2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第7节

第7节　离散型随机变量及其分布列
最新考纲　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.

知 识 梳 理
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0 (2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
[常用结论与微点提醒]
1.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
2.要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.
3.超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布.(　　)
(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.(　　)
解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
解析　选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
答案　C
3.(教材练习改编)设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p为(　　)
A. B. C. D.
解析　由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
答案　C
4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)
A. B. C. D.
解析　{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.
答案　C
5. (2018·大连双基自测)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.
解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，
得P(X＝0)＝.
答案　

考点一　离散型随机变量分布列的性质
【例1】 设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求η＝|X－1|的分布列；
(2)求P(1<2X＋1<9).
解　(1)易知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由X的分布列可知η＝|X－1|的取值为0，1，2，3，
P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
所以η＝|X－1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
(2)由1<2X＋1<9，解得0 故P(1<2X＋1<9)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.
规律方法　分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
【训练1】 随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.
答案　　
考点二　超几何分布的应用(典例迁移)
【例2】 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





【迁移探究1】 用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.
解　由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
因此X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P





【迁移探究2】 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.
解　由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5，
则P(X＝3)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，P(X＝－3)＝＝，
P(X＝－5)＝＝，
因此X的分布列为
X
3
1
－1
－3
－5
P





规律方法　超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
【训练2】 (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.
解　(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则
P(A)＝＝.
(2)依题意知X的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




考点三　求离散型随机变量的分布列
【例3】 (2018·长沙模拟)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：
年龄/岁
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)若从年龄在[15，25)和[25，35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.
解　(1)由表知，年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为
P＝·＋·＝×＋×＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝·＝×＝，
P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝·＝×＝，
∴ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P




规律方法　离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义.
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率.
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列.
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
【训练3】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P




基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51
解析　P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)
＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案　C
2.若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X A.(－∞，2] B.[1，2]
C.(1，2] D.(1，2)
解析　由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X 答案　C
3.(2018·泉州月考)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a，k＝1，2，3，则a的值为(　　)
A.1 B. C. D.
解析　因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a(k＝1，2，3)，所以根据分布列的性质有a×＋a＋a＝1，所以a＝a×＝1.所以a＝.
答案　D
4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A.ξ＝4 B.ξ＝5
C.ξ＝6 D.ξ≤5
解析　“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
答案　C
5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.
答案　C
二、填空题
6.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.
解析　由分布列的性质，知
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
答案　0.5
7.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.
解析　设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案　
8.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________.
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了.
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错.
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对.
X＝2时，甲抢到2题均答对.
X＝3时，甲抢到3题均答对.
答案　－1，0，1，2，3
三、解答题
9.有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的概率分布列.
解　(1)因为当X＝2时，有C种坐法，
所以C＝6，即＝6，
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的概率分布列为：
X
0
2
3
4
P




10.(2018·湖北八校联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组/岁
频数
[25，30)
x
[30，35)
y
[35，40)
35
[40，45)
30
[45，50]
10
合计
100

(1)求频率分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40)内的人数为X，求X的分布列.
解　(1)由题意知，[25，30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x＝100×0.05＝5.因[30，35)内的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝1－0.8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且[30，35)这组对应的＝＝0.04.
补全频率分布直方图略.
(2)因为年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，
所以抽取的20人中，年龄在[35，40)内的人数为7.
则X可取0，1，2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
P



能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·长沙质检)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)
A.P(X＝3) B.P(X≥2)
C.P(X≤3) D.P(X＝2)
解析　当X＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有A种取法，再任意拿出1个黑球即可，有C种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即A，P(X＝2)＝＝.
答案　D
12.(2018·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品.
现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________.
解析　5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝0.3，
P(X＝1)＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝0.1.
故优等品数X的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
答案　
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
13.随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45，50)
[50，55)
[55，60)
[60，65)
[65，70]
人数
6
7
3
5
4
年龄在[25，30)，[55，60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.
(1)求从年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率；
(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列.
解　(1)设“年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，所以P(A)＝＝.
(2)设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，
所以P(B)＝＋＋＝.
(3)X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P