2020届高考数学一轮复习课时训练：第5章 平面向量 23(含解析)

【课时训练】第23节　平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1.(2018山东德州模拟)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋=0，则向量=(　　)

A. －　　　 B.－＋

C.2－　  D.－＋2

答案为：C

解析：因为=－，=－，所以2＋=2(－)＋(－)=－2＋=0，所以=2－.

2.(2018广东清远清城期末)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c=(　　)

A.a　　 B.b　　

C.c　 D.0

答案为：D

解析：依题意，设a＋b=mc，b＋c=na，则有(a＋b)－(b＋c)=mc－na，即a－c=mc－na.又a与c不共线，于是有m=－1，n=－1，即a＋b=－c，所以a＋b＋c=0.

3.(2018上海崇明一模)设点M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋=0，点D是AC的中点，则的值为(　　)

A.　　 B.　　　

C.1 D.2

答案为：A

解析：∵D是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，

∴==(＋)，∴＋=2.∵＋＋=0，∴=－(＋)=－3，∴=3，∴==.故选A.

4.(2018成都五校联考)在△ABC中，=3，若=λ1＋λ2，则λ1λ2的值为(　　)

A.　　 B.　　

C.　　　　 D.

答案为：B

解析：由题意得，=＋=＋=＋(－)=＋，∴λ1=，λ2=，∴λ1λ2=.

5.(2018山西运城模拟)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且=2， =2，=2，则＋＋与 (　　)

A.反向平行　 B.同向平行

C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

答案为：A

解析：由题意得=＋=＋，=＋=＋，=＋=＋，因此＋＋=＋(＋－)=＋=－，故＋＋与反向平行.

6.(2018湖南永州模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋=0，则△ABC的内角A=(　　)

A.30°　　　 B.45°　　　　

C.60° D.90°

答案为：A

解析：由＋＋=0，得＋=，由O为△ABC外接圆的圆心，可得||=||=||.设OC与AB交于点D，如图，由＋=可知D为AB的中点，所以=2，D为OC的中点.又由||=||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO=60°，故∠BAC=30°.

7.(2018广西南宁摸底)已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且=x，=y，则的值为(　　)

A.3　 B.　

C.2 D.

答案为：B

解析：由已知得M，G，N三点共线，∴=λ＋(1－λ)=λx＋(1－λ)y.

∵点G是△ABC的重心，

∴=×(＋)=(＋)，

∴即得＋=1，即＋=3，通分得=3，

∴=.

8.(2018广西柳州模拟)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5=＋3，则△ABM与△ABC的面积的比值为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：C

解析：设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5=＋3，得5=2＋3 ①，即=＋，即＋=1，故C，M，D三点共线.又=＋ ②，联立①②，得5=3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.

二、填空题

9.(2018湖南衡阳模拟)已知△ABC和点M满足＋＋=0.若存在实数m使得＋=m成立，则m=________.

答案为：3

解析：由＋＋=0知，点M为△ABC的重心.设点D为底边BC的中点，则==×(＋)=(＋)，所以＋=3.故m=3.

10.(2018湖北武汉二模)若||=||=|－|=2，则|AB＋|=________.

答案为：2

解析：∵||=||=|－|=2，

∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，

∴|＋|=2×2sin=2　.

11.(2018银川二检)已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足=－，△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________.

答案为：4

解析：由=－，得5=＋4，即－=4(－)，即=4，∴点D在边BC上，且||=4||.故△ABD的面积是△ACD的面积的4倍，故△ABD的面积为4.

12.(2018湖北孝感统考)在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2　，BC=2，点E在线段CD上.若=＋μ，则μ的取值范围是________.

答案为：

解析：由题意可求得AD=1，CD=，所以=2.∵点E 在线段CD上，∴=λ (0≤λ≤1).∵=＋，又=＋μ=＋2μ=＋，

∴=1，即μ=.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.

三、解答题

13.(2018广东韶关调研) 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，=，=a，=b.

(1)用a，b表示向量，，，，；

(2)求证：B，E，F三点共线.

(1)【解】延长AD到G，使=，

连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，

所以=＋=a＋b，

==(a＋b)，

==(a＋b)，

==b，

=－=(a＋b)－a=(b－2a)，

=－=b－a=(b－2a).

(2)【证明】由(1)可知=，

又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线.