2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.9.3圆锥曲线与其他知识的交汇问题

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核心考点·精准研析

考点一　 圆锥曲线与数列交汇  

【典例】(2020·重庆模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.

(1)求椭圆的方程.

(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A,B,过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C,D,与l3:x=4交于P,求证:直线PA,PF,PB的斜率kPA,kPF,kPB成等差数列.

【解题导思】

【解析】(1)由题意知e==,所以=,

即a2=b2,

又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,所以圆心到直线的距离d==b=,所以a2=4,b2=3,

故椭圆的方程为+=1.

(2)当直线l1的斜率不存在时,

A(1,),B(1,-),C(2,0),D(-2,0),F(1,0),

P(4,0).所以kPA=-,kPB=,kPF=0,

所以2kPF=kPA+kPB.

当直线l1的斜率存在时,

设直线l1的方程为y=k,由

得x2-8k2x+4k2-12=0.

设点A(x1,y1),B,

利用根与系数的关系得x1+x2=,

x1x2=,

由题意知直线l2的斜率为-,

则直线l2的方程为y=-,

令x=4,得P点的坐标,

kPA+kPB=+

=++

=k×+×

=k×+×

=k×+×=-=2kPF,

即kPA+kPB=2kPF,综上得,kPA,kPF,kPB成等差数列.

　圆锥曲线与数列的结合

圆锥曲线与数列的结合点比较多,如圆锥曲线中的相关线段长度或参数成等差、等比数列等,解决此类问题的关键是利用数列的知识,将条件等价转化为相关数量之间的关系即可,其实质就是相关的数量之间的等式关系的一种外在表现.

(2019·成都模拟)设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.

(1)求+的值.

(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)因为圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,所以=且F1E∥CF2,

所以∠F2DC=∠F2CD=∠EF1D,

所以=,

所以+=|ED|+=,

又因为圆F2的半径为8,即=8,

所以+=8.

(2)由(1)知,曲线E1是以F1,F2为焦点的椭圆,且长轴长为8,所以曲线E1的方程为+=1(y≠0),

由题意,设直线l的方程为y=k(x+2),

代入椭圆方程化简得x2+16k2x+16k2-48=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),

则x1+x2=-,x1x2=,

所以k1+k2=+

=

=,

因为k1,k3,k2成等差数列,所以2k3=k1+k2,

因为k3=,所以2×

=,

化简得24k3-24k2y0

+24k-24y0=0,

对任意的k该等式恒成立,所以x0=-2,此时y0=±3.

所以存在点N(-2,±3)使得k1,k3,k2成等差数列.

考点二　圆锥曲线与向量交汇 

【典例】(2020·福州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,A,B是椭圆上关于原点O对称的两个动点,当点A的坐标为时,△ABF的周长恰为7.世纪金榜导学号

(1)求椭圆的方程.

(2)过点F作直线l交椭圆于C,D两点,且=λ(λ∈R),求△ACD面积的取值范围.

【解题导思】

【解析】(1)当点A的坐标为时,

==,所以|AB|=3.

由对称性,+=2a,

所以2a=7-3=4,得a=2,

将点代入椭圆方程+=1中,解得b2=4,

所以椭圆方程为+=1.

(2)当直线AB的斜率不存在时,=2,

此时S△ACD=×2×2=2.

当直线AB的斜率存在时,

设直线CD的方程为y=k(x+2)(k≠0).

由 消去y整理得:

(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0. 显然Δ>0,

设C,D,则

故=· =·

=·=.

因为=λ(λ∈R),所以CD∥AB,

所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=,

所以S△ACD=××d=×

==4

=2=2,

因为1+2k2>1,所以0<<1,

所以0<S△ACD<2.综上,S△ACD∈(0,2].

　处理圆锥曲线中向量问题的基本策略就是坐标化,结合点主要有两个方面

一是向量的共线,转化为两向量所在的直线重合或平行,并且两向量模之间存在倍数关系;

二是向量数量积,直接利用坐标运算转化为点的坐标所满足的条件进行求解.

　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴为MN(M为上顶点).点P(4,0)满足·=15.

(1)求椭圆C的方程.

(2)设O为坐标原点,过点P的动直线l与椭圆交于点A、B,是否存在常数λ使得·+λ·为定值?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)·=(-4,b)·(-4,-b)=16-b2=15,

所以b=1,

又e=,所以=,a2=4,

从而C的方程为+y2=1.

(2)当l不为x轴时,

设l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立l与C的方程可得(m2+4)y2+8my+12=0,

所以y1+y2=-,y1y2=,

·+λ·=x1x2+y1y2+λ[(x1-4)(x2-4)+y1y2]

=(1+λ)(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16

=+16.

因为·+λ·为定值,

所以=,

解得λ=,此时定值为.

当l为x轴时,A(-2,0),B(2,0),·+λ·=-4+×12=.

综上,存在λ=使得·+λ·为定值.

考点三　圆锥曲线与导数交汇 

【典例】(2020·西安模拟)设定点F(0,1),动点E满足:以EF为直径的圆与x轴相切.              世纪金榜导学号

(1)求动点E的轨迹C的方程.

(2)设A,B是曲线C上两点,若曲线C在点A,B处的切线互相垂直,求证:A,F,B三点共线.

【解题导思】

【解析】(1)设E,则EF的中点为M,依题意知M到点F的距离与它到x轴的距离相等,可得=,

化简得x2=4y,即为动点E的轨迹C的方程.

 (2)设A,B,

则由y=得y'=,知曲线C在点A,B处的切线的斜率分别是,,依题意·=-1,

即x1x2=-4,可得B,

所以kAF==-,kBF = = -,

所以kAF=kBF,知A,F,B三点共线.

　导数与圆锥曲线的结合点主要有两个方面

(1)利用导数的几何意义给出直线方程;

(2)利用导数法求解圆锥曲线中的最值时,若某些目标代数式的形式比较复杂,不能直接根据基本初等函数的性质求解最值,可借助导数研究函数的单调性,进而求解其最值.

　(2019·郑州模拟)已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.

(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程.

(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l'与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.

【解析】(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.

(2)设直线l'的方程为y=x+m,其中-3<m<0,C(x1,y1),B(x2,y2),

联立得方程组

消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0,

Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0恒成立.

由根与系数的关系得

x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,所以|CB|=4,

点A到直线l'的距离d=,

所以S△ABC=×4×

=2×(3+m),

令=t,t∈(1,2),则m=1-t2,

所以S△ABC=2t(4-t2)=8t-2t3,

令f(t)=8t-2t3,所以f'(t)=8-6t2,

令f'(t)=0,得t=(负值舍去).

易知y=f(t)在上单调递增,在上单调递减.所以y=f(t)在t=,

即m=-时取得最大值为.

所以△ABC面积的最大值为.

【变式备选】

　　 1.已知平面上一动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为.

(1)求点P的轨迹方程.

(2)点O是坐标原点,A,B两点在点P的轨迹上,F是点C关于原点的对称点,若=λ,求λ的取值范围.

【解析】(1)设P(x,y)是所求轨迹上的任意一点,

由动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为,

得=,化简得+=1,即点P的轨迹方程为+=1.

(2)由F是点C关于原点的对称点,所以点F的坐标为(-1,0),

设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=λ,

则(x1+1,y1)=λ(-1-x2,-y2),

可得 ,

因为+=1,

即+=1　①,

又由+=1,则+=λ2　 ②,

①-②得:=1-λ2,

化简得x2=,

因为-2≤x2≤2,所以-2≤≤2,解得≤λ≤3,所以λ的取值范围是.

2.已知椭圆N:+=1(a>b>0)经过点C(0,1),且离心率为.

(1)求椭圆N的方程.

(2)直线l:y=kx-与椭圆N的交点为A,B两点,线段AB的中点为M,是否存在常数λ,使∠AMC=λ·∠ABC恒成立,并说明理由.

【解析】

(1)因为椭圆N:+=1经过点C,且离心率为,所以b=1,又=,a2-c2=b2,

可解得c=1,a=,焦距为2c=2,

故所求椭圆的方程为+y2=1.

存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.

证明如下:由

得x2-12kx-16=0,Δ>0,

设A,B,

则x1+x2=,x1x2=,

又因为=,=,

所以·=x1x2+

=x1x2+

=x1x2-k+

=·-k· +=0,

所以⊥,因为线段AB的中点为M,

所以=,所以∠AMC=2∠ABC.

存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.

3.(2020·福州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时|RS|=3.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由内切圆的性质,得×2c×b=×(2a+2c)×,得=.

将x=c代入+=1,得y=±,所以=3.

又a2=b2+c2,所以a=2,b=,

故椭圆C的标准方程为+=1.

(2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.

当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1),

R(x1,y1),S(x2,y2).

联立方程 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

由根与系数的关系得 　①

其中Δ>0恒成立,

由TS与TR所在直线关于x轴对称,得kTS+kTR=0(显然TS,TR的斜率存在),

即+=0.　②

因为R,S两点在直线y=k(x-1)上,

所以y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

代入②得

=

=0,

即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,③

将①代入③得

==0,则t=4,

综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称.

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