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2021高三物理人教版一轮学案：第一章第3讲 运动图象 追及相遇问题
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第3讲 运动图象 追及相遇问题
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 运动图象
1．直线运动的x－t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率大小：表示物体速度的大小。
②斜率的正负：表示物体速度的方向。
(3)两种特殊的x－t图象
①若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(如图甲所示)
②若x－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。(如图乙所示)
2．直线运动的v－t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体加速度的大小。
②斜率的正负：表示物体加速度的方向。
(3)两种特殊的v－t图象
①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线。(如图甲所示)
②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线。(如图乙所示)
(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义
①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。
3．a－t图象
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的加速度随时间变化的规律。
(2)图象斜率的意义：图线上某点切线的斜率表示该点加速度的变化率。
(3)包围面积的意义：图象和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量。
知识点2 追及相遇问题
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定大于等于前者速度。
(2)若追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
2．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。
(2)相向运动的物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。
思维诊断：
(1)x－t图象是物体的运动轨迹。( × )
(2)x－t图象是一条直线，说明物体一定做匀速直线运动。( × )
(3)v－t图象是一条平行于t轴的直线，说明物体做匀速直线运动。( √ )
(4)x－t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。( × )
(5)两条v－t图象的交点表示两个物体相遇。( × )
(6)两条x－t图象的交点表示两个物体相遇。( √ )
(7)相向运动的物体各自发生的位移大小之和等于开始时二者之距时即相遇。( √ )
1．(2019·云南曲靖一中质监)甲、乙两车在同一条直线上运动，它们的位移—时间图象如图所示，则下列说法正确的是( B )
A．乙做匀减速直线运动
B．0～t1时间内，两车之间的距离先增大后减小
C．0～t1时间内，乙车的平均速度大
D．t1时刻，甲、乙两车的速度相等
[解析] 本题考查x－t图象。x－t图象的斜率表示速度，可知乙的速度逐渐减小，但不一定做匀减速直线运动，选项A错误；由图象可知，0～t1时间内，两车之间的距离先增大后减小，选项B正确；0～t1时间内，两车的位移相同，则两车的平均速度相等，选项C错误；由x－t图象的斜率表示速度，可知t1时刻，甲车的速度大于乙车的速度，选项D错误。
2．(2019·天津期末)一玩具小车沿x轴运动，其v－t图象如图所示。下列说法正确的是( A )
A．第1 s内和第4 s内，小车的加速度大小相等、方向相同
B．0～3 s内，小车的平均速度为5 m/s
C．t＝3 s时，小车的速度大小为5 m/s，方向沿x轴正方向
D．第2 s内和第3 s内，小车位移相同
[解析] 本题考查v－t图象。v－t图象的斜率表示加速度，可知小车在第1 s内和第4 s内的加速度大小a＝＝5 m/s2，方向均为正方向，故A正确；由v－t图象与t轴围成图形的面积表示位移，可知小车在0～3 s内的位移为2.5 m，＝＝ m/s＝ m/s，故B错误；t＝3 s时，小车的速度大小为5 m/s，方向沿x轴负方向，故C错误；根据图象可知，第2 s内和第3 s内小车位移大小相等，方向相反，故D错误。
3．(2020·江苏盐城田家炳中学模拟)在同一水平面上有A、B两物体，相距x＝7 m，A在后B在前，A以vA＝4 m/s向右做匀速直线运动，此时B的瞬时速度为vB＝10 m/s，方向也向右，且以加速度大小a＝2 m/s2做匀减速直线运动。从此位置开始计时，A追上B所需时间为( B )
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
[解析] 本题考查匀速追匀减速问题。物体B匀减速运动到停止运动的时间t＝＝ s＝5 s，故B在5 s末停下来，5 s内的位移x1＝＝ m＝25 m；此过程A的位移x2＝4×5 m＝20 m；故5 s末二者间的距离Δx＝x1＋7 m－x2＝25 m＋7 m－20 m＝12 m，故还需要的时间t＝＝ s＝3 s才能追上B，故A在8 s末追上B，B正确。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 四类运动图象的比较
1．位移—时间(x－t)图象
(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并非物体运动的轨迹。
(2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向。
(3)位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
例1 (2019·福建漳州二模)(多选)某个做直线运动的质点的位置—时间图象(抛物线)如图所示，P(2 s,12 m)为图线上的一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q(0,4 m)。已知t＝0时质点的速度大小为8 m/s，则下列说法正确的是( AC )
A．质点做匀减速直线运动
B．t＝2 s时，质点的速度大小为6 m/s
C．质点的加速度大小为2 m/s2
D．0～1 s内，质点的位移大小为4 m
[解析] 本题考查位移—时间图象。由于位移—时间图象为抛物线，结合匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，已知v0＝8 m/s，时间t＝2 s时的位移为x＝12 m，代入解得a＝－2 m/s2，则图线对应的函数为x＝8t－t2，即质点做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，故A、C正确；t＝2 s时质点的瞬时速度为v2＝v0＋at＝(8－2×2) m/s＝4 m/s，故B错误；由位移—时间公式可得0～1 s内质点的位移x1＝8×1 m－12 m＝7 m，故D错误。
2．速度—时间(v－t)图象
(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，只能描述物体做直线运动的情况。
(2)速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度。
(3)速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。
例2 (2019·辽宁大连模拟)如图所示为某质点做直线运动的v－t图象，已知t0时刻质点的速度为v0,2t0时刻质点的速度为2v0。图中OA与AB是关于A点中心对称的曲线。由此可求出的物理量有( C )
A．0～t0时间内的位移 B．t0～2t0时间内的平均速度
C．0～2t0时间内的位移 D．2t0时刻的加速度
[解析] 解答本题的关键是抓住题中的“中心对称”这一条件，利用对称性解决问题。
本题考查v－t图象。对于v－t图象，图线与时间轴围成的面积表示位移，0～t0时间内的图象是曲线且不知曲线方程，无法求解0～t0时间内的位移，同理也不清楚t0～2t0时间内图线的曲线方程，无法求解t0～2t0时间内的位移，也无法求解该时间段内的平均速度，故A、B错误；图中OA和AB是关于A点中心对称的曲线，利用割补法可知图线与时间轴围成的面积等于连接O、B的直线与时间轴围成的三角形面积，该面积可求，故C正确；对于v－t图象，图象的斜率表示加速度，但2t0时刻图象的斜率无法求解，即无法求解2t0时刻的加速度，故D错误。
3．加速度—时间(a－t)图象
(1)加速度—时间图象反映了做直线运动的物体的加速度随时间变化的规律，也是只能描述物体做直线运动的情况。
(2)加速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的速度变化量。
例3 (2020·山东日照一模)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图线如图所示。下列说法正确的是( D )
A．物体运动的最大速度是4 m/s
B．t＝4 s时物体回到出发点
C．t＝4 s时物体开始反向运动
D．t＝1 s末和t＝3 s末物体的瞬时速度相同
[解析] 本题根据a－t图象考查直线运动问题。a－t图象与时间轴所围的面积表示速度变化量，物体初速度为零，由题图可知，物体运动的最大速度为vmax＝×2×2 m/s＝2 m/s，故A错误；0～1 s内物体做加速度增大的加速运动，1～2 s内物体做加速度减小的加速运动，2～3 s内物体做加速度反向增大的减速运动，3～4 s内物体做加速度反向减小的减速运动，根据对称性可知，物体在4 s末时速度减为零，4 s后物体重复前面的运动，故B、C错误；由B、C项分析可知，t＝1 s末和t＝3 s末物体的瞬时速度相同，故D正确。
4．位置坐标(y－x)图象
表示物体位置的坐标图，图线表示物体实际运动轨迹的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移。
例4 (多选)如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，下列说法正确的是( AB )
A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等
D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
[解析] 位置坐标图象显示的是物体的运动轨迹，从图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个队的初、末位置相同，位移相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动的时间大小关系，故无法比较三个分队的平均速度大小关系，C错误。
考点二 图象问题的解题思路
用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法，是一种直观且形象的语言和工具。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：
1．读图
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。
例5 (2019·辽宁辽阳模拟)(多选)研究人员正在检测某新能源动力车的刹车性能，如图所示是一次在平直公路上实验时，动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图象，下列说法正确的是( AB )
A．动力车的初速度为20 m/s
B．刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2
C．刹车过程持续的时间为10 s
D．刹车过程经过6 s时动力车的位移为30 m
[解析] 根据0－v2＝2ax得＝－，可知＝ m－1·s2，解得刹车过程中动力车的加速度大小a＝5 m/s2，由图线可知，v＝400 m2·s－2，则动力车的初速度为v0＝20 m/s，选项A、B正确；刹车过程持续的时间t＝＝ s＝4 s，故C错误；刹车过程中动力车在6 s内的位移等于4 s内的位移，则x＝＝ m＝40 m，故D错误。
规律总结：
若题中图象是直线，一般都要写出纵轴与横轴的表达式，结合数学知识得出图象的截距及斜率意义。
〔类题演练1〕
(2020·广东茂名一模)某物体做直线运动，运动时间t内位移为x，物体的－t图象如图所示，则下列说法正确的是( C )
A．物体的加速度大小为2 m/s2
B．t＝0时，物体的初速度为2 m/s
C．t＝0到t＝1 s这段时间物体的位移为2 m
D．t＝0到t＝2 s这段时间物体的平均速度为2 m/s
[解析] 本题考查非常规图象问题。根据匀变速直线运动位移x＝v0t＋at2，可得＝v0＋at，由图可得v0＝4 m/s，a＝－ m/s2＝－2 m/s2，故a＝－4 m/s2，由此可知A、B错误；从t＝0到t＝1 s这段时间内物体的位移为x1＝4×1 m＋×(－4)×12 m＝2 m，故C正确；从t＝0到t＝2 s这段时间内物体的位移x2＝4×2 m＋×(－4)×22 m＝0，可知平均速度为0，D错误。
考点三 追及和相遇问题
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题。
1．追及和相遇问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
2．追及和相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有两种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)如果两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。如果两物体保证不相撞，此时应有vA
(1)甲车完成超车至少需要多长时间；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110 m，乙车速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。
[解析] 本题考查追及问题在交通问题中的应用。
(1)设甲车经过时间t刚好完成超车，在时间t内
甲车位移x1＝v1t＋at2，
货车位移x2＝v2t，
根据几何关系有x1＝x2＋L1＋L2＋s，
代入数据解得t＝4 s，
甲车完成超车至少需要的时间为4 s。
(2)假设甲车能安全超车，在4 s内，
甲车位移x1＝v1t＋at2＝56 m，
乙车位移x3＝v3t＝60 m，
由于x1＋x2＝116 m>110 m，故甲车不能安全超车。
[答案] (1)4 s (2)不能安全超车
方法总结：
追及和相遇问题的求解方法
(1)解题思路
⇒⇒⇒
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。
〔类题演练2〕
(2019·安徽江淮十校联考)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶。其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示。则乙车追上甲车前两车间的最大距离为( C )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
[解析]
本题考查匀速追匀加速问题。由题知，v甲＝ m/s＝20 m/s,100 m＝a(5 s)2，可知v乙＝at＝8t。将x－t图象转化为v－t图象，如图所示。v－t图象与t轴围成的图形面积表示位移，可知t＝2.5 s时，甲、乙速度相等，此时相距最远，所以最大距离是阴影部分面积，即25 m，故选C。
〔类题演练3〕
(2019·安徽定远育才学校一检)(多选)汽车甲以速度v2沿平直的狭窄公路行驶，突然发现正前方l处有一辆同向行驶的汽车乙正以v1的速度开始做匀减速运动，且v1
C． D．
[解析] 本题考查避碰问题中的临界加速度大小的计算。设经过时间t，汽车甲和汽车乙达到共同速度v时，恰好不碰撞，则有l＝t－t，解得t＝。达到共同速度时，汽车乙沿原来运动方向的速度v＝v1－a0t≥0，即v1≥a0t，将t＝代入解得v2≥＋v1，以汽车乙为参考系，汽车甲与汽车乙的相对速度为v2－v1，相对加速度为a－a0。由(v2－v1)2＝2(a－a0)l，解得a－a0＝，则汽车甲的加速度至少为a＝＋a0，即a≥＋a0，若在汽车甲追上汽车乙时，汽车乙已经停止运动，则≤＋l，解得a≥，故A、D正确。
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
运动学规律的实际应用
1．结合汽车通过ETC通道的情景考查v－t图象
例7 ETC是电子不停车收费系统的简称，为了加快高速公路的通行，跨省市ETC联网正式运行。某个收费的减速带离收费岛口的距离为50 m，ETC收费通道总长度为40 m，如图所示。车辆需要在收费岛中心线前10 m处减速至36 km/h，然后匀速通过中心线即可完成缴费。一辆汽车以大小为72 km/h的速度经过减速带后，正好在收费岛中心线前10 m处减速至36 km/h，匀速过线10 m后再以相同大小的加速度匀加速至72 km/h，然后正常行驶。下列关于汽车的v－t图象正确的是( A )
[解析] 汽车匀速行驶的距离为x2＝20 m，所以匀速行驶的时间为t2＝2 s，故选项B、C错误；匀减速行驶的加速度与匀加速行驶的加速度大小相同，所以匀减速行驶与匀加速行驶的时间相同，故选项A正确，D错误。
2．以体育运动为背景考查追及、相遇问题
例8 如图所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程可看成匀变速直线运动。现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：
(1)乙在接力区需跑出多少距离？
(2)乙应在距离甲多远时起跑？
[解析] 本题涉及两个研究对象，其中甲运动员做匀速直线运动，乙运动员做初速度为零的匀加速直线运动，关联的地方是：①从开始运动至完成交接棒过程，他们的运动时间相等；②在这段时间内，甲的位移等于乙的位移与乙起跑时甲、乙之间距离的和。设甲、乙的最大速度为v，从乙起跑到接棒的过程中，甲、乙运动时间为t。
(1)乙起跑后做初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度为a，
v2＝2ax。
乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，得v1＝v×80%，
v＝2ax乙，x乙＝＝16 m。
乙在接力区需跑出的距离为16 m。
(2)乙的运动为匀加速直线运动，乙从起跑到接棒的时间为t，
t＝＝，x乙＝t；
甲做匀速直线运动，其在乙从起跑到接棒的时间t内的位移为
x甲＝vt；
乙起跑时距离甲的距离为Δx＝x甲－x乙＝24 m。
[答案] (1)16 m (2)24 m
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2018·全国卷Ⅱ，19)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是( BD )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
[解析] 0～t1时间内，v乙＞v甲；t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻相遇，但0～t1时间内两者的位移差小于t1～t2时间内两者的位移差，则t1时刻甲在乙的后面，A错误，B正确；由图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C错误，D正确。
2．(2018·全国卷Ⅲ，18)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( CD )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
[解析] xt图象斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B错误；t1和t2两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，C正确；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，D正确。
3．(2020·吉林省吉林市联考)如图所示，下列说法不正确的是( D )
A．如果图象为位移—时间图象，其斜率表示物体运动速度的大小
B．如果图象为速度—时间图象，其斜率表示物体运动加速度的大小
C．如果图象为平均速度—时间图象，其斜率表示物体加速度大小的0.5倍
D．如果图象为加速度—时间图象，其斜率表示物体运动速度的大小
[解析] 本题考查图象与斜率的对应关系。
如果图象为位移—时间图象，根据v＝，知其斜率表示物体运动速度的大小，故A正确；如果图象为速度—时间图象，根据a＝，知其斜率表示物体运动加速度的大小，故B正确；根据匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，得平均速度为＝＝at＋v0，可知，如果图象为平均速度—时间图象，其斜率表示物体加速度大小的0.5倍，故C正确；如果图象
为加速度—时间图象，其斜率为k＝≠＝v，所以其斜率不表示物体运动速度的大小，故D错误。本题选不正确的，故D符合题意。
4．(2019·天津南开中学月考)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后。速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是( C )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
[解析]
本题根据a－t图象考查追及、相遇问题。由题给图象画出两车的v－t图象如图所示，由图象可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[×30×3＋×30×(6－3)] m＝90 m
第3讲 运动图象 追及相遇问题
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 运动图象
1．直线运动的x－t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率大小：表示物体速度的大小。
②斜率的正负：表示物体速度的方向。
(3)两种特殊的x－t图象
①若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(如图甲所示)
②若x－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。(如图乙所示)
2．直线运动的v－t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体加速度的大小。
②斜率的正负：表示物体加速度的方向。
(3)两种特殊的v－t图象
①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线。(如图甲所示)
②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线。(如图乙所示)
(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义
①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。
3．a－t图象
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的加速度随时间变化的规律。
(2)图象斜率的意义：图线上某点切线的斜率表示该点加速度的变化率。
(3)包围面积的意义：图象和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量。
知识点2 追及相遇问题
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定大于等于前者速度。
(2)若追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
2．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。
(2)相向运动的物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。
思维诊断：
(1)x－t图象是物体的运动轨迹。( × )
(2)x－t图象是一条直线，说明物体一定做匀速直线运动。( × )
(3)v－t图象是一条平行于t轴的直线，说明物体做匀速直线运动。( √ )
(4)x－t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。( × )
(5)两条v－t图象的交点表示两个物体相遇。( × )
(6)两条x－t图象的交点表示两个物体相遇。( √ )
(7)相向运动的物体各自发生的位移大小之和等于开始时二者之距时即相遇。( √ )
1．(2019·云南曲靖一中质监)甲、乙两车在同一条直线上运动，它们的位移—时间图象如图所示，则下列说法正确的是( B )
A．乙做匀减速直线运动
B．0～t1时间内，两车之间的距离先增大后减小
C．0～t1时间内，乙车的平均速度大
D．t1时刻，甲、乙两车的速度相等
[解析] 本题考查x－t图象。x－t图象的斜率表示速度，可知乙的速度逐渐减小，但不一定做匀减速直线运动，选项A错误；由图象可知，0～t1时间内，两车之间的距离先增大后减小，选项B正确；0～t1时间内，两车的位移相同，则两车的平均速度相等，选项C错误；由x－t图象的斜率表示速度，可知t1时刻，甲车的速度大于乙车的速度，选项D错误。
2．(2019·天津期末)一玩具小车沿x轴运动，其v－t图象如图所示。下列说法正确的是( A )
A．第1 s内和第4 s内，小车的加速度大小相等、方向相同
B．0～3 s内，小车的平均速度为5 m/s
C．t＝3 s时，小车的速度大小为5 m/s，方向沿x轴正方向
D．第2 s内和第3 s内，小车位移相同
[解析] 本题考查v－t图象。v－t图象的斜率表示加速度，可知小车在第1 s内和第4 s内的加速度大小a＝＝5 m/s2，方向均为正方向，故A正确；由v－t图象与t轴围成图形的面积表示位移，可知小车在0～3 s内的位移为2.5 m，＝＝ m/s＝ m/s，故B错误；t＝3 s时，小车的速度大小为5 m/s，方向沿x轴负方向，故C错误；根据图象可知，第2 s内和第3 s内小车位移大小相等，方向相反，故D错误。
3．(2020·江苏盐城田家炳中学模拟)在同一水平面上有A、B两物体，相距x＝7 m，A在后B在前，A以vA＝4 m/s向右做匀速直线运动，此时B的瞬时速度为vB＝10 m/s，方向也向右，且以加速度大小a＝2 m/s2做匀减速直线运动。从此位置开始计时，A追上B所需时间为( B )
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
[解析] 本题考查匀速追匀减速问题。物体B匀减速运动到停止运动的时间t＝＝ s＝5 s，故B在5 s末停下来，5 s内的位移x1＝＝ m＝25 m；此过程A的位移x2＝4×5 m＝20 m；故5 s末二者间的距离Δx＝x1＋7 m－x2＝25 m＋7 m－20 m＝12 m，故还需要的时间t＝＝ s＝3 s才能追上B，故A在8 s末追上B，B正确。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 四类运动图象的比较
1．位移—时间(x－t)图象
(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并非物体运动的轨迹。
(2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向。
(3)位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
例1 (2019·福建漳州二模)(多选)某个做直线运动的质点的位置—时间图象(抛物线)如图所示，P(2 s,12 m)为图线上的一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q(0,4 m)。已知t＝0时质点的速度大小为8 m/s，则下列说法正确的是( AC )
A．质点做匀减速直线运动
B．t＝2 s时，质点的速度大小为6 m/s
C．质点的加速度大小为2 m/s2
D．0～1 s内，质点的位移大小为4 m
[解析] 本题考查位移—时间图象。由于位移—时间图象为抛物线，结合匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，已知v0＝8 m/s，时间t＝2 s时的位移为x＝12 m，代入解得a＝－2 m/s2，则图线对应的函数为x＝8t－t2，即质点做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，故A、C正确；t＝2 s时质点的瞬时速度为v2＝v0＋at＝(8－2×2) m/s＝4 m/s，故B错误；由位移—时间公式可得0～1 s内质点的位移x1＝8×1 m－12 m＝7 m，故D错误。
2．速度—时间(v－t)图象
(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，只能描述物体做直线运动的情况。
(2)速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度。
(3)速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。
例2 (2019·辽宁大连模拟)如图所示为某质点做直线运动的v－t图象，已知t0时刻质点的速度为v0,2t0时刻质点的速度为2v0。图中OA与AB是关于A点中心对称的曲线。由此可求出的物理量有( C )
A．0～t0时间内的位移 B．t0～2t0时间内的平均速度
C．0～2t0时间内的位移 D．2t0时刻的加速度
[解析] 解答本题的关键是抓住题中的“中心对称”这一条件，利用对称性解决问题。
本题考查v－t图象。对于v－t图象，图线与时间轴围成的面积表示位移，0～t0时间内的图象是曲线且不知曲线方程，无法求解0～t0时间内的位移，同理也不清楚t0～2t0时间内图线的曲线方程，无法求解t0～2t0时间内的位移，也无法求解该时间段内的平均速度，故A、B错误；图中OA和AB是关于A点中心对称的曲线，利用割补法可知图线与时间轴围成的面积等于连接O、B的直线与时间轴围成的三角形面积，该面积可求，故C正确；对于v－t图象，图象的斜率表示加速度，但2t0时刻图象的斜率无法求解，即无法求解2t0时刻的加速度，故D错误。
3．加速度—时间(a－t)图象
(1)加速度—时间图象反映了做直线运动的物体的加速度随时间变化的规律，也是只能描述物体做直线运动的情况。
(2)加速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的速度变化量。
例3 (2020·山东日照一模)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图线如图所示。下列说法正确的是( D )
A．物体运动的最大速度是4 m/s
B．t＝4 s时物体回到出发点
C．t＝4 s时物体开始反向运动
D．t＝1 s末和t＝3 s末物体的瞬时速度相同
[解析] 本题根据a－t图象考查直线运动问题。a－t图象与时间轴所围的面积表示速度变化量，物体初速度为零，由题图可知，物体运动的最大速度为vmax＝×2×2 m/s＝2 m/s，故A错误；0～1 s内物体做加速度增大的加速运动，1～2 s内物体做加速度减小的加速运动，2～3 s内物体做加速度反向增大的减速运动，3～4 s内物体做加速度反向减小的减速运动，根据对称性可知，物体在4 s末时速度减为零，4 s后物体重复前面的运动，故B、C错误；由B、C项分析可知，t＝1 s末和t＝3 s末物体的瞬时速度相同，故D正确。
4．位置坐标(y－x)图象
表示物体位置的坐标图，图线表示物体实际运动轨迹的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移。
例4 (多选)如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，下列说法正确的是( AB )
A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等
D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
[解析] 位置坐标图象显示的是物体的运动轨迹，从图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个队的初、末位置相同，位移相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动的时间大小关系，故无法比较三个分队的平均速度大小关系，C错误。
考点二 图象问题的解题思路
用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法，是一种直观且形象的语言和工具。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：
1．读图
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。
例5 (2019·辽宁辽阳模拟)(多选)研究人员正在检测某新能源动力车的刹车性能，如图所示是一次在平直公路上实验时，动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图象，下列说法正确的是( AB )
A．动力车的初速度为20 m/s
B．刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2
C．刹车过程持续的时间为10 s
D．刹车过程经过6 s时动力车的位移为30 m
[解析] 根据0－v2＝2ax得＝－，可知＝ m－1·s2，解得刹车过程中动力车的加速度大小a＝5 m/s2，由图线可知，v＝400 m2·s－2，则动力车的初速度为v0＝20 m/s，选项A、B正确；刹车过程持续的时间t＝＝ s＝4 s，故C错误；刹车过程中动力车在6 s内的位移等于4 s内的位移，则x＝＝ m＝40 m，故D错误。
规律总结：
若题中图象是直线，一般都要写出纵轴与横轴的表达式，结合数学知识得出图象的截距及斜率意义。
〔类题演练1〕
(2020·广东茂名一模)某物体做直线运动，运动时间t内位移为x，物体的－t图象如图所示，则下列说法正确的是( C )
A．物体的加速度大小为2 m/s2
B．t＝0时，物体的初速度为2 m/s
C．t＝0到t＝1 s这段时间物体的位移为2 m
D．t＝0到t＝2 s这段时间物体的平均速度为2 m/s
[解析] 本题考查非常规图象问题。根据匀变速直线运动位移x＝v0t＋at2，可得＝v0＋at，由图可得v0＝4 m/s，a＝－ m/s2＝－2 m/s2，故a＝－4 m/s2，由此可知A、B错误；从t＝0到t＝1 s这段时间内物体的位移为x1＝4×1 m＋×(－4)×12 m＝2 m，故C正确；从t＝0到t＝2 s这段时间内物体的位移x2＝4×2 m＋×(－4)×22 m＝0，可知平均速度为0，D错误。
考点三 追及和相遇问题
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题。
1．追及和相遇问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
2．追及和相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有两种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)如果两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。如果两物体保证不相撞，此时应有vA
(1)甲车完成超车至少需要多长时间；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110 m，乙车速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。
[解析] 本题考查追及问题在交通问题中的应用。
(1)设甲车经过时间t刚好完成超车，在时间t内
甲车位移x1＝v1t＋at2，
货车位移x2＝v2t，
根据几何关系有x1＝x2＋L1＋L2＋s，
代入数据解得t＝4 s，
甲车完成超车至少需要的时间为4 s。
(2)假设甲车能安全超车，在4 s内，
甲车位移x1＝v1t＋at2＝56 m，
乙车位移x3＝v3t＝60 m，
由于x1＋x2＝116 m>110 m，故甲车不能安全超车。
[答案] (1)4 s (2)不能安全超车
方法总结：
追及和相遇问题的求解方法
(1)解题思路
⇒⇒⇒
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。
〔类题演练2〕
(2019·安徽江淮十校联考)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶。其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示。则乙车追上甲车前两车间的最大距离为( C )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
[解析]
本题考查匀速追匀加速问题。由题知，v甲＝ m/s＝20 m/s,100 m＝a(5 s)2，可知v乙＝at＝8t。将x－t图象转化为v－t图象，如图所示。v－t图象与t轴围成的图形面积表示位移，可知t＝2.5 s时，甲、乙速度相等，此时相距最远，所以最大距离是阴影部分面积，即25 m，故选C。
〔类题演练3〕
(2019·安徽定远育才学校一检)(多选)汽车甲以速度v2沿平直的狭窄公路行驶，突然发现正前方l处有一辆同向行驶的汽车乙正以v1的速度开始做匀减速运动，且v1
C． D．
[解析] 本题考查避碰问题中的临界加速度大小的计算。设经过时间t，汽车甲和汽车乙达到共同速度v时，恰好不碰撞，则有l＝t－t，解得t＝。达到共同速度时，汽车乙沿原来运动方向的速度v＝v1－a0t≥0，即v1≥a0t，将t＝代入解得v2≥＋v1，以汽车乙为参考系，汽车甲与汽车乙的相对速度为v2－v1，相对加速度为a－a0。由(v2－v1)2＝2(a－a0)l，解得a－a0＝，则汽车甲的加速度至少为a＝＋a0，即a≥＋a0，若在汽车甲追上汽车乙时，汽车乙已经停止运动，则≤＋l，解得a≥，故A、D正确。
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
运动学规律的实际应用
1．结合汽车通过ETC通道的情景考查v－t图象
例7 ETC是电子不停车收费系统的简称，为了加快高速公路的通行，跨省市ETC联网正式运行。某个收费的减速带离收费岛口的距离为50 m，ETC收费通道总长度为40 m，如图所示。车辆需要在收费岛中心线前10 m处减速至36 km/h，然后匀速通过中心线即可完成缴费。一辆汽车以大小为72 km/h的速度经过减速带后，正好在收费岛中心线前10 m处减速至36 km/h，匀速过线10 m后再以相同大小的加速度匀加速至72 km/h，然后正常行驶。下列关于汽车的v－t图象正确的是( A )
[解析] 汽车匀速行驶的距离为x2＝20 m，所以匀速行驶的时间为t2＝2 s，故选项B、C错误；匀减速行驶的加速度与匀加速行驶的加速度大小相同，所以匀减速行驶与匀加速行驶的时间相同，故选项A正确，D错误。
2．以体育运动为背景考查追及、相遇问题
例8 如图所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程可看成匀变速直线运动。现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：
(1)乙在接力区需跑出多少距离？
(2)乙应在距离甲多远时起跑？
[解析] 本题涉及两个研究对象，其中甲运动员做匀速直线运动，乙运动员做初速度为零的匀加速直线运动，关联的地方是：①从开始运动至完成交接棒过程，他们的运动时间相等；②在这段时间内，甲的位移等于乙的位移与乙起跑时甲、乙之间距离的和。设甲、乙的最大速度为v，从乙起跑到接棒的过程中，甲、乙运动时间为t。
(1)乙起跑后做初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度为a，
v2＝2ax。
乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，得v1＝v×80%，
v＝2ax乙，x乙＝＝16 m。
乙在接力区需跑出的距离为16 m。
(2)乙的运动为匀加速直线运动，乙从起跑到接棒的时间为t，
t＝＝，x乙＝t；
甲做匀速直线运动，其在乙从起跑到接棒的时间t内的位移为
x甲＝vt；
乙起跑时距离甲的距离为Δx＝x甲－x乙＝24 m。
[答案] (1)16 m (2)24 m
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2018·全国卷Ⅱ，19)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是( BD )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
[解析] 0～t1时间内，v乙＞v甲；t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻相遇，但0～t1时间内两者的位移差小于t1～t2时间内两者的位移差，则t1时刻甲在乙的后面，A错误，B正确；由图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C错误，D正确。
2．(2018·全国卷Ⅲ，18)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( CD )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
[解析] xt图象斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B错误；t1和t2两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，C正确；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，D正确。
3．(2020·吉林省吉林市联考)如图所示，下列说法不正确的是( D )
A．如果图象为位移—时间图象，其斜率表示物体运动速度的大小
B．如果图象为速度—时间图象，其斜率表示物体运动加速度的大小
C．如果图象为平均速度—时间图象，其斜率表示物体加速度大小的0.5倍
D．如果图象为加速度—时间图象，其斜率表示物体运动速度的大小
[解析] 本题考查图象与斜率的对应关系。
如果图象为位移—时间图象，根据v＝，知其斜率表示物体运动速度的大小，故A正确；如果图象为速度—时间图象，根据a＝，知其斜率表示物体运动加速度的大小，故B正确；根据匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，得平均速度为＝＝at＋v0，可知，如果图象为平均速度—时间图象，其斜率表示物体加速度大小的0.5倍，故C正确；如果图象
为加速度—时间图象，其斜率为k＝≠＝v，所以其斜率不表示物体运动速度的大小，故D错误。本题选不正确的，故D符合题意。
4．(2019·天津南开中学月考)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后。速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是( C )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
[解析]
本题根据a－t图象考查追及、相遇问题。由题给图象画出两车的v－t图象如图所示，由图象可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[×30×3＋×30×(6－3)] m＝90 m
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