2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第3节

第3节　二项式定理
最新考纲　1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知 识 梳 理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式
系数最
大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[常用结论与微点提醒]
1.二项展开式共有n＋1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n.
2.通项Tk＋1＝Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.
3.区别(a＋b)n的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，第k＋1项的二项式系数是C，只与n和k有关，恒为正.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)
解析　二项式展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.
答案　D
3.(教材习题改编)的值为(　　)
A.2 B.4
C.2 017 D.2 016×2 017
解析　原式＝＝22＝4.
答案　B
4.已知的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)
A. B.－ C.7 D.－7
解析　由T4＝Cx4＝5，得x＝－.
答案　B
5.(2018·石家庄调研)(1＋x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.
解析　(1＋x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10.
答案　10

考点一　展开式中的特定项或项的系数(多维探究)
命题角度1　求二项展开式中的特定项
【例1－1】 (1)(2016·广东卷)的展开式中，常数项是(　　)
A.－ B. C.－ D.
(2)的展开式中所有的有理项为________.
解析　(1)Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项为C＝.
(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx.
由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.
令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数.
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，
－，x－2.
答案　(1)D　(2)x2，－，x－2

命题角度2　求二项展开式中特定项的系数
【例1－2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
(2)(2018·赣州十四县联考)若的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A＝9(C－B)，则展开式中x2的系数为________.
解析　(1)因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为
1·Cx2和·Cx4，因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
(2)易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍).在中，因为通项Tr＋1＝Cx8－r＝·
x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为.
答案　(1)C　(2)
命题角度3　多项式的展开问题
【例1－3】 (一题多解)(2015·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC＝30.
答案　C
规律方法　(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
【训练1】 (1)(2018·呼和浩特联考)已知的展开式中含x的项的系数为30，则实数a＝________.
(2)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.
解析　(1)的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·＝
(－a)rC·x.依题意，令5－2r＝3，得r＝1，
∴(－a)1·C＝30，解得a＝－6.
(2)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.
答案　(1)－6　(2)40
考点二　二项式系数的和与各项的系数和
【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项系数和为.
规律方法　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【训练2】 (1)(2018·岳阳模拟)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)
A.－27C B.27C
C.－9C D.9C
(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)
A.1 024 B.243 C.32 D.24
解析　(1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.
(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－
(－3)]5＝45＝1 024.
答案　(1)B　(2)A
考点三　二项式定理的应用
【例3】 (1)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋
Cx2 017＝(　　)
A.i B.－i C.－1＋i D.－1－i
(2)(2018·临沂模拟)487被7除的余数为a(0≤a<7)，则a的值为________.
解析　(1)x＝＝＝－1＋i，由于Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(1＋x)2 017－1＝(1－1＋i)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.
(2)487＝(49－1)7＝C497－C496＋…＋C·49－1，由于C497，C496，…，C49都能被7整除，所以487被7除的余数为－1＋7＝6，即a＝6.
答案　(1)C　(2)6
规律方法　(1)逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论.
【训练3】 (1)(2018·银川模拟)C＋2C＋4C＋…＋2n－1C等于(　　)
A.3n B.2·3n
C.－1 D.
(2)(2018·新乡模拟)使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　(1)C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(C＋2C＋22C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.
(2)81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，所以上式能被5整除的最小自然数为x＝3.
答案　(1)D　(2)C

基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝(　　)
A.x5 B.x5－1
C.x5＋1 D.(x－1)5－1
解析　逆用二项式定理，得原式＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
答案　B
2.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中含x的项为(　　)
A.500x B.150x C.20x D.5x
解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－r＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案　B
3.已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.29 B.210 C.211 D.212
解析　由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
答案　A
4.(2018·上饶模拟)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为(　　)
A.－7 B.7 C.－28 D.28
解析　依题意有＋1＝5，∴n＝8.二项式的展开式的通项公式Tk＋1＝
(－1)kCx8－k，令8－k＝0得k＝6，故常数项为T7＝(－1)6C＝7.
答案　B
5.已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A.63 B.64 C.31 D.32
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.
答案　A
6.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　)
A.(3n－1) B.(3n－2)
C.(3n－2) D.(3n－1)
解析　在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝＝(3n－1).
答案　D
7.(2018·石家庄调研)在(n∈N+)的展开式中，所有项系数的和为－32，则的系数等于(　　)
A.360 B.－360 C.270 D.－270
解析　在中，令x＝1可得，其展开式所有项系数的和为(－2)n＝－32，则n＝5，则的展开式的通项为Tr＋1＝C(－3)r.令5－r＝2，可得r＝3，所以展开式中的系数为－270.
答案　D
8.若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A.2n B. C.2n＋1 D.
解析　设f(x)＝(1＋x＋x2)n，
则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
答案　D
二、填空题
9.(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.
解析　(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r，令r＝2，得T3＝9Cx2，由题意得9C＝54，解得n＝4.
答案　4
10.(2018·豫南九校联考)已知m＝2cosdx，则二项式的展开式中x的系数为________(用数字作答).
解析　由题意得m＝2cosdx＝－2，二项式的展开式的通项为
Tr＋1＝Cx2(5－r)＝(－2)r·C·x10－3r.令10－3r＝1，得r＝3，∴展开式中x的系数为－80.
答案　－80
11.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________(用数字作答).
解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，令5－k＝3，则k＝2，所以T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
答案　10
12.(2018·太原二模)的展开式中常数项是________(用数字作答).
解析　＝
＝
的展开式中通项公式：Tr＋1＝C(－1)5－r，
其中的通项公式：
Tk＋1＝C(2x)r－k＝2r－kCxr－2k，
令r－2k＝0，则k＝0，r＝0；k＝1，r＝2；k＝2，r＝4.
因此常数项为C(－1)5＋C×(－1)3×2×C＋C×(－1)×22C＝－161.
答案　－161
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x－x4)(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)
A.600 B.360 C.－600 D.－360
解析　由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为3×C23(－1)3－2×C22(－1)4＝－600.
答案　C
14.在的展开式中，含x2项的系数为(　　)
A.10 B.30 C.45 D.120
解析　因为＝＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C，所以x2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45.
答案　C
15.(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________(均用数字作答).
解析　令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；则a4＝C＋2C＋C＝5＋8＋3＝16.
答案　16　4
16.(2018·安徽江南十校联考)若(x＋y－1)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x且x的次数为1的项的系数为________(用数字作答).
解析　令x＝y＝1⇒(a＋1)5＝32⇒a＝1，故原式＝(x＋y－1)3(2x－y＋1)5＝[x＋(y－1)]3[2x＋(1－y)]5，可知展开式中x的系数为C＋C(－1)3C·2＝－7.
答案　－7