2021届广东省高州市高三上学期数学第一次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届广东省高州市高三上学期数学第一次模拟考试试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三上学期数学第一次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
2.设复数 ，那么 〔    〕
A. 1                                         B. 2                                         C.                                          D. 
3.如下列图的 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 的中点，那么 〔    〕

A.             B.             C.             D. 
4.设集合 ， ，那么“ 或 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 充要条件             C. 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件
5.函数 的局部图象大致为〔    〕
A.                            B. 
C.                            D. 
6.抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ， ，那么 〔    〕
A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
7.正六边形 的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点 ， 得到线段 ，那么 的概率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
8.如图，在直三棱柱 的侧面展开图中， ， 是线段 的三等分点，且 ．假设该三棱柱的外接球 的外表积为 ，那么 〔    〕

A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 
二、多项选择题
9.?九章算术?是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．〞其意思为“甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？〞〔“钱〞是古代的一种重量单位〕．关于这个问题，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 甲得钱是戊得钱的 倍                                       B. 乙得钱比丁得钱多 钱
C. 甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍                           D. 丁、戊得钱的和比甲得钱多 钱
10.如图是函数 的局部图象，那么以下说法正确的选项是〔    〕

A.                                                                  B. 是函数， 的一个对称中心
C.                                                                D. 函数 在区间 上是减函数
11.假设 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A.           B.           C. ，           D. 
12.函数 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 有且只有一个极值点                     B. 设 ，那么 与 的单调性相同
C. 有且只有两个零点                        D. 在 上单调递增
三、填空题
13.当 为常数时， 展开式中常数项为 ，那么 ________．
14.在 中，假设 ，那么 是________三角形．
15.圆 ，圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，那么圆 的标准方程为________．
16.假设 ， ，那么 ________．
四、解答题
17.从条件① ，② ，③ 中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，   ▲   ， 求 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
18.2021年10月1日既是中华人民共和国第71个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频 或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频 或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频 或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人．将这160人按年龄分组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如下列图：

附：

















〔1〕求 的值并估计这160人的平均年龄；
〔2〕把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过短视频 表达对祖国祝福的中老年人有26人，问是否有 的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？
19.数列 的前 项和为 ．
〔1〕假设 为等差数列， ， ，求 和 的表达式；
〔2〕假设数列 满足 ，求 ．
20.如图，在四棱柱 中， 底面 ， ， ，且 ， ．

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求二面角 所成角的余弦值
21.点 为椭圆 上一点，且椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，过点 作直线 ， ，与椭圆 分别交于点 ， ．
〔1〕求椭圆 的标准方程与离心率；
〔2〕假设直线 ， 的斜率之和为0，证明：直线 的斜率为定值．
22.设函数 ， ， ．
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕当 且 时，函数 ，证明： 存在极小值点 ，且 ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，
所以 ，
故答案为：B．

【分析】利用条件结合交集的运算法那么，从而求出集合M和集合N的交集。
2.【解析】【解答】 ，
所以 ，
故答案为：D．

【分析】利用复数的混合运算法那么，从而求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
3.【解析】【解答】依题意， ，
故答案为：B．

【分析】利用三等分点的性质结合中点的性质，从而结合三角形法那么和共线定理，进而用平面向量根本定推出。
4.【解析】【解答】“ 或 〞对应的集合为 ，
“ 〞对应的集合为 ，
因为 为 的真子集，故“ 或 〞是“ 〞的必要不充分条件，
故答案为：C.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件判断方法，从而推出“ 或 〞是“ 〞的必要不充分条件。
5.【解析】【解答】由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 所以函数 是奇函数，
其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当 时， 排除A，D.
故答案为：B．

【分析】利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性，从而排除C，再利用当 时， 排除A，D，从而选出正确的函数 的局部大致图象。
6.【解析】【解答】由点 在抛物线 上得 ，
设 ，由直线过定点 得 ，
解得 〔舍去t= 〕， ，
所以 ，
故答案为：C．

【分析】由点 在抛物线 上结合代入法求出p的值，进而求出抛物线标准方程，从而确定焦点的位置，进而求出焦点F的坐标，再利用点B在抛物线上，设 ，由直线过定点 ， 再利用两点求斜率公式，从而求出直线的斜率与t的关系式，再利用点A在直线上结合代入法，求出直线的斜率，再利用直线的斜率求出t的值，进而求出点B的坐标，再利用两点距离公式，从而求出的值。
7.【解析】【解答】由得， ， ，
在这 个顶点中任意取 个不同的顶点 ， ，得到以下 条线段： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
其中满足` 的有以下 条线段： ， ， ， ， ， ，
根据古典概型的计算公式得， 的概率为 ，
故答案为：C．

【分析】利用条件结合古典概型求概率公式，从而求出 的概率 。
8.【解析】【解答】由展开图可知，直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形，

其外接圆的半径满足 ，所以 ．
由 得 ．
由球的性质可知，球心 到底面 的距离为 ，
结合球和直三棱柱的对称性可知， ，
故答案为：D．

【分析】由展开图可知，直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形，再利用正弦定理的性质求出等边三角形其外接圆的半径，再利用三棱柱的外接球 的外表积为 ，结合外接球外表积公式，从而求出外接球的半径，再利用球的性质结合勾股定理可知，球心 到底面 的距离，再结合球和直三棱柱的对称性可知的值。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ， ， ， ， ，且 ，即 ，又 ，
∴ ， ，即 ， ， ， ，
∴甲得 钱，乙得 钱，丙得 钱，丁得 钱，戊得 钱，那么有如下结论：
甲得钱是戊得钱的 倍，A符合题意；
乙得钱比丁得钱多 钱，B不符合题意；
甲、丙得钱的和是乙得钱的 倍，C符合题意；
丁、戊得钱的和比甲得钱多 钱，D不符合题意．
故答案为：AC．

【分析】利用实际问题的条件结合等差数列的性质，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ， ， ， ， ，且 ，即 ，又 ，从而求出等差数列的首项和公差，进而利用等差数列通项公式，从而求出甲得 钱，乙得 钱，丙得 钱，丁得 钱，戊得 钱，从而找出说法正确的选项。
10.【解析】【解答】由题知， ，函数 的最小正周期 ，所以 ，A符合题意；
因为 ，所以 ， ，解得 ， ，又 ，所以 ，C符合题意；
函数 ，因为 ，所以 不是函数 的一个对称中心，B不符合题意；
令 ， ，得 ， ，当 时， ，因为 ，所以函数 在区间 上是减函数，D符合题意．
故答案为：ACD．

【分析】利用正弦型函数的局部函数图象的最高点求出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出的值，再利用特殊点对应法结合正弦函数的五点法，从而求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心，同时也判断出正弦型函数的单调性，从而找出说法正确的选项。
11.【解析】【解答】因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，A符合题意；
因为 ，所以 ，所以 ，B符合题意；
因为 ，所以 ， ，C符合题意；
因为 ，所以 ， ，
所以 ，D不符合题意．
故答案为：ABC．

【分析】利用条件结合不等式的根本性质和均值不等式求最值的方法结合对数函数的单调性，从而利用对数的运算法那么推出A正确；再利用条件结合不等式的根本性质和指数 函数的单调性，从而推出B正确；再利用条件结合幂函数图象的单调性，从而推出C正确；再利用条件结合对数函数的单调性和与特殊值对应的对数大小关系比较，从而推出D错误，进而选出结论正确的选项。
12.【解析】【解答】解：由题知， ， ，所以 在 上单调递增，当 时， ；当 时， ，所以存在 ，使得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 有且只有一个极值点，A符合题意；
因为 ，所以 ，所以 所以 ，故 的一个极值点为 ，所以 与 的单调性不相同，B不符合题意；
因为 有且只有一个极值点 ， ，且 ，所以 在 和 上各有一个零点，所以 有且只有两个零点，C符合题意；
因为 与 在 上都是单调递增，所以 在 上单调递增，D符合题意．
故答案为：ACD．

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用零点存在性定理求出零点的个数，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】 的第 项为 ，
令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：±1。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 展开式中常数项 ，再利用 展开式中常数项为 ， 从而求出a的值。
14.【解析】【解答】由正弦定理可知： ，因为 ，所以 ，
由 ，当且仅当 时取等号，
即 ，有 ，所以 ，而 ，所以 ， ，因此 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角。

【分析】利用条件结合正弦定理得出， 再利用均值不等式求最值的方法，从而推出和 ，而 ，所以 ， ，再利用等腰直角三角形的定义，判断出三角形的形状。
15.【解析】【解答】圆的标准方程为 ，所以圆心 ，半径为 ．
由圆心 在直线 上，可设 ．
因为 与 轴相切，与圆 外切，
于是圆 的半径为 ，从而 ，解得 ，
因此，圆 的标准方程为 ，
故答案为： 。

【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求出圆心坐标和半径，再利用直线与圆相切的判断方法结合圆与圆相切位置关系判断方法，从而利用圆心 在直线 上， 结合代入法求出圆心坐标和半径，从而求出圆N的标准方程。
16.【解析】【解答】由 ，两边取以 为底的对数，得 ，
由 ，令 ，那么 ，
所以 ，即 ，
所以 ，设 ，那么 ，
所以 在 上单调递增，
由 以及 ，那么 ，
由 即 ，那么 ，
故答案为：5e。

【分析】由 ，两边取以 为底的对数，得 ， 由 ，令 ，那么 ， 所以 ，即 ， 所以 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性结合由 以及 ，从而求出， 进而求出xy的值。
四、解答题
17.【解析】【分析】 从条件① ，② ，③ 中任选一个，补充在下面的问题中， 再分别利用余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式和同角三角函数根本关系式，从而利用三角形面积公式求出三角形 的面积 。
18.【解析】【分析】〔1〕利用频率分布直方图中各小组矩形的面积等于各小组的频率，从而结合频率之和等于1，进而求出a的值，再利用频率分布直方图求平均数的公式，从而估计出这160人的平均年龄。
〔2〕利用条件结合独立性检验的方法，从而得出有 的把握认为通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关。
19.【解析】【分析】〔1〕利用等差数列通项公式结合条件求出公差，再利用等差数列通项公式求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式求出数列 的前 项和 。
〔2〕利用条件 ， ① ，结合 当 时， ，② ， 由① ②得 ，当 时， ， ，所以 ， 再利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式。
 
20.【解析】【分析】〔1〕利用 ， ，所以 ， ，
因为 ，再利用勾股定理推出 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ， 再利用线面垂直证出面面垂直。
〔2〕 分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 所成角的余弦值。
21.【解析】【分析】〔1〕利用点 为椭圆 上一点，结合代入法，得出 ，① ，再利用椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，从而结合抛物线标准方程求出焦点坐标，进而求出椭圆焦点坐标，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而推出 ，② ， 由①②解得a,b的值，进而求出椭圆的标准方程，进而结合椭圆离心率公式求出椭圆的离心率。
〔2〕利用直线 ， 的斜率之和为0， 所以设直线 的斜率为 ，那么直线 的斜率为 ，记 ， ，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线 与椭圆相交，联立二者方程求出点A的坐标，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线 与椭圆相交，联立二者方程求出点B的坐标， 再利用两点求斜率公式证出直线 的斜率为定值。
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出 的单调性。
〔2〕利用a的值求出函数的解析式，进而求出函数 的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而证出函数有极小值点，再利用函数F〔x)存在极小值点，从而证出。