥C－BOD的体积．
解　(1)证明：由AB＝PA＝3，PB＝3，
∴PA2＋AB2＝PB2，
∴PA⊥AB，又PA⊥BC且AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABC.
∵BO⊂平面ABC，
∴PA⊥BO，由BA＝BC，O为圆心，AC为直径，所以BO⊥AC.
因AC∩PA＝A，故BO⊥平面PAC，
又BO⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面PAC.
(2)由＝2，知D为PC的中点，
而O为圆心，AC为直径，所以PA∥DO，所以DO⊥平面ABC，
因为PA＝3，所以DO＝，
由题意知∠ABC＝90°，所以S△ABC＝×3×3＝，
由等体积法知V三棱锥C－BOD＝V三棱锥D－BOC＝×S△BOC·DO＝×××＝.
故三棱锥C－BOD的体积为.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x－x2＋a(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤0，求a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝－2x＝，
当a≤0时，f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝0得x＝(负根舍去)．
令f′(x)>0得0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)当a＝0时，f(x)＝－x2<0，符合题意．
当a>0时，f(x)max＝f
＝aln －＋＝aln ≤0，
∵a>0，∴ln ≤0，∴0< ≤1，∴0 当a<0时，f(x)＝aln x－x2＋a在(0，＋∞)上单调递减，
且y＝aln x与y＝x2－a的图象在(0，＋∞)上只有一个交点，设此交点为(x0，y0)，
则当x∈(0，x0)时，f(x)>0，故当a<0时，不满足f(x)≤0.
综上，a的取值范围为[0,2]．

21．(本小题满分12分)如图，已知直线l：y＝kx＋1(k>0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.

(1)求k·k1的值；
(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解　(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x＋1对称的点为P0(x0，y0)，直线l与直线l1的交点为(0,1)，
∴l：y＝kx＋1，l1：y＝k1x＋1，k＝，k1＝，
由＝＋1，得y＋y0＝x＋x0＋2，　①
由＝－1，得y－y0＝x0－x, ②
由①②得
kk1＝
＝＝1.
(2)由得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，∴xM＝，
∴yM＝.
同理可得xN＝＝，yN＝＝.
kMN＝＝＝＝－，
直线MN：y－yM＝kMN(x－xM)，
即y－＝－，
即y＝－x－＋＝－x－.
∴当k变化时，直线MN过定点.
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ(1＋cos2θ)＝8sinθ.
(1)求曲线C的普通方程；
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与y轴交于点F，与曲线C的交点为A，B，当|FA|·|FB|取最小值时，求直线l的直角坐标方程．
解　(1)由题意得ρ(1＋cos2θ)＝8sinθ，
得2ρcos2θ＝8sinθ，得ρ2cos2θ＝4ρsinθ，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴x2＝4y，即曲线C的普通方程为x2＝4y.
(2)由题意可知，直线l与y轴交于点F(0,1)，即为抛物线C的焦点，
令|FA|＝|t1|，|FB|＝|t2|，
将直线l的参数方程
代入C的普通方程x2＝4y中，
整理得t2cos2α－4tsinα－4＝0，
由题意得cosα≠0，根据根与系数的关系得，
t1＋t2＝，t1t2＝，
∴|FA||FB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝≥4(当且仅当cos2α＝1时，等号成立)，
∴当|FA|·|FB|取得最小值时，直线l的直角坐标方程为y＝1.
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|.
(1)当m＝5时，求不等式f(x)>2的解集；
(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
解　(1)当m＝5时，f(x)＝
由f(x)>2得不等式的解集为.
(2)由二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
知函数在x＝－1处取得最小值2，
因为f(x)＝在x＝－1处取得最大值m－2，
所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，只需m－2≥2，即m≥4.