2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第4节

第4节　事件与概率
最新考纲　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

知 识 梳 理
1.概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似.
2.事件的关系与运算

定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅P(A∪B)＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
[常用结论与微点提醒]
1.频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数.
2.对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　)
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.(　　)
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　)
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.(教材习题改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.
答案　C
3.(2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.
答案　A
4.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为(　　)
A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9
解析　依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.
答案　A
5.(2018·北京东城区调研)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________.
解析　由表格知，至少有2人排队的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
答案　0.74

考点一　随机事件间的关系
【例1】 (1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.
在上述事件中，是对立事件的为(　　)
A.① B.② C.③ D.④
(2)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是(　　)
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
解析　(1)至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.故②中两事件是对立事件.③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有②，选B.
(2)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为.
答案　(1)B　(2)A
规律方法　1.准确把握互斥事件与对立事件的概念
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
2.判别互斥、对立事件的方法
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
【训练1】 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是(　　)
A.① B.②④ C.③ D.①③
解析　从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件.
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件.
答案　C
考点二　随机事件的频率与概率
【例2】 (2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高
气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
规律方法　1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
提醒　概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
【训练2】 (2018·沈阳调研)某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率.
日销售量(枝)
(0，50)
[50，100)
[100，150)
[150，200)
[200，250]
销售天数
3天
5天
13天
6天
3天
(1)求这30天中日销售量低于100枝的概率；
(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于50枝时的概率.
解　(1)设鲜花店日销售量为x枝，
则P(0 所以这30天中日销售量低于100枝的概率P＝＋＝.
(2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天做促销活动，共有3种情况.
所以所求事件发生的概率P＝.
考点三　互斥事件与对立事件的概率
【例3】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)(一题多解)至少3人排队等候的概率.
解　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一　记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
规律方法　1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.
【训练3】 某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.以上都不对
解析　由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件.
答案　A
2.设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A.两个任意事件 B.互斥事件
C.非互斥事件 D.对立事件
解析　因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件.
答案　B
3.(2018·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)
A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08
解析　记“抽检的产品是甲级品”为事件A，是“乙级品”为事件B，是“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝
1－5%－3%＝92%＝0.92.
答案　C
4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B. C. D.1
解析　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥.
由于P(A)＝，P(B)＝.
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案　C
5.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪B发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果.
依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
∵B表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与B互斥，
从而P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案　C
二、填空题
6.给出下列三个命题，其中正确命题有________个.
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
解析　①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念.
答案　0
7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
解析　20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝＝.
答案　
8.如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________.
解析　设P(A)＝x，则P(B)＝3x，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，
所以x＝0.16，则P(A)＝0.16.
答案　0.16
三、解答题
9.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值.
解　记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥.
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.
解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.
解得y＝0.2.
10.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　设被污损的数字为x，则
甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90，
乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)，
若甲＝乙，则x＝8.
若甲＞乙，则x可以为0，1，2，3，4，5，6，7，
故P＝＝.
答案　C
12.某城市2017年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P






其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________.
解析　由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案　
13.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数/人
x
30
25
y
10
结算时间/(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).
解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟).
(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.