广东省实验中学2021届高三上学期第一次阶段考试数学

广东省实验中学2021届高三年级第一次阶段考试

数  学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

第一部分选择题（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知, ，则=(    )

A．   B．   C．  D．

2．“”是“”的(    )

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件 C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

3．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为 若已知=250，则=(    )

A．75             B．155.4          C．375          D．442

4．命题：变量满足约束条件，则的最小值为，命题：直线的倾斜角为，下列命题正确的是(    )

A．   B．  C．   D．

5．已知两个单位向量，若，则的夹角为(    )

A．    B．    C．    D．

6．已知，，，，则=(    )

A．    B．   C．   D．

7．已知长方形的四个顶点：．一质点从点出发，沿与 夹角为的方向射到上的点后，依次反射到和上的点（入射角等于反射角）．设的坐标为，若，则的范围是(    )

A．   B．   C．   D．

8．设，函数，函数．若函数与函数 的图象分别位于直线=1的两侧，则的取值集合为(    )

A．    B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错得得0分，部分选对得得3分．

9．己知函数，则(    )

A．       B．在区间上只有1个零点

C．的最小正周期为     D．为图象的一条对称轴

10．已知空间中不同直线和不同平面，下列命题中是真命题的是(    )

A．若互为异面直线，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

11．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列各式的值为0的是(    )

A．    B．    C．   D．

12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设

椭圆的长轴长、焦距分别为，下列结论正确的是(    )

A．卫星向径的取值范围是

B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

第二部分  非选择题 (90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为____．

14．大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

15．如图，在四棱锥中，平面，底面

是菱形，且，则异面直线与所

成的角的余弦值为        ，点到平面的距离等于       ．

16．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别

为，直线 与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为____．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题10分）

设是公差大于零的等差数列，己知

(1)求的通项公式；

(2)设是以函数的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列的前项和.

18．（本小题12分）

在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．

在中，内角的对边分别为，       .

(1)求角的大小；

(2)求的周长和面积．

19．（本小题12分）

在多面体中，四边形为菱形，，平面平面

(1)若是线段的中点，证明：平面平面

(2)求二面角的正弦值．

20．（本小题12分）

为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查，经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出：

(1)经统计发现，该社区居民的家庭月收入（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数．若落在区间的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并

采取相应措施为该家庭提供创收途径．若该社区家

庭月收入为4100元，试判断家庭是否属于“收入较

低家庭”，并说明原因；

(2)将样本的频率视为总体的概率；

①从该社区所有家庭中随机抽取户家庭，若这

户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，

求的最大值；

②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次

调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动，

赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：

则家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）

21．（本小题12分）

已知曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，

(1)求曲线的方程；

(2)过作弦，设的中点分别为，若，求最小时，弦所在直线的方程；

(3)在(2)条件下，是否存在一定点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由．

22．（本小题12分）

已知函数.

(1)当时，求函数在上的最小值；

(2)若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；

(3)若，讨论函数在上的零点个数．

数学参考答案

1．解：，，．故选：B．

2．解：或，即由不一定得到，反之，由一定得到.

是的必要不充分条件．故选：B．

3．解：由，得

又，，

  故选：D.

4．解：由约束条件作出可行域如图，

联立解得，故的最小值为，命题为真命题；

直线的倾斜角为正确，故命题为真命题．

则为真命题；为假命题；为假命题；为假命题. 故选：A．

5．解：由题意得，两个单位向量，

因为，所以，所以

所以，又因为，所以，故选：B．

6．解：，，

又，

，，

又，

故选：C．

7．解：设，则，

均为，，又，

．而，

又，

依题设，即，，即有，则，故选：B．

8．解：，易得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得最大值，

，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，由与函数的图象分别位于直线的两侧，可知且，解可得，，故满足条件的集合故选：A．

9．解：已知函数

则正确；B、当，即在区间上只有2个零点，则在区间上只有1个零点错误；C、的最小正周期为，正确；D、当时，函数

，所以为图象的一条对称轴，正确．故选：ACD．

10．解：由是不同的直线，是不同的平面，知：

在①中，若互为异面直线，，则，①是真命题；

，则与平行或异面，故错误；

在②中，，则，或与相交或平行，故②错误；

在③中，则，故③是真命题；

在④中，，则，也可能，故④错误．故选：AC．

11．解：设的首项为，公差为，由，

即，得，，

，所以

，．故选：BD.

12．解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故C不正确. 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选：ABD.

13．解：根据题意，如图等腰中，设该三角形底边上的高为，其内切圆半径为，，，

则，而

则，则其内切圆面积；故答案为：

14．解：使用间接法：从8个专业中任选3个专业填报，共有=336种，

其中甲，乙同时兼报的有：，故符合题意的填报志愿的方法种数为：336-36=300种．故答案为：300.

15．解：①锐角即为异面直线与所成的角，其余弦值 ②平面平面平面，点到交线的距离即为点到平面的距离，为故答案为：

16．解：由线段的垂直平分线恰好过点，可得，

由直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，可得，

设的中点为，由中位线定理可得，

在直角三角形中，可得，

即有，由双曲线的定义可得，

即，即，即有，

即，可得，即，故答案为：.

17．解：(1)设数列的公差为，

则，解得或（舍），…（2分）

(2)，其最小正周期为，故数列的首项为1，公比，  …（6分）

，

令，…①，

两边都乘以2得，…②

② - ①得，

…（9分）

故，  …（10分）

18．解：(1)若选择①：因为，，

所以   …（2分）

所以，因为，所以，

  …（4分）

又因为，，所以，

…（6分）

若选择②：（法一）由题意知，，所以

…（2分）

因为当且仅当时，上式的等号成立，且 …（3分）

所以  …（5分）   所以 …（6分）

（法二）设为方程，的两根，解得 …（3分）

且，所以 …（5分） 所以 …（6分）

(2)由正弦定理知： …（7分）

因为，，，所以…（9分）

所以的周长为 …（10分）

所以的面积   …（12分）

19．解：(1)证明：连结四边形为菱形，是等边三角形，是线段的中点，，…（2分）

平面平面，平面平面平面，

平面平面平面  …（4分）

(2)解：连结，

平面，…（5分）

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则 …（6分）

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，…（8分）

平面的法向量，…（9分）

设二面角的平面角为，

则，   …（11分）

二面角的正弦值为   …（12分）

20．解：(1)由频率分布直方图计算平均值为：

（百元），…（2分）

又知道，所以 …（3分）

家庭的月收入为4100元=41百元，所以A家庭不属于“收入较低家庭”；…（4分）

(2)①将样本的频率视为概率，抽取一户家庭某月收入低于8000元的概率为(0.002+0.015+0.015+0.02+0.028)×10=0.8,

随机抽取户家庭月收入均低于8000元的概率为；…（6分）

②由(1)知百元=6710元，故家庭月收入低于，可获赠两次购物卡，设所获得的金额为随机变量，则的取值分别为200，300，400，500，600，…（7分）

，，

，，

；…（10分）

则家庭预期获得的购物卡金额为

元．…（12分）

21．解：(1)由条件，到的距离等于到直线的距离，

所以，曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为 …（2分）

(2)设，代入得：

由韦达定理 …（3分）

， …（5分）

只要将点坐标中的换成，得 …（6分）

（当且仅当时取“=”）  …（7分）

所以，最小时，弦所在直线的方程为，即或.

(3)，即三点共线

是否存在一定点，使得，即探求直线是否过定点 …（9分）

由（II）知，直线的方程为

即， …（10分）

直线过定点(3，0)故存在一定点(3，0)，使得  …（12分）

22．解：(1)当时，

，…（1分）

因为，所以，所以为单调递增函数，所以

．…（3分）

(2)，，

当时，，所以为单调递增函数，，符合题意；…（4分）

当时，在上，单调递减，在上，单调递增，

所以，解得，与矛盾，舍去，故实数的取值范围为   …（6分）

(3)由(2)可知，当时，在上，为单调递增函数，，

此时函数的零点个数为0； …（7分）

当时，，令，

则，函数单调递减，

令，解得，  …（8分）

所以当，，，，，，

所以当时，，此时函数在上的零点个数为0； …（9分）

当时，，此时函数在上的零点个数为1； …（10分）

，此时函数在上的零点个数为2． …（11分）

综上，可得时，函数在上的零点个数为0；

时，函数在上的零点个数为1；

，函数在上的零点个数为2．   …（12分）