2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第9节

第9节　随机变量的数字特征
最新考纲　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.

知 识 梳 理
1.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(　　)
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(　　)
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(　　)
解析　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



则X的数学期望E(X)＝(　　)
A. B.2 C. D.3
解析　由数学期望公式可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案　A
3.(教材习题改编)已知X的分布列为
X
－1
0
1
P



设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B.4 C.－1 D.1
解析　E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案　A
4.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于(　　)
A.5 B.8 C.10 D.16
解析　因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
答案　B
5.(2018·北京海淀区月考)如果随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p＝________.
解析　因为随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，
所以解得p＝.
答案　

考点一　离散型随机变量的均值与方差
【例1】 (2018·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为
P3＝×＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝40)＝×＋×＝；
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；
P(ξ＝120)＝×＋×＝；
P(ξ＝160)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P





E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
规律方法　(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.
【训练1】 (2018·蚌埠二模)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5，6，7，8，9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X和Y分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则E(X)－E(Y)＝________元.
解析　根据题意可得P(X＝k)＝(k＝5，6，7，8，9)，
可得E(X)＝×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元).
Y的取值可能为2，4，6，8，其中
P(Y＝2)＝＝，
P(Y＝4)＝＝，
P(Y＝6)＝＝，
P(Y＝8)＝＝，
所以E(Y)＝2×＋4×＋6×＋8×＝4(元).
故E(X)－E(Y)＝7－4＝3(元).
答案　3
考点二　与二项分布有关的均值与方差
【例2】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).
解　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
规律方法　二项分布的期望与方差.
(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【训练2】 (2018·长沙调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5，42.5)，[42.5，47.5)，[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X).
解　(1)组距d＝5，由5×(0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015)＝1得a＝0.05.
(2)各组中点值和相应的频率依次为
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
x＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，
s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.
(3)由已知，这种植物果实的优质率p＝0.9，且X～B(3，0.9)，
故其分布列为P(X＝k)＝C·0.9k·(1－0.9)3－k(k＝0，1，2，3)，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
∴E(X)＝np＝2.7.
考点三　离散型随机变量的均值、方差
(多维探究)
命题角度1　求实际问题的分布列与期望
【例3－1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解　(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
命题角度2　均值与方差的应用问题
【例3－2】 某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为
X1
300
－150
P


∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为：
X2
500
－300
0
P



∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
规律方法　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
【训练3】 (2018·河南百校联盟调研)PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示.

现将PM2.5的值划分为如下等级
PM2.5值
[0，100)
[100，150)
[150，200)
[200，250]
等级
一级
二级
三级
四级
用频率估计概率.
(1)估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；
(2)在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值的数据，再从这8个数据中随机抽取5个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；
(3)如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天PM2.5值X近似满足X～N(115，752)，则治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了多少？
解　(1)由样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：
PM
2.5值
[0，50)
[50，100)
[100，150)
[150，200)
[200，250]
频率
0.125
0.125
0.375
0.25
0.125
由上表可知，如果该市维持现状不变，则该市下一年的某一天空气质量为一级天气的概率为0.25，
因此在360天中约有360×0.25＝90天.
(2)在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值数据，则这8个数据中一级、二级、三级、四级天气的数据分别有2个、3个、2个、1个.
从这8个数据中随机抽取5个，则这四种天气都有三种情况：一级天气的数据有2个，其余的均为1个；二级天气的数据有2个，其余的均为1个；三级天气的数据有2个，其余的均为1个.
共有的情况有：CCCC＋CCCC＋CCCC＝24种.
而从8个数据中随机抽取5个，有C＝56种情况.
故所求概率为＝.
(3)如果该市维持现状不变，则该市的PM2.5值的均值约为
E(Y)＝25×0.125＋75×0.125＋125×0.375＋175×0.25＋225×0.125＝131.25.
如果该市对环境进行治理，则该市的PM2.5值X的均值为E(X)＝115，
因此该市治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了16.25.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(X)＝(　　)
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
解析　由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
答案　C
2.(2018·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A.100 B.200 C.300 D.400
解析　设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.
答案　B
3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)
A.n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4
C.n＝8，p＝0.3 D.n＝24，p＝0.1
解析　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.
答案　B
4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)
A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6
解析　由题意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
答案　B
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)
A. B. C. D.
解析　依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X＝2)＝，
P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝＝，
故E(X)＝2×＋4×＋6×＝.
答案　B
二、填空题
6.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
解析　由分布列性质，得x＋y＝0.5.
又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得
D(ξ)＝·＋·＋·＝.
答案　
7.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
解析　有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案　1.96
8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.
解析　随机变量X的取值为0，1，2，4，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此E(X)＝.
答案　
三、解答题
9.(2018·济南模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A，B，C三个城市进行治霾落实情况抽查.
(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望.
解　(1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C(CA＋C)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为＝.
(2)设事件A：“城市需复检”，则P(A)＝1－＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝C·＝，
P(X＝1)＝C··＝，
P(X＝2)＝C··＝，
P(X＝3)＝C·＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




因为X～B，所以E(X)＝3×＝.
10.(2018·宁德一模)某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
[50，60)
3
0.06
[60，70)
m
0.10
[70，80)
13
n
[80，90)
p
q
[90，100]
9
0.18
总计
t
1

(1)求表中t，q及图中a的值；
(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
解　(1)由题中表格可知，全班总人数t＝＝50，
则m＝50×0.10＝5，n＝＝0.26，所以a＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，即p＝20，所以q＝＝0.4.
(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人.
由题意得X可能的取值为0，1，2，3，
则X服从超几何分布，其分布列为
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，
所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P




数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意，X～B，
又E(X)＝＝3，∴m＝2，
则X～B，故D(X)＝5××＝.
答案　B
12.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则p的取值范围是________.
解析　由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，
P(Y＝3)＝(1－p)2，
则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，
解得p>或p<，
又p∈(0，1)，所以p∈.
答案　
13.(2018·衡水中学调研)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列为
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：



用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；
(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？并说明理由.
注：①产品的“性价比”＝；
②“性价比”大的产品更具可购买性.
解　(1)E(X1)＝5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2，
由X1的分布列性质得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5，
两式联立，解得
(2)由已知得，样本的频率分布如下表：
等级系数X2
3
4
5
6
7
8
样本频率f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的分布列为
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，
即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8.
(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望为6，零售价为6元/件，所以其性价比为＝1，
因为乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8，零售价为4元/件，所以其性价比为＝1.2，
据此，乙厂的产品更具可购买性.