2020届高考数学一轮复习课时训练：第14章 选修部分 71(含解析)

【课时训练】第71节　绝对值不等式

解答题

1.(2018浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=|x＋m|－|5－x|(m∈R).

(1)当m=3时，求不等式f(x)>6的解集；

(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围.

【解】(1)当m=3时，f(x)>6，

即|x＋3|－|5－x|>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.

解得x≥5；

或解得4<x<5；

或解集是∅.

故不等式f(x)>6的解集为{x|x>4}.

(2)f(x)=|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|=|m＋5|，由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5，故m的取值范围为[－15,5].

2.(2018郑州一模)设函数f(x)=|x＋2|－|x－1|.

(1)求不等式f(x)>1的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围.

【解】(1)函数f(x)可化为f(x)=

当x≤－2时，f(x)=－3<0，不合题意；

当－2<x<1时，令f(x)=2x＋1>1，得x>0，即0<x<1；

当x≥1时，f(x)=3>1，即x≥1.

综上，不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞).

(2)关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于(f(x)＋4)max≥|1－2m|，　

由(1)可知f(x)max=3(也可由|f(x)|=||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|=3，得f(x)max=3)，

即|1－2m|≤7，解得－3≤m≤4.

故实数m的取值范围为[－3,4].

3.(2018长春质检)已知函数f(x)=|x－2|－|x＋1|.

(1)解不等式f(x)>1；

(2)当x>0时，函数g(x)=(a>0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围.

【解】(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，解集是∅；

当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；

当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1.

综上，原不等式的解集是{x|x<0}.

(2)因为g(x)=ax＋－1≥2－1，

当且仅当x=时等号成立，所以g(x)min=2－1，

当x>0时，f(x)=

所以f(x)∈[－3,1)，

所以2－1≥1，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞).

4.(2018河北唐山质检)设函数f(x)=|kx－1|(k∈R).

(1)若不等式f(x)≤2的解集为，求k的值；

(2)若f(1)＋f(2)<5，求k的取值范围.

【解】(1)由|kx－1|≤2，得－2≤kx－1≤2，

即－1≤kx≤3，所以－≤x≤1，

由已知，得=1，所以k=3.

(2)由已知得|k－1|＋|2k－1|<5.当k≤时，－(k－1)－(2k－1)<5，得k>－1，此时－1<k≤；当<k≤1时，－(k－1)＋(2k－1)<5，得k<5，此时<k≤1；当k>1时，(k－1)＋(2k－1)<5，得k<，此时1<k<.综上，k的取值范围是.

5.(2018江西六校联考)已知函数f(x)=|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)=|x－1|＋2.

(1)解不等式：|g(x)|<5；

(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围.

【解】(1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，所以－7<|x－1|<3，解得－2<x<4，所以原不等式的解集是{x|－2<x<4}.

(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，

所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，

又f(x)=|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|=|a＋3|，

g(x)=|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞).

6.(2018威海模拟)设函数f(x)=|2x－1|－|x＋4|.

(1)解不等式：f(x)>0；

(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围.

【解】(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，

当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，

即不等式组的解集是{x|x≤－4}.

当－4<x<时，不等式化为1－2x－x－4>0，解得x<－1，

即不等式组的解集是{x|－4<x<－1}.

当x≥时，不等式化为2x－1－x－4>0，解得x>5，

即不等式组的解集是{x|x>5}.

综上，原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}.

(2)∵f(x)＋3|x＋4|=|2x－1|＋2|x＋4|=|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|=9.

∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，

故a的取值范围是[－8,10].