2021高三物理人教版一轮学案：专题强化七　带电粒子在交变电磁场中的运动

专题强化七　带电粒子在交变电磁场中的运动

带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路

一、交变磁场＋恒定电场

例1 (2020·广西柳江中学模拟)如图甲所示，在y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示；与x轴平行的虚线MN下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度E＝×103 N/C。在y轴上放置一足够大的挡板。t＝0时刻，一个带正电粒子从P点以v＝2×104 m/s的速度沿x轴正方向射入磁场。已知电场边界MN到x轴的距离为y0＝ m，P点到坐标原点O的距离为1.1 m，粒子的比荷＝1×106 C/kg，不计粒子的重力。求：

(1)粒子在磁场中运动时距x轴的最大距离；

(2)粒子连续两次通过电场边界MN所需的时间；

(3)粒子最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离。

[解析]　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m，

解得半径R＝0.2 m，

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝＝2π×10－5 s，

粒子在磁场中运动时，到x轴的最大距离为ym＝2R＝0.4 m。

(2)粒子运动轨迹如图甲所示，

由磁场变化规律可知，粒子在0～π×10－5 s(即0－T)时间内做匀速圆周运动至A点，接着沿－y方向做匀速直线运动直至电场边界C点，用时为t2＝＝π×10－5 s＝，

进入电场后粒子做匀减速运动至D点，由牛顿第二定律得粒子的加速度为

a＝＝×109 m/s2，

粒子从C点减速至D再反向加速至C所需的时间为

t3＝＝π×10－5 s＝，

接下来，粒子沿y轴正方向匀速运动至A所需时间仍为t2，此时磁场刚好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下由A点开始做匀速圆周运动，再经π×10－5 s时间，粒子将运动到F点，此后将重复前面的运动过程。所以粒子连续通过电场边界MN有两种可能。

第一种可能是由C点先沿－y方向到D再返回经过C，所需时间t＝t3＝π×10－5 s；

第二种可能是由C点先沿＋y方向运动至A点开始做匀速圆周运动一圈半后，从G点沿－y方向做匀速直线运动至MN，

所需时间为t′＝＋＋＝2T＝4π×10－5 s。

(3)由(2)分析可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向x轴负方向平移2R(即图甲中所示从P点移到F点)，OP＝1.1 m＝5.5R，故粒子打在挡板前的一次运动如图乙所示，其中I是粒子开始做圆周运动的起点，J是粒子打在挡板上的位置，

K是最后一段圆周运动的圆心，Q是I点与K点连线与y轴的交点。

由题意知OI＝OP－5R＝0.1 m，

KQ＝R－QI＝0.1 m＝，

则有JQ＝＝R，

J点到O点的距离为JO＝R＋R＝ m＝0.37 m。

[答案]　(1)0.4 m　(2)见解析　(3)0.37 m

二、交变电场＋恒定磁场

例2 (2019·合肥模拟)如图甲所示，带正电粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO′连续射入电场中。MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UMN，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕。金属板间距为d，长度为l，磁场的宽度为d。已知：B＝5×10－3T，l＝d＝0.2 m，每个带正电粒子的速度v0＝105 m/s，比荷为＝108 C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可看作是恒定不变的。试求：

(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；

(2)带电粒子射出电场时的最大速度；

(3)带电粒子打在屏幕上的范围。

[解析]　(1)t＝0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小。

粒子在磁场中运动时qv0B＝

则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径rmin＝＝ m＝0.2 m

其运动的径迹如图中曲线Ⅰ所示。

(2)设两板间电压为U1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，

则有＝at2＝·()2

代入数据，解得U1＝100 V

在电压低于100 V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压高于100 V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为vmax，则有mv＝mv＋q

解得vmax＝×105 m/s＝1.414×105 m/s。

(3)由第(1)问计算可知，t＝0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径rmin＝d＝0.2 m，径迹恰与屏幕相切，设切点为E，E为带电粒子打在屏幕上的最高点，

则＝rmin＝0.2 m

带电粒子射出电场时的速度最大时，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低。

设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为rmax，打在屏幕上的位置为F，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示．

qvmaxB＝

则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径

rmax＝＝ m＝ m

由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q点所示，并且Q点必与M板在同一水平线上。则

＝＝ m＝0.1 m

带电粒子打在屏幕上的最低点为F，则

＝rmax－＝(－0.1) m≈0.18 m

即带电粒子打在屏幕上O′上方0.2 m到O′下方0.18 m的范围内。

[答案]　(1)0.2 m　(2)1.414×105 m/s　(3)O′上方0.2 m到O′下方0.18 m的范围内

三、交变电、磁场

例3 (2019·肥城模拟)如图甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)。在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子。已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力。求：

(1)t＝t0时，粒子的位置坐标；

(2)若t＝5t0时粒子回到原点，0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离；

(3)若粒子能够回到原点，满足条件的所有E0值。

[解析]　(1)粒子在0～t0内沿顺时针方向做圆周运动

qv0B0＝m，T＝

解得r1＝，T＝

又粒子的比荷＝

解得r1＝，T＝2t0

故t＝t0时，粒子的位置坐标为(，0)。

(2)粒子在t＝5t0时回到原点，运动轨迹如图甲所示

由r2＝2r1，r1＝，r2＝

解得v2＝2v0

则在0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离hm＝t0＋r2＝(＋)v0t0。

(3)

如图乙所示，设带电粒子在x轴下方做圆周运动的轨迹半径为r′2，由几何关系可知， 要使粒子能够回到原点，则必须满足

n(2r2′－2r1)＝2r1(n＝1,2,3，…)

其中r2′＝

解得v＝v0(n＝1,2,3，…)

又v＝v0＋t0

解得E0＝(n＝1,2,3，…)

[答案]　(1)(，0)　(2)(＋)v0t0

(3)(n＝1,2,3，…)