2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析8.5.3　数列建模问题

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核心考点·精准研析

考点一　等差、等比数列简单的实际应用 

1.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)

A.6秒钟  B.7秒钟  C.8秒钟  D.9秒钟

2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根5尺长的金杖,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”根据上面的已知条件,若金杖由粗到细是均匀变化的,问中间3尺的重量为              (　　)

A.6斤  B.9斤  C.9.5斤  D.12斤

3.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为,公差为,则这个多边形的边数为________. 

4.为了观看2022年的冬奥会,小明打算从2018年起,每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后,他的账户中一共有________元;到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回________元.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选B.设需要n秒钟,则1+21+22+…+2n-1≥100,所以≥100,所以n≥7.

2.选B.依题意,金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,记为{an},则a1=4,

a5=2,

由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=2a3=6,所以a3=3,所以中间3尺的重量为a2+a3+a4

=3a3=9(斤).

3.由于凸n边形的内角和为(n-2)π,故n+×=(n-2)π.化简得n2-25n+

144=0.解得n=9或n=16(舍去).

答案:9

4.依题意,2019年1月1日存款a元后,账户中一共有a(1+p)+a=(ap+2a)(元).

2022年1月1日可取出钱的总数为

a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)=a·=[(1+p)5-(1+p)]=[(1+p)5-1-p].

答案:(ap+2a)　[(1+p)5-1-p]

1.解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征.

(3)求解——求出该问题的数学解.

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

2.具体解题步骤用框图表示如下

考点二　数列的实际应用 

【典例】某商店投入81万元经销某种纪念品,经销时间共60天,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天的利润an=(单位:万元,n∈N*).为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,记第n天的利润率bn=.例如,b3=.

(1)求b1,b2的值.　　(2)求第n天的利润率bn.

【解题导思】

【解析】(1)当n=1时,b1=;

当n=2时,b2=.

(2)当1≤n≤20时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1,

所以bn==.

当21≤n≤60时,

bn=

=

==.

所以第n天的利润率

bn=

1.若典例中条件不变,求该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润率.

【解析】当1≤n≤20时,bn=递减,此时bn的最大值为b1=;

当21≤n≤60时,bn==≤=当且仅当n=,即n=40时,“=”成立.

又因为<,所以当n=40时,(bn)max=.

所以该商店在经销此纪念品期间,第40天的利润率最大,且该日的利润率为.

2.若典例中条件不变,60天的利润总和是多少?

【解析】当1≤n≤20时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1,当21≤n≤60时,an=,所以{an}的前20项是常数列,后40项是以为首项,以为公差的等差数列,所以S60=20+

40×+×=182(万元).所以60天的利润总和是182万元.

　解答数列实际应用问题的步骤

(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型.基本特征如表:

(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.

(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.

为了加强新旧动能转化,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.

(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n).

(2)若该市计划7年内完成全部更换,求a的最小值.

【解析】(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.

依题意,得{an}是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,{bn}是首项为400,公差为a的等差数列.所以{an}的前n项和

Sn==256,

{bn}的前n项和Tn=400n+a.

所以经过n年,该市被更换的公交车总数为

S(n)=Sn+Tn=256+400n+a.

(2)若计划7年内完成全部更换,

则S(7)≥10 000,

所以256+400×7+a≥10 000,

即21a≥3 082,所以a≥146.

又a∈N*,所以a的最小值为147.

考点三　数学文化与数列 

等差数列模型

【典例】《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均输章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为:已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中,丙所得为              世纪金榜导学号(　　)

A.钱  B.钱  C.钱  D.1钱

【解析】选D.因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,设每人所得依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,解得a=1,即丙所得为1钱.

等比数列模型

【典例】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯              世纪金榜导学号(　　)

A.1盏  B.3盏  C.5盏  D.9盏

【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个首项为x,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式有=381,解得x=3,即塔的顶层共有灯3盏.

如何建立该题的数学模型?

提示:建立等比数列模型,设顶层灯盏数x为数列首项,数列的公比q=2,7层塔的总灯数为等比数列的前7项和.

【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题还是最值问题,然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检验,最终得出结论.

递推关系模型

【典例】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的数列:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:从第3个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则是斐波那契数列中的第________项.              世纪金榜导学号 

【解析】(方法一:分析分子和式的通项,求和化简)

依题意得a1=a2=1,an+2=an+1+an,

an+1·an+2=+an·an+1,

所以=an+1·an+2-an·an+1,

则=a2 019a2 020-a2 018a2 019,=a2 018a2 019-a2 017a2 018,

=a2 017a2 018-a2 016a2 017,……

=a2a3-a1a2,又=a1a2,

因此+++…++=a2 020a2 019,

即=a2 020,

故是斐波那契数列中的第2 020项.

(方法二:归纳法)==2=a3,

==3=a4,==5=a5,猜测=

an+1.由此可知,=a2 020.

答案:2 020

1.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的一份为              (　　)

A.  B. C.  D.

【解析】选A.由100个面包分给5个人,每个人所得成等差数列,可知中间一人得20块面包,设较大的两份为20+d,20+2d,较小的两份为20-d,20-2d,由已知条件可得(20+20+d+20+2d)=20-d+20-2d,解得d=,所以最小的一份为20-2d=20-

2×=.

2.中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了              (　　)

A.192里  B.96里

C.48里  D.24里

【思路分析】读懂题意,将古代实际问题转化为现代数学问题,本题相当于:已知等比数列{an}中,公比q=,前6项和S6=378,求a2.

【解析】选B.依题意,每天走的路程构成等比数列{an},且n=6,公比q=,S6=378,

设等比数列{an}的首项为a1,

依题意有=378,

解得a1=192.

所以a2=192×=96.即第二天走了96里.

宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层三角形茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束,下一层3束,再下一层6束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中三角垛底层茭草总束数为________. 

【思路分析】阅读理解,将其转化为数列问题.本题实质是一个数列求和问题,为此要分析通项的特点,根据通项特点选择求和方法.

【解析】设自上而下每一层茭草束数构造的数列为{an},则a1=1,a2=1+2,a3=

1+2+3,…,

所以an=1+2+…+n==(n2+n),

所以Sn=1+3+6+…+(n2+n)

=[(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)]

=[n(n+1)(2n+1)+n(n+1)]=n(n+1)(n+2).

由条件n(n+1)(n+2)=680,

即有n(n+1)(n+2)=15×16×17=680×6,

所以n=15,所以a15==120.

即三角垛底层茭草总束数为120.

答案:120

【数学经典简介】

1.《九章算术》:《九章算术》大约成书于公元1世纪,是中国古代第一部数学著作.《九章算术》共收有246个与生产实践有联系的应用题,包括问、答和术三部分,并配有插图,分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章.《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作,其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造,“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.

2.《算法统宗》:《算法统宗》是由明代数学家程大位(公元1533—公元1606年)经过数十年的努力,于公元1592年60岁时写成的数学巨著.《算法统宗》是一部应用数学书,以珠算为主要的计算工具,共17卷,有595个应用题.

3.《四元玉鉴》:《四元玉鉴》成书于1303年由我国元代数学家朱世杰所著.全书共3卷,24门,288问,主要论述高次方程组的解法、高阶等差级数求和以及高次内插法等内容.注:中华文明源远流长,发展进程波澜壮阔,中国古代为世界数学做出了杰出的贡献.为了弘扬中华优秀传统文化,特在[数学经典简介]这一栏目中,简单介绍一些数学名著或数学家.

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