2021高考物理一轮复习第九章磁场专题强化十二带电粒子在叠加场和组合场中的运动学案作业（含解析）新人教版

专题强化十二　带电粒子在叠加场和组合场中的运动

专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现．

2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心．

3．用到的知识主要有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．

1．叠加场

电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．

2．无约束情况下的运动

(1)洛伦兹力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．

(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)

①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．

(3)电场力、洛伦兹力、重力并存

①若三力平衡，一定做匀速直线运动．

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．

3．有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(2017·全国卷Ⅰ·16)如图1，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　)

图1

A．ma＞mb＞mc   B．mb＞ma＞mc

C．mc＞ma＞mb  D．mc＞mb＞ma

答案　B

解析　设三个微粒的电荷量均为q，

a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，则

mag＝qE①

b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则

mbg＝qE＋qvB②

c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则

mcg＋qvB＝qE③

比较①②③式得：mb>ma>mc，选项B正确．

变式1　(多选)(2019·山东济南市上学期期末)如图2所示，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直(平行纸面)向下，匀强磁场方向垂直纸面向里．一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动．若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内(　　)

图2

A．小球的动能减小

B．小球的电势能减小

C．小球的重力势能减小

D．小球的机械能减小

答案　ACD

解析　带负电的小球受向下的重力G、向上的电场力F和向下的洛伦兹力F洛，这三个力都在竖直方向上，小球沿水平方向做直线运动，所以小球受到的合力一定是零，小球做匀速直线运动．当小球的入射速度增大时，洛伦兹力增大但不做功，电场力和重力不变，小球将向下偏转，电场力与重力的合力向上，则它们的合力对小球做负功，小球动能减小．电场力对小球做负功，小球的机械能减小，电势能增大．重力对小球做正功，重力势能减小，故A、C、D正确，B错误．

1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．

2．分析思路

(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．

(2)找关键：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．

(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．

模型1　磁场与磁场的组合

例2　(2017·全国卷Ⅲ·24)如图3，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场．在x≥0 区域，磁感应强度的大小为B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ＞1)．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：(不计重力)

图3

(1)粒子运动的时间；

(2)粒子与O点间的距离．

答案　(1)(1＋)　(2)(1－)

解析　(1)在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动．设在x≥0区域，圆周半径为R1；在x＜0区域，圆周半径为R2.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得

qB0v0＝m①

qλB0v0＝m②

设粒子在x≥0区域运动的时间为t1，则

t1＝③

粒子在x<0区域运动的时间为t2，则

t2＝④

联立①②③④式得，所求时间为

t＝t1＋t2＝(1＋)⑤

(2)由几何关系及①②式得，所求距离为

d＝2(R1－R2)＝(1－)

变式2　(2019·江苏南京市六校联考)如图4所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，虚线L1、L2、L3是磁场的边界线(BC与L1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的倍．

图4

(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；

(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；

(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值．

答案　(1)　(2)　(3)1.5B1

解析　(1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝＝，则θ＝30°，根据速度关系有：v＝＝；

(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得：qvB1＝m，轨迹如图甲所示：

由几何关系得：L＝r1

解得：L＝；

(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示：

同理得：qvB2m＝m

根据几何关系有：L＝r2(1＋sin θ)

解得：B2m＝1.5B1.

模型2　电场与磁场的组合

例3　(2019·全国卷Ⅰ·24)如图5，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：

图5

(1)带电粒子的比荷；

(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．

答案　(1)　(2)

解析　(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有qU＝mv2①

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律有qvB＝m②

由几何关系知d＝r③

联立①②③式得＝④

(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝＋rtan 30°⑤

带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝⑥

联立②④⑤⑥式得t＝⑦

变式3　(2019·河南平顶山市一轮复习质检)如图6所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有方向沿y轴正向的匀强电场，第一、四象限内有圆形有界磁场，有界磁场的半径为L，磁场的方向垂直于坐标平面向里，磁场边界与y轴相切于O点，在x轴上坐标为(－L,0)的P点沿与x轴正向成θ＝45°角斜向上射出一个速度大小为v0的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子经电场偏转垂直y轴射出电场，粒子进入磁场后经磁场偏转以沿y轴负方向的速度射出磁场，不计粒子的重力．求：

图6

(1)粒子从y轴上射出电场的位置坐标；

(2)匀强电场电场强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小；

(3)粒子从P点射出到射出磁场运动的时间为多少？

答案　(1)(0，L)　(2)　　(3)＋

解析　(1)粒子在电场中的运动为类平抛运动的逆运动，

水平方向：L＝v0cos θ·t1，

竖直方向：y＝v0sin θ·t1，

解得：y＝L，

粒子从y轴上射出电场的位置为：(0，L)；

(2)粒子在电场中的加速度：a＝，

竖直分位移：y＝at12，

解得：E＝；

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，以沿y轴负方向的速度射出磁场，运动轨迹如图所示，

由几何知识得：AC与竖直方向夹角为45°，

AD＝y＝L，

因此AC刚好为圆形有界磁场的直径，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝L，

粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝m，

其中，粒子的速度：v＝v0cos θ，

解得：B＝；

(3)粒子在电场中的运动时间：t1＝＝，

粒子离开电场进入磁场前做匀速直线运动，位移：x＝L－L，

粒子做直线运动的时间：t2＝＝，

粒子在磁场中做圆周运动的时间：t3＝T＝×＝，

粒子总的运动时间：t＝t1＋t2＋t3＝＋.

1.(多选)(2020·辽宁沈阳市调研)如图1所示，空间某处存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的金属小球从M点水平射入场区，经一段时间运动到N点，关于小球由M到N的运动，下列说法正确的是(　　)

图1

A．小球可能做匀变速运动   B．小球一定做变加速运动

C．小球动能可能不变   D．小球机械能守恒

答案　BC

解析　小球从M到N，在竖直方向上发生了偏转，所以在M点受到的竖直向下的洛伦兹力、竖直向下的重力和竖直向上的电场力的合力不为零，且速度方向变化，则洛伦兹力方向变化，所以合力为变力，故不可能做匀变速运动，一定做变加速运动，A错误，B正确；若电场力和重力等大反向，则运动过程中电场力和重力做功之和为零，而洛伦兹力不做功，所以小球的动能可能不变，C正确；沿电场方向有位移，电场力一定做功，故小球的机械能不守恒，D错误．

2．(2019·河南开封市第一次模拟)如图2所示，空间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场和水平向左、场强为E的匀强电场．有一质量为m、电荷量大小为q的微粒垂直于磁场且以与水平方向成45°角的速度v做直线运动，重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　)

图2

A．微粒可能做匀加速直线运动

B．微粒可能只受两个力作用

C．匀强磁场的磁感应强度B＝

D．匀强电场的电场强度E＝

答案　D

解析　微粒受重力、电场力、洛伦兹力作用，若v发生变化，则洛伦兹力发生变化且洛伦兹力与速度方向垂直，微粒不可能做直线运动，所以重力、电场力和洛伦兹力三力平衡，微粒做匀速直线运动，故A、B错误；根据平衡条件，有：qE＝mgtan 45°，qvB＝，联立解得：E＝，B＝，故C错误，D正确．

3.(多选)(2019·山东滨州市上学期期末)如图3所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，不计摩擦阻力，则以下说法中正确的是(　　)

图3

A．液滴一定带正电

B．液滴在C点时的动能最大

C．从A到C过程液滴的电势能增大

D．从C到B过程液滴的机械能增大

答案　BCD

解析　从题图中可以看出，带电液滴由静止开始向下运动，说明重力和电场力的合力向下，洛伦兹力指向弧线内侧，根据左手定则可知，液滴带负电，故A错误；从A到C的过程中，重力做正功，而电场力做负功，洛伦兹力不做功，合力做正功，液滴动能增大，从C到B的过程中，重力做负功，电场力做正功，洛伦兹力不做功，合力做负功，液滴动能减小，所以液滴在C点时的动能最大，故B正确；从A到C过程液滴克服电场力做功，电势能增加，故C正确；从C到B的过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，机械能增大，故D正确．

4.(2018·全国卷Ⅱ·25改编)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图4所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行．一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出．不计重力．

图4

(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；

(2)求该粒子从M点入射时速度的大小．

答案　(1)见解析图　(2)

解析　(1)粒子运动的轨迹如图(a)所示．(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)

(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动．设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ，如图(b)，速度沿电场方向的分量为v1.

根据牛顿第二定律有qE＝ma①

式中q和m分别为粒子的电荷量和质量．

由运动学公式有

v1＝at②

l′＝v0t③

v1＝vcos θ④

粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qvB＝⑤

由几何关系得

l＝2Rcos θ⑥

联立①②③④⑤⑥式得

v0＝

5．(2020·福建南平市适应性检测)如图5，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，x轴下方存在垂直坐标系平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一个静止的带正电粒子位于y轴正半轴的A(0，h)点，某时刻由于内部作用，分裂成两个电荷量都为＋q的粒子a和b，分别沿x轴正方向和负方向进入电场．已知粒子a的质量为m，粒子a进入第一象限的动量大小为p.设分裂过程不考虑外力的作用，在电场与磁场中的运动过程不计粒子重力和粒子间的相互作用．求：

图5

(1)粒子a第一次通过x轴时离原点O的距离x；

(2)粒子a第二次通过x轴时与第一次通过x轴时两点间的距离L.

答案　见解析

解析　(1)如图所示，粒子a在电场中只受电场力，做类平抛运动

由平抛运动规律可得：x＝v0t①

h＝at2②

qE＝ma③

p＝mv0④

联立①②③④解得：x＝p

(2)粒子a进入磁场时，设速度为v，与x轴正方向成θ角，y轴方向的速度为vy，则

vy＝at⑤

vy＝vsin θ⑥

粒子a在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，有

qvB＝⑦

由几何知识得：

L＝2rsin θ⑧

联立②③⑤⑥⑦⑧式解得：

L＝

6．(2019·山西运城市5月适应性测试)如图6甲所示，以O为坐标原点建立坐标系，等边三角形OMN内存在垂直纸面向里的匀强磁场，三角形外侧有沿x轴负方向的匀强电场．现有质量m＝1×10－18 kg、电荷量q＝＋1×10－15 C的带电微粒从坐标为(0，－0.5 m)的Q点，以某一初速度v0沿某一方向入射，从x轴上的P点以v＝200 m/s的速度垂直x轴进入三角形区域．若此时将三角形外侧的电场换成垂直纸面向外的匀强磁场(如图乙所示)，两磁场的磁感应强度大小相等．已知三角形的边长L＝4 m，O、P两点间距离为d＝1 m，重力不计．求：

图6

(1)匀强电场的电场强度大小及带电微粒的初速度大小；

(2)若两磁场的磁感应强度大小B0＝0.2 T，求该微粒在乙图中运动一个周期的时间t；

(3)乙图中若微粒能再次回到P点，则两匀强磁场的磁感应强度大小B应满足什么条件．

答案　(1)320 V/m　200 m/s　(2)6.28×10－2 s　(3)B＝(0.4n＋0.2) T，(n＝0,1,2,3…)

解析　(1)在匀强电场中，微粒在电场力作用下，做类平抛运动的逆运动

水平方向：OP＝t2

竖直方向：OQ＝vt

水平分速度vx＝t

微粒的初速度v0＝

联立解得E＝320 V/m，v0＝200 m/s；

(2)粒子在两磁场中均做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律知

qvB0＝m，解得r＝＝1 m

T＝，解得T＝3.14×10－2 s

粒子的运动轨迹如图所示，

故t＝3×＋3×＝6.28×10－2 s

(3)由对称性可知，粒子能再次回到P点，则粒子运动的半径应满足r(2n＋1)＝OP(n＝0,1,2,3…)且r＝，

联立可得B＝(0.4n＋0.2) T，(n＝0,1,2,3…)．